精品解析：海南省海口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

海口市2023~2024学年第二学期 高二年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用并集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2. 张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有班，铁路有高铁趟、动车趟，城际大巴有班．则其出行方案共有（ ） A. 22种 B. 33种 C. 300种 D. 3600种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由分类加法计数原理得， 从甲地到乙地不同的方案数为. 故选：B. 3. 函数（，且）的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质，令即可求解. 【详解】因为且， 所以在函数中， 令，则，， 所以函数的图象一定经过点. 故选：D. 4. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布．且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且, 所以均值，密度曲线关于对称， 所以, 所以. 故选：A. 5. 小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ） A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断． 【详解】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 6. 某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（ ） A. 48种 B. 54种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种情况讨论. 【详解】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名， ①甲排在第五名，则有种排法； ②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：B 7. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可. 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 8. 已知函数，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，再通过导数证明当时，即可. 【详解】因为的定义域为， 又，所以函数为偶函数， 所以，，， 构建函数，，恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 构建函数，，在恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 综上所述，在时，， 所以， 又因为函数在单调递减， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，解题的关键是通过导数证明在，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得对应分，有选错的得0分． 9. 对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则（ ） A. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 【答案】BD 【解析】 【分析】根据样本的相关系数，残差平方和，决定系数的意义判断. 【详解】解：由越趋近1，数据的线性相关关系越强知，A错误；B正确； 由残差平方和越小，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，C错误； 由决定系数越大，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，D正确， 故选：BD 10. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴原点O出发，每隔l s等概率向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用质点等概率向左或向右移动，可知随机变量，且质点向左或向右移动一个单位的概率均为，结合取值的正负对称性，以及对应的概率相等，即可求出，即可判断各项. 【详解】由题意知，随机变量，且质点向左或向右移动一个单位的概率均为， 若，则移动4次后质点一共向右移动2次，向左移动2次，则， 若，则移动4次后质点一共向右移动3次，向左移动1次，则， 所以，故A错误； 若，则移动6次后质点一共向右移动3次，向左移动3次，则， 所以，故B正确； 移动n次后质点一共向右移动次，向左移动次，有， 故， 则，故C正确，D错误， 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，若，都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.则（ ） A. “依赖函数” B. （，且）是“依赖函数” C. 若函数为“依赖函数”，且函数图象连续不断，则该函数为单调函数 D. 当，时，若函数是“依赖函数”，则的最大值为2，此时 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，对于，都存在唯一的，满足要求；C选项，假设为偶函数，得到矛盾，C正确，反证法进行证明；D选项，在C选项的基础上，结合对勾函数性质得到，并根据当时，，求出的值. 【详解】A选项，的定义域为R，当时，， 此时不存在，，A错误； B选项，（，且），定义域为R， 对于，都存在唯一的， 使得，B正确； C选项，函数为“依赖函数”，且函数图象连续不断， 对于，存在，使， 假设为不单调，且存在，使得， 此时， 这与条件中的唯一的相矛盾，故假设不成立， 则该函数为单调函数，C正确； D选项，， 由C选项可知，要想满足在上为“依赖函数”， 则要满足在上单调， 因为，由对勾函数性质可知，在上单调递减， 在上单调递增， 故，即的最大值为2， 且当时，由单调性可知，其中， 所以，即， 解得，或舍去， 此时，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位），则复数的实部是___________. 【答案】21 【解析】 【详解】由题意，其实部为21． 【考点】复数的概念． 13. 的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 14. 如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题： 椭圆C的离心率为______；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设椭圆C的长轴长为，则由题意结合椭圆的定义可得，从而可求出离心率，延长交于点，结合椭圆的光学性质和，且为的中点，再结合三角形的中位线定理和椭圆的定义可得，从而可求出，进而可求出椭圆方程. 【详解】设椭圆C的长轴长为， 因为由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c， 所以，得， 所以椭圆C的离心率为， 如图，延长交于点， 在中，，由反射角等于入射角，可得， 所以，且为的中点， 在中，， 因为在l上的射影H在圆上，所以， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的光学性质的应用，考查求椭圆的离心率和椭圆的方程，解题的关键是灵活应用椭圆的光学性质及椭圆的定义，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）分析函数的单调性，可得函数的最小值. 【小问1详解】 因为：，所以切点坐标为：， 又，，即为所求切线的斜率. 所以切线方程为：，化简得： 【小问2详解】 ，（） 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在区间上的极小值为，也是最小值. 16. 已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项． （1）求数列和数列的通项公式； （2）从集合中任取3个元素形成一个组合，记组合中这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求解数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列的通项公式； （2）先计算出所有组合数，再计算事件包含的样本点个数，最后由古典概型的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即， 故等差数列的通项公式为， 所以，， 又因为是和的等差中项，是和的等比中项， 所以，解得，， 所以，即(负值已舍)， 所以等比数列通项公式为. 【小问2详解】 集合， 从集合中任取个元素有种组合， 这个元素能构成等差数列的有 共种组合， 故. 17. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是，的中点，底面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）连接，即可得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为点，分别是，的中点， 所以，又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，因为，点是的中点，所以， 又底面，底面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，又， 所以，，， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可； （2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率. 【小问1详解】 事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件“甲队第局获胜”，其中相互独立. 又甲队明星队员前四局不出场，故， ，所以. 【小问2详解】 设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛， 由全概率公式知，， 因为每名队员上场顺序随机，故， ， 所以. 【小问3详解】 由（2），. 19. 代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． （1）在复数集中解方程：； （2）（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； （3）已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 【答案】（1）， （2）（i），，，；（ii）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）按照实系数一元二次方程的解法计算可得； （2）（i）将方程左边因式分解，变形为，即可得解； （ii）根据虚根成对原理，可知、也为方程的根，从而得到一个符合题意的一元六次实系数多项式方程； （3）依题意可得，则，令，即可求出，从而求出，再令，即可得解. 【小问1详解】 方程，则， 所以、， 即原方程在复数集中解，； 【小问2详解】 （i）因为， 所以， 即， 即， 所以，，、， 即原方程在复数集中解为，，，； （ii）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 为该方程（实系数）为根，则也为方程的根， 又与可为方程的两个虚根； 与可为方程的两个虚根； 所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为. 【小问3详解】 依题意可得， 令， 因为十一次多项式方程有个根， 令， 所以， 令，可得，所以， 所以， ， 则，又， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是令，从而得到有个根，再令，利用赋值法求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海口市2023~2024学年第二学期 高二年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有班，铁路有高铁趟、动车趟，城际大巴有班．则其出行方案共有（ ） A. 22种 B. 33种 C. 300种 D. 3600种 3. 函数（，且）的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布．且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ） A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 无法判断 6. 某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（ ） A 48种 B. 54种 C. 60种 D. 72种 7. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得对应分，有选错的得0分． 9. 对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则（ ） A. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 B. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强 C. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 D. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好 10. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴原点O出发，每隔l s等概率向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，若，都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.则（ ） A. 是“依赖函数” B. （，且）是“依赖函数” C. 若函数为“依赖函数”，且函数图象连续不断，则该函数为单调函数 D. 当，时，若函数是“依赖函数”，则的最大值为2，此时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位），则复数的实部是___________. 13. 的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则______． 14. 如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题： 椭圆C的离心率为______；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项． （1）求数列和数列的通项公式； （2）从集合中任取3个元素形成一个组合，记组合中这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率． 17. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是，的中点，底面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 18. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场概率. 19. 代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）． 如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为． （1）在复数集中解方程：； （2）（i）在复数集中解方程：； （ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）； （3）已知一元十次实系数多项式满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$