7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教版A2019-必修第二册 高一数学组 第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解复数系的扩充过程; 2.理解复数的有关概念; 3.学会对复数进行分类; 4.理解复数相等的充要条件; 5.培养学生类比、转化等思想方法,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 新课引入 探究新知识 新课引入 复习回顾 我们知道,对于实系数一元二次方程 ,当 时没有实数根,因此,在研究代数方程的过程中,如果限于实数集,有些问题就无法解决,事实上,数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题,但他们一直在回避.到16世纪,数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时,再也无法回避这个问题了,于是开始尝试解决.在解决这个问题的过程中,数学家们遇到了许多困扰,例如负实数到底能不能开平方?如何开平方?负实数开平方的意义是什么?等等, 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想,通过解方程等具体问题,感受引人复数的必要性,了解从实数系到复数系的扩充过程和方法,研究复数的表示、运算及其几何意义,体会“数”与“形”的融合,感受人类理性思维在数系扩充中的作用. 新课引入 探究新知识 在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时,一个自然的想法是,能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样,通过引进新的数而使实数集得到扩充,从而使方程变得可解呢?复数概念的引入与这种想法直接相关 新课引入 探究新知识 从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是 方程有没有解,进而可以归结为方程 有没有解. 追问1:想一想这是为什么? 新课引入 探究新知识 问题1:方程x2+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程,你能给出一种方法,适当扩充实数集,使这个方程有解吗? 回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每一次扩充都与实际需求密切相关.例如,为了解决正方形对角线的度量,以及x2+2=0这样的方程在有理数集中无解的问题,人们把有理数集扩充到了实数集.数集扩充后,在实数集中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律. 依照这种思想,为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=-i是方程x2+1=0的解,即使得i2=-1. 新课引入 探究新知识 注:虚数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头. 新课引入 探究新知识 问题2:把新引进的数i添加到实数集中,我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律.那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢? 依此规则,我们 ①把实数b与i相乘,结果记作bi ②把实数a与bi相加,结果记作a+bi 所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中,我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. 新课引入 探究新知识 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集. 1. 复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i 叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示,即 z=a+bi (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 注意:复数z的实部和虚部都是 数. 实 2.复数的代数形式 新课引入 探究新知识 这样,方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了 分析 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),以后不做特殊要求说明时z=a+bi都有a,b∈R,其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 问题3 如何对复数进行分类? 新课引入 探究新知识 问题4 两个复数满足什么条件时相等? 如:z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(a,b∈R) z1=a+bi与z2=c+di相等当且仅当a=c且b=d 注意:两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复 数相等.即如果 ,那么 新课引入 探究新知识 问题5 数集C和实数集R之间有什么关系? 复数a+bi 复 数 集 C 虚数集 实数集 R 纯虚数集 新课引入 探究新知识 例1 解:(1)当m-1=0时,即m=1时,复数z 是实数; (2)当m-1≠0时,即m≠1时,复数z 是虚数; (3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z 是纯虚数. 新课引入 探究新知识 例2 求适合下列方程的实数x与y的值: (1) (2) 新课引入 探究新知识 分析 若复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件. 1. (2023上海奉贤高一期末)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 巩固练习 A 新课引入 探究新知识 2. 当实数m取什么值时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是下列数? (1) 纯虚数; (2) 实数; (3) 虚数. 新课引入 探究新知识 3.已知 ,其中x、y∈R ,求x与y的值。 新课引入 课堂小结 2.虚数单位i的引入; 1.复数有关概念: 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数 新课引入 布置作业 同步练习 谢谢观看! 新课引入 结束语 $$