8.2 消元——解二元一次方程组 学案 2023--2024学年人教版七年级数学下册

课 题 第8章 二元一次方程 8.2消元——解二元一次方程组 教学目标 1.熟练二元一次方程解法 2.掌握三元一次方程的解法 3.掌握二元一次方程组的解的应用。 教学过程 【复习】 1.二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是方程kx+y=3的一个解，那么k的值是（　　） A．7 B．1 C．﹣1 D．﹣7 【学生定位】 问题1 二元一次方程的解法：代入消元法和加减消元法 1．用合适的方法解方程组 （1）； （2）． 问题2. 三元一次方程的解法 1．解三元一次方程组：． 问题3. 二元一次方程组的解（含参） 3.解方程组时，甲正确解出，乙因看错了c，而求得，则a，b，c的值分别为　　，　　，　 　． 4.若关于x，y的方程组没有实数解，则（　　） A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠2 5.已知，则x+y+z的值是（　　） A．80 B．40 C．30 D．不能确定 【精准突破】 【精准突破1】二元一次方程的解法 知识点一、代入消元法 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点二、加减消元法 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示． 【例题精讲】 【例题1-1】四名学生解二元一次方程组提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（　　） A．由①得x=，代入② B．由①得y=，代入② C．由②得y=﹣，代入① D．由②得x=3+2y，代入① 【例题1-2】用加减法解方程组，下列解法错误的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【例题1-3】解关于x，y二元一次方程组 （1）用a来表示方程组的解； （2）若方程组有正整数解，求整数a的值． 【精准突破2】三元一次方程的解法 解三元一次方程组的基本思路： 化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解． 【例题精讲】 【例题2-1】解三元一次方程组． 【精准突破3】二元一次方程组的解 二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【例题精讲】 【例题3-1】已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为　 　． 【例题3-2】已知方程组的解为，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 【巩固一】二元一次方程的解法 1．用加减法解方程组时，（1）×2﹣（2）得（　　） A．3x=﹣1 B．﹣2x=13 C．17x=﹣1 D．3x=17 2.用代入法解方程组时，代入正确的是（　　） A．x﹣2﹣x=4 B．x﹣2﹣2x=4 C．x﹣2+2x=4 D．x﹣2+x=4 3．用合适的方法方程组 （1）　　　　（2）． 【巩固二】三元一次方程的解法 1.三元一次方程组的解是　 　． 2.如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28=0的一个解，则a=（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 【巩固三】二元一次方程组的解 1.如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 2.已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a=2 B．a=6 C．a=﹣2 D．a=﹣6 3.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y=﹣3，则m的值（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 4.已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值． 【查缺补漏】 1.用适当方法解下列方程组． （1） （2）． 2.三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3、已知是方程组的解，则a+b=（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【举一反三】 1．用适当的方法解方程组． 2．解方程组：． 3.对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=am﹣bn，若3⊕（﹣5）=15，4⊕（﹣7）=28，则（﹣1）⊕2的值为（　　） A．﹣13 B．13 C．2 D．﹣2 4. 已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解． 【效果检验】 1．解下列方程组 （1）． （2）． 2.已知方程组的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 3.关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【课后作业】 1.解以下两个方程组：①，，较为简便方法的是（　　） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 2．用加减消元法解方程组时，有下列四种变形，正确的是（　　） A． B．C． D． 3．方程组的解适合方程x+y=2，则k值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 　 4．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 5.方程组的解为，则“△”、“□”代表的两个数分别为（　　） A．5，2 B．1，3 C．4，2 D．2，3 6.若2x+5y+4z=0，3x+y﹣7z=0，则x+y﹣z的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能求出 7.方程组，则|x﹣3|+xy2007=　　． 8.解方程： （1） （2）． 9.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第8章 二元一次方程 8.2消元——解二元一次方程组 教学目标 1.熟练二元一次方程解法 2.掌握三元一次方程的解法 3.掌握二元一次方程组的解的应用。 教学过程 【复习】 1.二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二元一次方程的解． 【解答】解：将x=1，y=0代入方程得：左边=1﹣0=1，右边=1，即左边=右边， 则是方程x﹣2y=1的解．故选D． 2．已知是方程kx+y=3的一个解，那么k的值是（　　） A．7 B．1 C．﹣1 D．﹣7 【考点】二元一次方程的解． 【解答】解：把代入方程kx+y=3中，得k+4=3，解得，k=﹣1，故选：C． 【学生定位】 问题1 二元一次方程的解法：代入消元法和加减消元法 1．用合适的方法解方程组 （1）； （2）． 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：（1） 由①得，x=1+2y 把x=1+2y代入②得3（1+2y）﹣5y=8，解得y=5， 代入x=1+2y=1+2×5=11， ∴原方程组的解为． （2）． ①×10得，2x﹣5y=﹣17③ ②×5+③得7x=﹣7，解得x=﹣1， 把x=﹣1代入②得﹣1+y=2，解得y=3， 所以原方程组的解为 问题2. 三元一次方程的解法 1．解三元一次方程组：． 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：①+②得5x+2y=16④， ③+②得3x+4y=18⑤，得方程组，解得，代入③得，2+3+z=6，∴z=1． ∴方程组的解为． 问题3. 二元一次方程组的解 3.解方程组时，甲正确解出，乙因看错了c，而求得，则a，b，c的值分别为　4　，　5　，　﹣2　． 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：把和分别代入方程组，得，解得．再把代入cx﹣7y=8中，得3c+14=8，∴c=﹣2． ∴a，b，c的值分别为4，5，﹣2． 4.若关于x，y的方程组没有实数解，则（　　） A．ab=﹣2 B．ab=﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab=﹣2且a≠2 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：，由①得，x=﹣1﹣ay， 代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a=0，即（﹣ab﹣2）y=b﹣a， 因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2=0，ab=﹣2．故选A． 5.已知，则x+y+z的值是（　　） A．80 B．40 C．30 D．不能确定 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：，①+②+③得：2x++2y+2z=80，∴x+y+z=40；故选B． 　 【问题考点】 问题1. 二元一次方的解法-代入消元法 对应知识点：（1）代入消元法；（2）加减消元法； 问题2. 三元一次方程的解法-加减消元法 对应知识点：（1）三元一次方程的解法； 问题3. 二元一次方程组的解 对应知识点：（1）二元一次方程组的解 【精准突破】 【精准突破1】二元一次方程的解法 知识点一、代入消元法 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 知识点二、加减消元法 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示． 【例题精讲】 【例题1-1】四名学生解二元一次方程组提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（　　） A．由①得x=，代入② B．由①得y=，代入② C．由②得y=﹣，代入① D．由②得x=3+2y，代入① 【考点】98：解二元一次方程组——代入消元法 【解答】解：A、正确，符合等式的性质；B、正确，符合等式的性质； C、错误，应该是由②得y=，代入①；D、正确，符合等式的性质．故选C． 【例题1-2】用加减法解方程组，下列解法错误的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【考点】98：解二元一次方程组——加减消元法． 【解答】解：A、①×3﹣②×2，可消去x，故不合题意；B、①×2﹣②×3，可消去y，故不合题意； C、①×（﹣3）+②×2，可消去x，故不合题意；D、①×2﹣②×（﹣3），得13x﹣12y=31，不能消去y，符合题意．故选D． 【例题1-3】解关于x，y二元一次方程组 （1）用a来表示方程组的解； （2）若方程组有正整数解，求整数a的值． 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：（1），由②得，x=2y③，把③代入①得，4y+ay=16， 解得y=，把y=代入③得，x=，所以方程组的解是； （2）∵16=1×16=2×8=4×4，方程组有正整数解， ∴a+4=1或a+4=16或a+4=2或a+4=8或a+4=4，解得a=﹣3或a=12或a=﹣2或a=4或a=0， 所以整数a的值为﹣3、12、﹣2、4、0． 【精准突破2】三元一次方程的解法 解三元一次方程组的基本思路： 化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解． 【例题精讲】 【例题2-1】解三元一次方程组． 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：②×3+③，得11x+10z=35 ④ ①与④组成方程组 解得，把代入方程②得，y=， 三元一次方程组的解为． 【精准突破3】二元一次方程组的解 二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【例题精讲】 【例题3-1】已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为　±2　． 【考点】97：二元一次方程组的解；21：平方根． 【解答】解：∵是二元一次方程组的解，∴ 解得，∵2m﹣n=2×3﹣2=6﹣2=4 ∴2m﹣n的平方根为±2．故答案为：±2． 【例题3-2】已知方程组的解为，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二元一次方程组的解． 【解答】解：将代入方程组，得：， ①+②，得：3a+3b=6，即a+b=2，故选：B． 【巩固练习】 【巩固一】二元一次方程的解法 1．用加减法解方程组时，（1）×2﹣（2）得（　　） A．3x=﹣1 B．﹣2x=13 C．17x=﹣1 D．3x=17 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：（1）×2﹣（2），得2（5x+y）﹣（7x+2y）=2×4﹣（﹣9）， 去括号，得10x+2y﹣7x﹣2y=2×4+9，化简，得3x=17．故选D． 2.用代入法解方程组时，代入正确的是（　　） A．x﹣2﹣x=4 B．x﹣2﹣2x=4 C．x﹣2+2x=4 D．x﹣2+x=4 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：，把①代入②得，x﹣2（1﹣x）=4，去括号得，x﹣2+2x=4． 故选C． 3．用合适的方法方程组 （1）　　　　（2）． 【考点】98：解二元一次方程组 【解答】解：（1），把①代入②，可得3x+2（2x﹣3）=8，解得x=2， 把x=2代入①，可得y=4﹣3=1，∴方程组的解为； （2） 由①×3﹣②×2，可得﹣21y+16y=24﹣20，即﹣5y=4，解得y=﹣， 把y=﹣代入①，可得2x﹣7×（﹣）=8，解得x=，∴方程组的解为． 【巩固二】三元一次方程的解法 1.三元一次方程组的解是　　． 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：， ①+②+③得：2（x+y+z）=22，即x+y+z=11④， 将①代入④得：z=6， 将②代入④得：x=2， 将③代入④得：y=3， 则方程组的解为．故答案为： 2.如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28=0的一个解，则a=（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：解方程组得．代入方程3x﹣5y﹣28=0得10a+﹣28=0，解得a=2.1．故选A． 【巩固三】二元一次方程组的解 1.如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 【考点】二元一次方程组的解． 【解答】解：把代入方程组，得， ①+②，得：7（a+b）=7，则a+b=1，故选C． 2.已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a=2 B．a=6 C．a=﹣2 D．a=﹣6 【考点】98：解二元一次方程组；86：解一元一次方程． 【解答】解：， 由②得：y=2x﹣1③， 把③代入①得：ax+3（2x﹣1）=2，∴（a+6）x=5， ∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=﹣6，故选D． 3.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y=﹣3，则m的值（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 【考点】二元一次方程组的解． 【解答】解：联立得：，①+②得：3x=3，解得：x=1， 把x=1代入②得：y=﹣4，把x=1，y=﹣4代入得：1﹣8=2m﹣1，解得：m=﹣3，故选A 4.已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值． 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：将代入方程组中的②，解得：c=3． 重组关于a、b的二元一次方程组，解得a=3，b=﹣1．解得abc=﹣9． 【查缺补漏】 1.用适当方法解下列方程组． （1） （2）． 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：（1）， ①代入②得，2（1﹣y）﹣y=﹣4，解得y=2， 把y=2代入①得，x=1﹣2=﹣1， 所以，方程组的解是； （2）， ①×②得，4x﹣6y=16③， ②﹣③得，11y=11，解得y=1， 把y=1代入①得，2x﹣3=8，解得x=， 所以，方程组的解是． 2.三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：由②，得y=5﹣z，由③，得x=6﹣z， 将y和x代入①，得11﹣2z=1，∴z=5，x=1，y=0∴方程组的解为．故选A． 3、已知是方程组的解，则a+b=（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：∵是方程组的解 ∴将代入①，得a+2=﹣1，∴a=﹣3． 把代入②，得2﹣2b=0，∴b=1． ∴a+b=﹣3+1=﹣2．故选B． 【举一反三】 1．用适当的方法解方程组． 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：，由②得3（x+y）+（x﹣y）=6，③ ③﹣①得5（x﹣y）=2，即x﹣y=，把x﹣y=代入③，得x+y=， 解方程组，得． 2．解方程组：． 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：原方程组化简得①+②得：20a=60，∴a=3， 代入①得：8×3+15b=54，∴b=2，即． 3.对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=am﹣bn，若3⊕（﹣5）=15，4⊕（﹣7）=28，则（﹣1）⊕2的值为（　　） A．﹣13 B．13 C．2 D．﹣2 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：根据题意得：3⊕（﹣5）=3m+5n=15，4⊕（﹣7）=4m+7n=28 ∴，解得：∴（﹣1）⊕2=﹣m﹣2n=35﹣48=﹣13，故选A． 4.已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解． 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：将代入②得，﹣12+b=﹣2，b=10； 将代入①得，5a+20=15，a=﹣1． 故原方程组为，解得． 【效果检验】 1．解下列方程组 （1）． （2）． 【考点】9C：解三元一次方程组；98：解二元一次方程组． 【解答】解：（1）． 原方程组可化为 由①×2﹣②×3，可得4y﹣（﹣9y）=39，解得y=3， 把y=3代入①，可得3x+6=12，解得x=2， ∴方程组的解为； （2） 由①+②，可得3x+4y=18，④ 由②+③，可得5x+2y=16，即10x+4y=32，⑤ 由⑤﹣④，可得7x=14，解得x=2， 把x=2代入④，可得6+4y=18，∴y=3， 把x=2，y=3代入①，可得2+3+z=6，∴z=1， ∴方程组的解为． 2.已知方程组的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：， ①+②得：3（x+y）=k+2，解得：x+y=， 代入x+y=2中得：k+2=6，解得：k=4， 则4的算术平方根为2，故选D 3.关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：根据题意，将x=1代入x+y=3，可得y=2， 将x=1，y=2代入x+py=0，得：1+2p=0，解得：p=﹣，故选：A． 【课后作业】 1.解以下两个方程组：①，，较为简便方法的是（　　） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：①是用x表示y的形式，用代入法解答合适；②中的方程中的t项互为相反数，用加减法比较合适；故选C． 2．用加减消元法解方程组时，有下列四种变形，正确的是（　　） A． B．C． D． 【考点】解二元一次方程组． 【解答】解：，①×2得，4x+6y=2，②×3得，9x﹣6x=30， 原方程组可化为．故选C． 3．方程组的解适合方程x+y=2，则k值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：， ①+②得，x+y=k+1，由题意得，k+1=2，解答，k=1，故选：C． 　 4．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：根据题意得：y=x，代入方程组得：，解得：，故选B． 5.方程组的解为，则“△”、“□”代表的两个数分别为（　　） A．5，2 B．1，3 C．4，2 D．2，3 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：将x=1代入x+y=3解得y=2，即□=2， 再把x=1，y=2代入2x+y=△，解得△=4．故选C． 6.若2x+5y+4z=0，3x+y﹣7z=0，则x+y﹣z的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能求出 【考点】9C：解三元一次方程组． 【解答】解：根据题意得：， 把（2）变形为：y=7z﹣3x， 代入（1）得：x=3z， 代入（2）得：y=﹣2z， 则x+y﹣z=3z﹣2z﹣z=0． 故选A． 7.方程组，则|x﹣3|+xy2007=　1　． 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：， ①+②得：3x=6，解得：x=2， 把x=2代入②得：2﹣y=2，解得：y=0， 则|x﹣3|+xy2007，=|2﹣3|+2×02007，=1+0，=1，故答案为：1． 8.解方程： （1） （2）． 【考点】98：解二元一次方程组． 【解答】解：（1）整理得 由①得x=﹣3﹣2y ③ ③代入②得2（﹣3﹣2y）﹣3y=1，解得y=﹣1 y=﹣1代入③得x=﹣1 ∴方程组的解为 （2）整理得 ①﹣②得到﹣6y=﹣18，解得y=3 y=3代入①得到x=2 ∴方程组的解为 9.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 【考点】97：二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）将代入原方程组得解得． 将代入原方程组得，解得， ∴甲把a看成﹣，乙把b看成了． （2）由（1）可知原方程组中a=﹣1，b=10．故原方程组为，解得． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$