精品解析：河南省南阳市社旗县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春期八年级期终教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分．试题共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2、试题上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔及2B铅笔直接把答案填涂在答题卡上，答在试题上的答案无效． 3、答题前，考生必需将本人姓名、准考证号等信息填涂在答题卡的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 2. 一种微粒的半径是米，用小数表示为（ ） A. m B. m C. m D. m 3. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 4. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ） 计算： 解：原式 A. ①：同分母分式的加减法法则 B. ②：合并同类项法则 C. ③：提公因式法 D. ④：等式的基本性质 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上） 11. 分式，的最简公分母是______． 12. 某外贸公司要出口一批规格为克/盒红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取盒进行检测，测得它们的平均质量均为克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是__________．（填“甲”或“乙”） 13. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，______，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______． 解 设原计划平均每天制作x个，根据题意，得 14. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. （1）计算：． （2）化简：； 17. 下面是一道例题及其解答过程一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 18. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用表示，分成6个等级：．；．；．；．；．；．）．下面给出了部分信息： a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下： b．八年级学生上学期期末地理成绩在．这一组的成绩是： 15，15，15，15，15，16，16，16，18，18 c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下： 学期 平均数 众数 中位数 八年级上学期 15 八年级下学期 19 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________； （2）若为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人； （3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由． 19. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形． 20. 如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象． 21. 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）水温从20℃加热到100℃，需要______分钟； （2）在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式； （3）求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 23. 【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形中，．求证：． 证明：设与交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，． …… 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段上，且．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展探究】如图，在正方形中，点E为上一点，分别交于F、G，垂足为点O．若正方形边长为12，，则四边形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期八年级期终教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分．试题共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2、试题上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔及2B铅笔直接把答案填涂在答题卡上，答在试题上的答案无效． 3、答题前，考生必需将本人姓名、准考证号等信息填涂在答题卡的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将关于x的分式方程去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边都乘以，从而可得答案． 【详解】解：∵， 去分母得：， 整理得：， 故选A． 【点睛】本题考查是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键． 2. 一种微粒的半径是米，用小数表示为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数．熟练掌握中表示第一个不为零的数字前零的个数是解题的关键． 根据小于1的数的科学记数法的表示进行求解即可． 【详解】解：由题意知，米，用小数表示m， 故选：A． 3. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，她的最后得分为分， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键． 4. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．利用分式的基本性质逐个选项分析即可解答． 【详解】解：A、分子和分母都加上3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； B、分式的分子乘以，分母乘以，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； C、分子和分母都减去3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； D、分式的分子和分母都除以c，符合分式的基本性质，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ） 计算： 解：原式 A. ①：同分母分式的加减法法则 B. ②：合并同类项法则 C. ③：提公因式法 D. ④：等式的基本性质 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的加减法法则、合并同类项法则、提公因式法、分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、①：同分母分式的加减法法则，则此项正确，不符合题意； B、②：合并同类项法则，则此项正确，不符合题意； C、③：提公因式法，则此项正确，不符合题意； D、④：分式的基本性质，则此项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加减法、合并同类项、提公因式法、分式的基本性质，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 9. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 10. 如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上） 11. 分式，的最简公分母是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 12. 某外贸公司要出口一批规格为克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取盒进行检测，测得它们的平均质量均为克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】先由题干条件得出两厂红枣价格相同，品质也相近，平均质量相同，再根据方差判定它们的稳定性，越稳定的则越符合． 【详解】解：由题可知，它们的价格相同，品质也相近，测得它们的平均质量均为 200 克， 而由图形可知，甲厂的红枣每盒质量相对乙厂更加稳定， 因此甲厂产品更符合规格要求， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的应用，解决本题的关键是读懂题意和图形，能根据图形判定产品的波动性大小并进行比较等，本题较基础，考查了学生读题、审题以及观察图形的能力等． 13. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，______，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______． 解 设原计划平均每天制作x个，根据题意，得 【答案】实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．根据题意设原计划平均每天制作x个，结合所列方程，即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作x个，根据题意，得 ， 根据解题过程，上面横线处空缺的条件应是：实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍， 故答案为：实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍． 14. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. （1）计算：． （2）化简：； 【答案】（1）19 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先将括号内的分式通分计算，再将除法变为乘法计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ． 17. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 【答案】，，，过程见解析 【解析】 【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，第一步进行的是通分， ∴， ∴， 原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键． 18. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用表示，分成6个等级：．；．；．；．；．；．）．下面给出了部分信息： a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下： b．八年级学生上学期期末地理成绩在．这一组的成绩是： 15，15，15，15，15，16，16，16，18，18 c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下： 学期 平均数 众数 中位数 八年级上学期 15 八年级下学期 19 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________； （2）若为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人； （3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由． 【答案】（1）16 （2）35 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩； （2）根据样本估计总体即可求解； （3）根据平均成绩或中位数即可判断． 【小问1详解】 解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩， 由统计图知A组4人，B组10人，C组10人，则中位数在C组，第20、21位的成绩分别是16，16， 则中位数是； 故答案为：16； 【小问2详解】 解：(人)， 这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人， 故答案为：35； 【小问3详解】 解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 19. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形． 【答案】（1）答案不唯一，①或② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取； （2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形． 【小问1详解】 解：①或② 小问2详解】 添加条件①，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形 【点睛】本题考查矩形判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键． 20. 如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】根据S△ADP=•DP•AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC，得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围． 【详解】解：S△ADP=•DP•AD=x×4=2x， ∴y=2x（0＜x≤4）； 故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2）， 因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段． 如图所示： 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方． 21. 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）水温从20℃加热到100℃，需要______分钟； （2）在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式； （3）求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【小问1详解】 开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； 【小问2详解】 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问3详解】 ∵开机加热时每分钟上升20℃ ∴，水温 ∵， ∴当时，， ∴水温不低于40℃的时间范围为 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键． 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 23. 【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形中，．求证：． 证明：设与交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，． …… 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段上，且．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展探究】如图，在正方形中，点E为上一点，分别交于F、G，垂足为点O．若正方形的边长为12，，则四边形的面积为______． 【答案】教材呈现：见解析；类比探究：，理由见解析；拓展探究: 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理应用， 教材呈现：直接证明即可证明结论； 类比探究：过点A作交于点M，作交的延长线于点N，证明即可证明结论； 拓展探究：先求出，进而求出面积． 【详解】解：教材呈现： 证明：设与交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 类比探究：猜想：，理由见解析 证明：过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即； 拓展探究：， 由类比探究知，， 正方形的边长为12，， , ， 则四边形的面积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$