专题06 二次根式易错必刷题型专训（51题17个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题06 二次根式易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（22-23八年级下·天津蓟州·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 1．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【易错必刷三 二次根式有意义的条件】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知满足，求的值． 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．b B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： .（结果用含的式子表示） 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 【易错必刷五 复合二次根式的化简】 1．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【易错必刷六 二次根式的乘除法】 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷七 最简二次根式的判断】 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）下列二次根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在、、、中最简二次根式是 ． 3．（22-23八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【易错必刷八 化为最简二次根式】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 3．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【易错必刷九 已知最简二次根式求参数】 1．（2023·山东聊城·一模）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 3．（22-23八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【易错必刷十 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列各式中，能与合并的是（     ） A． B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【易错必刷十一 二次根式的加减运算】 1．（2024·河北邯郸·二模）若，则（    ） A．25 B．20 C．24 D．30 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）计算： ． 3．（23-24八年级下·四川自贡·期末）计算：． 【易错必刷十二 二次根式的混合运算】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是 ． 3．阅读材料，回答下列问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式． （1）的有理化因式是______． 这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ①， ②， ③， ④，…， （2）用上述方法判断：若，，则，的关系是______． （3）计算：． 【易错必刷十三 分母有理化】 1． =（    ） A．9 B． C． D． 2．计算： ， ， . 3．【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【易错必刷十四 已知字母的值化简求值】 1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 2．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）若，则代数式的值为 ． 3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 【易错必刷十五 已知条件式化简求值】 1．（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，那么 ． 3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【易错必刷十六 比较二次根式的大小】 1．（2021上·八年级课时练习）的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 2．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 3．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【易错必刷十七 二次根式的应用】 1．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（    ）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的面积为300 D．大长方形的长为 2．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ． 3．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形术板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； (2)图①中阴影部分的面积为 ； (3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次根式易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（22-23八年级下·天津蓟州·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可． 【详解】解：A、无意义，故本项错误； B、，根指数为3，不是二次根式，故本项错误； C、符合二次根式的定义，故本项正确； D、无意义，故本项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式． 2．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，解题关键在于正确地计算． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 1．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 【易错必刷三 二次根式有意义的条件】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件被开方数不小于零进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故选：D． 2．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：依题意，得：， 解得：； 又； 即； ∴； ； 故． ∴的值为． 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用数轴得出，再利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 故原式． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： .（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二， (2) 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； （2） ． 【易错必刷五 复合二次根式的化简】 1．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 2．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 【易错必刷六 二次根式的乘除法】 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：A：，括号里面的被开方数不同，不能相加；故A错误，不符合题意； B：=；应该用前面一个括号的每一项分别乘以后面一个括号的每一项；故B错误，不符合题意； C：，用平方差公式进行计算即可；故C正确，符合题意； D：，用平方差公式进行计算即可，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则和运算顺序以及平方差公式和完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【解析】略 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【易错必刷七 最简二次根式的判断】 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）下列二次根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在、、、中最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式，符合题意； ，不是最简二次根式，不符合题意； ，不是最简二次根式，不符合题意； ，不是最简二次根式，不符合题意； 综上：最简二次根式有， 故答案为：． 3．（22-23八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【易错必刷八 化为最简二次根式】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题关键是掌握最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据二次根式的定义逐项判定即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、是最简二次根式，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简二次根式，代数式求值，先根据二次根式被开方数的非负性求出x的值，进而求出y值，再代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 【易错必刷九 已知最简二次根式求参数】 1．（2023·山东聊城·一模）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴23﹣a＝2时，a＝21； 23﹣a＝8时，a＝15； 23﹣a＝18时，a＝5； 23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）； ∴符合条件的正整数a的值为5、15、21． ∴a的最小值为5． 故选D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 3．（22-23八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【易错必刷十 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列各式中，能与合并的是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A．不能与合并，故本选项不符合题意； B．3不能与合并，故本选项不符合题意； C．，不能与合并，故本选项不符合题意； D．，所以能与合并，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以加减合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见解析． 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 【详解】解：不存在．理由如下： 若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 【易错必刷十一 二次根式的加减运算】 1．（2024·河北邯郸·二模）若，则（    ） A．25 B．20 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的加法求解即可． 【详解】解：， 所以， 故选：B 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是能正确合并同类二次根式． 根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川自贡·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷十二 二次根式的混合运算】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算和除法法则对B、D选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 【详解】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．已知，则代数式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．把的值代入原式，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．阅读材料，回答下列问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式． （1）的有理化因式是______． 这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ①， ②， ③， ④，…， （2）用上述方法判断：若，，则，的关系是______． （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键． （1）根据有理化因式求解； （2）利用分母有理化把进行化简可得到与的关系； （3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：（1）的有理化因式为； （2）与互为相反数． 理由如下：， ， 故答案为：； （3） ． 【易错必刷十三 分母有理化】 1． =（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案． 【详解】解：原式 故选：C． 2．计算： ， ， . 【答案】 / 【分析】此题考查了二次根式的化简求值， 根据二次根式的性质和分母有理化法则分别计算即可. 【详解】解：，， 故答案为：，， 3．【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）∵， ∴， ∴．即． ∴， ∴． 【易错必刷十四 已知字母的值化简求值】 1．（2023上·湖南邵阳·八年级统考阶段练习）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：当时，， ∴ ， ∴乙计算正确． 观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确， 故选B． 2．（2024上·山东淄博·九年级校联考期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据减法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 则 ， 故答案为：1 3．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值， （1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可； （2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可； 【详解】（1）原式， （2）∵， ∴原式 【易错必刷十五 已知条件式化简求值】 1．（2024下·全国·八年级假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 2．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 3．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 【易错必刷十六 比较二次根式的大小】 1．（2021上·八年级课时练习）的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 【详解】解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 2．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等． 3．（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 【易错必刷十七 二次根式的应用】 1．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了大长方形，已知小长方形的长为、宽为，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（    ）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的面积为300 D．大长方形的长为 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、解题的关键是根据图形可知大长方形的长是小长方形宽的3倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【详解】解：由题意大长方形的长为，宽为， 故面积为， 所以A、B、C正确， D错误，符合题意． 故选：D． 2．（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 请你利用公式解答：在中，己知，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，直接利用已知计算公式得出p的值，进而利用面积公式计算得出答案． 【详解】解：∵a，b，c分别表示三边之长，p表示周长的一半，即， ， 的面积为：． 故答案为：． 3．（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形术板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； (2)图①中阴影部分的面积为 ； (3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能截出，理由见详解 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， 故答案为：，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：6； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 学科网（北京）股份有限公司 $$