3.4乘法公式题型全归纳2023-2024学年浙教版数学七年级下册

七年级下册3.4乘法公式题型全归纳 知识网络 重难突破 知识点一 平方差公式及应用 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2 【典例1】下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n） 【变式训练】 1．（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 2．下列各式中，不能用平方差公式的是（　　） A．（3x﹣2y）（3x+2y） B．（a+b+c）（a﹣b+c） C．（a﹣b）（﹣b﹣a） D．（﹣x+y）（x﹣y） 3.下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（　　） A．（2x+3y）（2y﹣3x） B．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y） C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y） D．（﹣2x﹣3y）（2x+3y） 4．计算（﹣x+y）（x+y）的结果是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2 5．下面有4道题，小明在横线上面写出了答案：①（a+b）（b﹣a）＝﹣a2+b2，②（﹣a5）÷（﹣a）2＝﹣a3，③32019×（）2020＝3，④若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝4．他写对答案的题是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6、代数式（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1的末尾数字是 7．（1）在括号内填入适当的整式：（2a+b）（　 　）＝b2﹣4a2． （2）与7x – y2的乘积等于y4 – 49x2的代数式为 8．（1）（-a + 2）（-a + 2）= （2）（ab – c）（-ab - c）= （3）（2a - 5）（-2a - 5）= （4）（a + ）（a - ）= （5）（2a - b）（b + 2a）（b2 + 4a2）= （6）（x - ）（x2 - ）（x + ）= （7）（x2 + 2）（x2 - 2）-（x + 2）（x - 2） 9、（1）（a+2b﹣3c）（a﹣2b+3c）= （2）若（2a + 2b + 1）（2a + 2b - 1）=7，那么a + b = （3）已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝　 　． （4）若a + m＝200，a﹣m＝4，则a2﹣m2＝　 　 （5）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　 　． （6）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是　 　． 10、2023×2025 - 20242= 11．（1）计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝　 　． （2）计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝　 　． 12.（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（　　） A．1﹣a4 B．1+a4 C．1﹣2a2+a4 D．1+2a2+a4 13、若m2 – n2=6，且m – n = 2，则3m +3 n = 14．观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1…… 则22008+22007+22006+……+22+2+1＝　 　． 15．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1． 请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝　 　． 16．阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…… （1）根据以上规律，（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝　 　； （2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020的值 17．若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：1＝12﹣02，7＝42﹣32，因此1和7都是“和谐数”． （1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由； （2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由． 命题1：数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”， 命题2：“和谐数”一定是奇数． 知识点二 完全平方公式及应用 完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 【典例2】（2m+3）（﹣2m﹣3）的计算结果是（　　） A．4m2﹣9 B．﹣4m2﹣9 C．﹣4m2﹣12m﹣9 D．﹣4m2+12m﹣9 1．计算（﹣a﹣b）2等于（　　） A．a2+b2 B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 2．若（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A等于（　　） A．12ab B．15ab C．30ab D．60ab 3．若（x + m）2＝x2+kx+16，则m的值为（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 4.若（x + n）2=x2 + mx + 4,则m= 5、计算：（1）（3x + 4y）2= （2）（-3 + 2a）2= （3）（2a - b）2= （4）（-3a – 2b）2= （5）（a－b + c)2= （6）（2x－y－z）（2x+ y－z） = 4．计算： （1）（2a﹣1）2﹣（a+3）（a﹣7）． （2）（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）． （3）（2x﹣3y）2﹣（y﹣3x）（3x﹣y） （4）（x – 2y）（x + 2y）- （x + 2y）2 （5）（x﹣3y﹣2）（﹣x﹣3y﹣2） 5、若（x + y）2 = 9,（x – y）2=5,则x y的值为 6、已知（2024 - a）2 + （2023 - a）2 = 1，则（2024 - a）（2023 - a）= 7.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2＝1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）＝　　 ． 题型01 是否构成完全平方公式 1.若是一个完全平方式，则的值为(        ) A. B. C. D. 2、如果4x2﹣kx+9是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．6 B．±6 C．±12 D．12 3、若是完全平方式，则的值是(        ) A. B. C.或 D.或 4、若x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，则k的值为（　　） A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 5、若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是　 　 6、如果4x2+2mx+9是完全平方式，则m的值是　 　． 7、如果是一个完全平方式，那么的值为_________. 8、若x2﹣（a﹣1）x+16是一个完全平方式，则a＝　 　． 9.若x2+2kx是一个完全平方式，则k＝　 　． 题型02 完全平方公式的灵活运用 1、已知x + y＝5，x y＝6，则x2+y2的值是（　　） A．1 B．13 C．17 D．25 2、如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3、已知，则的值是(        ) A. B. C. D. 4、已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　 　 5、若ab＝﹣2，a2+b2＝5，则（a﹣b）2的值为　 　． 6、，，求和ab的值． 7、（1）已知：x+2y=7，x y=6，求(x-2y)2的值． （2）已知x y=10，（x-2y）2 = 1,求（x + 2y）2的值 8、，求（1）（2） 9、已知，求和的值； 10、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值 11、 已知，都是有理数，求的值。 12、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。 13．观察例题，然后回答：例：x3，则x2　 　． 解：由x3，得（x）2＝9，即x22＝9 所以：x29﹣2＝7 通过你的观察你来计算：当x6时，求下列各式的值： ①x2　 　； ②（x）2＝　 　． 14.如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）. 观察图请你写出 ，，之间的等量关系是________； 根据中的结论，若，，则________； 拓展应用：若 ，求 的值． 题型03 完全平方公式的几何运用 【典例3】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab 【变式训练】 1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 3．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值． （3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积． 4．（1）已知x2+y2＝34，x﹣y＝2，求（x+y）2的值． （2）设y＝kx（x≠0），是否存在实数k，使得（3x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）+6xy化简为28x2？若能，请求出满足条件的k的值；若不能，请说明理由． 5．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论： ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]① （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab② 利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5， （1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值； （2）求（6m﹣4039）2的值． 6．已知M＝（a﹣2b）（﹣a+2b）﹣（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） （1）设b＝ma，是否存在实数m，使得M能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由； （2）若N＝8（a﹣b），且M﹣N的值与b无关，求M﹣N的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$