精品解析：湖北省武汉市武昌区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学素养调研 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案自代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四位同学中选出一名同学，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了四位同学10次平时成绩的平均数及方差： 甲 乙 丙 丁 平均分 92 98 92 98 方差 1 1.8 1.8 1 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b0，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在某次综合与实践活动中，小明同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为251毫米，则他的鞋号（码）是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 9. 如图，正方形的边长为1，在轴上，点，分别在直线和直线上，若，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置． 11. 计算的结果是______． 12. 请写出一个经过第一、三、四象限的一次函数的解析式______． 13. 在学校演讲比赛中，小明的得分为：演讲内容87分，演讲能力98分，演讲效果90分，若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照的比确定，则小明的最终成绩是________分． 14. 矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为________． 15. 已知一次函数的图象与轴交于点，且，则下列结论： ①函数图象一定经过定点； ②若函数图象不经过第四象限，则； ③不等式的解集为，则； ④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为1．其中正确的结论是________（请填写序号）． 16. 如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则最大值是________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点，分别在平行四边形的边，上，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 19. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在线段上，过点作于点，作于点，若四边形为正方形，求点坐标； （3）点在轴上，点在第一象限，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 21. 如图是由小正方形组成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； （2）在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 22. 某中学计划租用客车送名学生和名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示．设租车总费用为元，租用甲型客车辆． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租________辆客车； （2）若学校计划租车总费用在元的限额内，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调元，乙型客车每辆租金下调元，若租车的最低费用是元，求的值． 23. 问题提出 如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系； （2）再探究一般情形，如图1，探究与数量关系： 问题拓展 （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）． 24. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． （1）直接写出直线的解析式； （2）如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； （3）如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学素养调研 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案自代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A 2. 下列式子中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可判断． 【详解】解：A、 与不是同类二次根式，故A不符合题意． B、与不是同类二次根式，故B不符合题意． C、由于，所以与是同类二次根式，故C符合题意． D、 由于，所以与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四位同学中选出一名同学，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了四位同学10次平时成绩的平均数及方差： 甲 乙 丙 丁 平均分 92 98 92 98 方差 1 1.8 1.8 1 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，平均数越高成绩越好，方差越小状态越稳定，由此判断即可． 【详解】解：由表格数据可知，乙、丁的平均数比甲、丙大，而丁的方差比乙的小， 因此丁的成绩较好且状态稳定，应选的同学是丁． 故选D． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一计算后判定即可． 【详解】A． 和不是同类二次根式，不能合并，错误，该选项不符合题意； B． ，错误，该选项不符合题意； C． ，正确，该选项符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：C． 5. 在中，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 6. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b0，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小， ∴k＜0． ∵b0， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 7. 如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据选项中的条件，结合平行四边形的判定定理验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、四边形的对角线，相交于点，，， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； B、四边形中，，， 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； C、四边形中，，，是一组对边平行、另一组对边相等， 不能判断四边形是平行四边形， 选项符合题意； D、四边形中，， ， ， ， ， 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判断四边形是平行四边形， 选项不符合题意； 故选：C． 8. 在某次综合与实践活动中，小明同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表： 鞋号（码） … 33 34 35 36 37 … 脚长（毫米） … … 若小华的脚长为251毫米，则他的鞋号（码）是（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确获得函数解析式是解题关键．根据题意，可知鞋号x与脚长y的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为，利用待定系数法解得函数解析式，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知鞋号x与脚长y的对应关系为一次函数， 设鞋号与脚长的关系式为，根据题意，得 ，解得，， 所以鞋号与脚长的关系式为， 令，则有， 解得， ∴若小华的脚长为251毫米，则他的鞋号（码）是40码． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为1，在轴上，点，分别在直线和直线上，若，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和正方形性质，解题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，利用正方形性质求解即可． 正方形的边长为1，设点的坐标为，则，，．由题意得，求出即可． 【详解】解：正方形的边长为1， 设点的坐标为，则，，． 由题意可知，． ， 解得：，故点． 故选B． 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点，如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是且， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置． 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是灵活运用运算法则． 12. 请写出一个经过第一、三、四象限的一次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一，，） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式．熟练掌握当时一次函数经过第一、三、四象限． 根据当时一次函数经过第一、三、四象限求解作答即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在学校演讲比赛中，小明的得分为：演讲内容87分，演讲能力98分，演讲效果90分，若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照的比确定，则小明的最终成绩是________分． 【答案】92 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据题意，由加权平均数计算公式代值求解即可得到答案，熟记加权平均数的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意可得小明的最终成绩是， 故答案为：92． 14. 矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、含的直角三角形性质和三角形面积公式等知识，先由题意得到，，过点作于，如图所示，构造直角三角形，在中，结合矩形性质及含的直角三角形性质得到，最后由三角形面积公式表示出矩形面积代值求解即可得到答案，熟记矩形性质、含的直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 详解】解：根据题意，如图所示： ，， 过点作于，如图所示： 在矩形中，， 在中，，，，则， 矩形的面积为， 故答案为：16． 15. 已知一次函数的图象与轴交于点，且，则下列结论： ①函数图象一定经过定点； ②若函数图象不经过第四象限，则； ③不等式解集为，则； ④直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为1．其中正确的结论是________（请填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，两直线围成的面积；根据以上知识逐个判断即可． 【详解】解：当时，，即函数图象一定经过点，故①正确； 函数图象不经过第四象限，则，即， 得，故②错误； 不等式的解集为，即不等式的解集为， 当时，，即直线过点， 所以直线与直线交于点， 当时，直线在直线的上方，则；故③正确； 当时，，，即， 所以； 又当时，，，即， 则； 故，故④正确； 综上，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 16. 如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】以为边向上构造等边，连接，，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由平行四边形的判定方法得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得 ，作，取中点，连接，，由勾股定理得，，由，即可求解． 【详解】解：以为边向上构造等边，连接，， ， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形为平行四边形， 点为中点， 过点， ， 如图，作，取中点，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为； 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，构建等边三角形，找出取得最大值的条件是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合计算、二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先把每项化简成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）利用二次根式的乘法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，点，分别在平行四边形的边，上，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质得到，，再由三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中 全等三角形性质，结合平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，再由矩形的判定即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：（答案不唯一），理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 四边形为平行四边形， 若添加，则根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到四边形为矩形． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、三角形全等的判定与性、矩形的判定等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 19. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 【答案】（1）200；57 （2）B （3）345名 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数，样本估计总体，读懂统计图表，理清它们之间的数据关系是解题的关键． （）用等级的人数除以其百分比可求出，再求出等级的人数，由即可求出； （）根据中位数的定义即可求解； （）用乘以A等级人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数为： ， ∴等级的人数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在等级； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校有345名学生的成绩达到A等级． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在线段上，过点作于点，作于点，若四边形为正方形，求点的坐标； （3）点在轴上，点在第一象限，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，把，代入得方程组，解方程组即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，把，代入得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，解得， 点的坐标为； 小问3详解】 解：在中，令，则，令，则， ，， 由题意得点在轴上，点在坐标平面内，以，，，为顶点四边形是菱形， 当为菱形的边长， ①当时，在左侧时坐标为；在右侧时坐标为，此时，， 当坐标为时，（舍去）；当坐标为时，； ②时，此时、都为等腰三角形，故，（舍去）； 当为菱形的对角线时，由题意可得，设坐标为，则，解得， 坐标为， ，且， ， 坐标为； 综上所述，，． 【点睛】本题一次函数与特殊平行四边形综合，难度较大，涉及一次函数的图象与性质、待定系数法确定函数解析式、正方形性质、解二元一次方程组求做标、勾股定理、菱形的性质、两点之间距离公式、等腰三角形的判定与性质等知识，解答该题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点及正方形、菱形的性质． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； （2）在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接，交于点，连接，延长交一点，连接，延长交网格线一点，连接，四边形即为所求； （2）取格点，作直线交于点，交一点，连接，取格点，连接，取格点，，连接交于点，连接，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 点，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 直线，四边形即为所求． 22. 某中学计划租用客车送名学生和名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示．设租车总费用为元，租用甲型客车辆． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租________辆客车； （2）若学校计划租车总费用在元的限额内，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调元，乙型客车每辆租金下调元，若租车的最低费用是元，求的值． 【答案】（1） （2），或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质． （1）分别求出全部租用甲型、乙型客车的数量，根据客车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师即可得答案； （2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到关于的函数解析式，根据总费用在元的限额内列不等式组，求出的取值范围即可； （3）根据租车最低费用是元，列出不等式可求的值． 【小问1详解】 解：如果全部租用甲型客车需要（辆）， 如果全部租用乙型客车需要（辆）， ∵客车辆数为整数，且有名教师，每辆汽车上至少要有名教师， ∴共需租辆汽车． 故答案为： 【小问2详解】 设租用辆甲种客车，则租用乙种客车辆， ∴租车费用， ∵， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴关于的函数解析式是，自变量的取值范围是或或． 【小问3详解】 租车费用， 当即时，不符合题意舍； 当即时，随的增大而增大，时，有最小值， ∴， 解得：． 当即时，随的增大而减小，时，有最小值， ∴， 解得：不符合舍去． 综上所述，m的值为40. 23. 问题提出 如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系： 问题拓展 （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合已知条件可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定得到，进而可得结论； （2）如图1，过E作于P，于H，证明四边形是正方形，则，，证明可得是等腰直角三角形，，利用等腰三角形的判定，结合三角形的外角性质得到即可； （3）如图3，推导出，故要求的最小值，只需求的最小值，作点A关于的对称点，连接、、，由，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用勾股定理求解的长． 【详解】解：（1）， 证明：如图2，∵四边形是正方形， ∴，， ∵点与重合，点与重合，平分， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）． 证明：如图1，过E作于P，于H，则， ∴四边形是矩形，又， ∴， ∴, ∴四边形是正方形，则，； ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （3）如图3，连接， ∵正方形的边长为， ∴， 由（2）知， ∵， ∴要求的最小值，只需求的最小值， 作点A关于的对称点，连接、、，则，， ∴，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 过O作于M，则， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 此时的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 24. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． （1）直接写出直线的解析式； （2）如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； （3）如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求出的坐标，进而得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示，由已知条件，利用三角形全等的判定与性质得到，再由待定系数法确定函数关系式求出直线，最后由一次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）设，，根据题意，分两种情况讨论，由，得到点坐标，从而消去，得到点的运动轨迹，从而由动点最值问题-点线模型，结合等面积法列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即；当时，，即； 点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为，将、代入得，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示： 由（1）知、、， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， 在等腰中，，则，即是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， 设，将、代入得，解得， 直线，则直线与轴的交点的坐标为； 【小问3详解】 解：设，， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， 、， ，， ，即， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；则线段交轴于点，如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， ， ，， ，即， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题-点线模型、两点之间距离公式、等面积法求线段长等知识，熟记一次函数图象与性质、数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$