精品解析：安徽省淮南第一中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

2023—2024学年（下）安徽高二期末质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A. 等边三角形的边长a与其面积S B. 匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t C. 杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D. 某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x 3. 若圆：和圆：交点为A，B，则线段的中垂线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A 11 B. 7 C. D. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. 120 C. 64 D. 84 6. 甲、乙两名同学计划今年暑假各自从黄山、琅琊山、天堂寨、三河古镇4个旅游景点中随机选择一个游玩.现已知至少有一名同学选择了琅琊山，则两名同学选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 过点能向曲线作切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 11. 设数列满足，且当时，有则（ ） A. ， B. ， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等6名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同站法共有________种.（用数字作答） 13. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为________. 14. 已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了40名男观众和40名女观众，已知男观众中有32人偏向燃油车，女观众中有16人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车. （1）根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异； 偏向燃油车 偏向新能源车 总计 男观众 女观众 总计 （2）现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10828 16. 如图，在四棱锥中，平面，，且， . （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知抛物线：的焦点为，准线过点，过点的直线交于A，B两点. （1）求的方程； （2）若的斜率为2，求； （3）设点，，且，求的斜率. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若只有一个零点，求； （3）若有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年（下）安徽高二期末质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A. 等边三角形的边长a与其面积S B. 匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t C. 杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D. 某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关关系的定义即可逐一判断. 【详解】对于A选项，因为，边长a与面积S是确定的函数关系，故A错误； 对于B选项，设匀速直线行驶的汽车的速度为，，所以位移s与行驶时间t是确定的函数关系，故B错误； 对于C选项，杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r具有相关关系，通常情况下，土壤湿润度r会一定程度上影响杂交水稻植株的高度h值的，故C正确； 对于D选项，因为班级某次数学考试的平均分x等于班级总分除以学生人数n，所以当班级总分确定的情况下，某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x是一种确定关系，故D正确； 故选：C. 3. 若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心，利用相交两圆的对称性即可求得相交弦的中垂线方程. 【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即线段的中垂线， 故其方程为：，即. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 11 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令可得，代入运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得， 解得，即， 所以. 故选：A. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. 120 C. 64 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】给出通项公式，令，即可求解． 【详解】解：二项式展开式通项公式为：， 令，解得， 所以展开式中的常数项为：， 故选：A 6. 甲、乙两名同学计划今年暑假各自从黄山、琅琊山、天堂寨、三河古镇4个旅游景点中随机选择一个游玩.现已知至少有一名同学选择了琅琊山，则两名同学选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件,表示出所求事件的概率为，分别利用古典概型概率公式求得和，利用条件概率公式即可求得. 【详解】设事件表示“两人中至少有一名同学选择了琅琊山”，事件表示“两名同学选择的景点不同”，依题意求. 因两名同学均有4种选择，共有16个基本事件，其中两人中至少有一名同学选择了琅琊山分两种情况， 一是都选择了琅琊山，二是一人选择了琅琊山，另一人选择了其他景点， 故事件包含个基本事件，而事件包含的基本事件有个， 故所以， 故选：D. 7. 过点能向曲线作切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，求导写出切线方程，代入点，化简得到，将题设要求切线条数问题转化为该方程解的个数问题求解. 【详解】设切点为，由求导得,故切线斜率为，则切线方程为：， 因曲线经过点，则，又，则得，， 化简得，（*）， 令，则，因，故在上恒成立， 即在上为增函数， 又，而，由零点存在定理可得，在上必有一个零点， 即方程（*）只有一个解，故切线只有一条. 故选：B. 8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的图象可得的单调性，结合单调性分析判断. 【详解】由题意可知：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，，，故AD正确，B错误； 又因为不在同一单调区间内，所以无法比较的大小，故C错误； 故选：AD. 10. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的图象及正态分布的对称性即可逐一判断. 【详解】对于A选项，因为，根据对称性，， 所以，故A错误； 对于B选项，因为，根据对称性，， 所以，，故B正确； 对于C选项，由正态分布定义可知，，故C错误； 对于D选项，，故D正确； 故选：BD. 11. 设数列满足，且当时，有则（ ） A ， B. ， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过累乘法，可判定A正确；结合数学归纳法，可以证明，从而可判定B错误；求得的值，猜想，利用数学归纳法，得到，，可判定C正确；根据通项公式和C选项，可以求出的通项公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，当为偶数时，则为奇数，可得且，， 则，即，所以， 即， 因为，所以，又，所以，所以A正确； 对于B中，由成立，假设，则 由，知，所以， 即时，也成立，所以，不存在，，所以B错误； 对于C中，由， ，猜想， 当时，成立，假设， 由， 则 ，即时，也成立， 所以，故C正确； 对于D中，因为当n为奇数时，，为奇数 所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是应用由特殊到一般的数学思想，然后结合数学归纳法进行证明，求得的通项公式，从而可以得出，最后逐项即可判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等6名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同的站法共有________种.（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余同学排列，结合排列数运算求解. 【详解】先将甲乙看成一个整体，再与剩余同学排列， 所以不同的站法共有种. 故答案为：240 13. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为________. 【答案】## 【解析】 【分析】建系，写出相关点的坐标，分别求出与平面的法向量的坐标，代入点到平面距离的向量计算公式计算即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则, 于是，，, 设平面的法向量为，则， 故可取，则点到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，， 由对称性可知：，可知为平行四边形， 且，可知为矩形，可得， 由题意可得：，即， 因，可得， 整理可得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了40名男观众和40名女观众，已知男观众中有32人偏向燃油车，女观众中有16人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车. （1）根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异； 偏向燃油车 偏向新能源车 总计 男观众 女观众 总计 （2）现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6635 10.828 【答案】（1）列联表见详解，男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异 （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）求样本中男女生人数，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得列联表： 偏向燃油车 偏向新能源车 总计 男观众 32 8 40 女观众 16 24 40 总计 48 32 80 零假设：男观众和女观众买车意向的偏向情况没有差异， 则， 根据小概率值的独立性检验可知：零假设不成立， 所以可以认为男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异. 【小问2详解】 因为抽取的9人中有名男观众，名女观众， 可知的可能取值为0，1，2，3，则有： ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，且， . （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合面面垂直的判定定理分析证明； （2）建系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由题意可知：，则，可知， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以A为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系， 则， 可得， 由（1）可知：平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面与平面夹角为， 则，可得， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）利用错位相减法求和即可求解. 【小问1详解】 当时，； 当时，，， 得：； 又因为，不满足上式， 所以， 【小问2详解】 由（1）可得，， 则 得： ， 所以 18. 已知抛物线：的焦点为，准线过点，过点的直线交于A，B两点. （1）求的方程； （2）若的斜率为2，求； （3）设点，，且，求的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据准线方程可得，即可得结果； （2）联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解； （3）设直线，联立方程可得方程①；设双曲线方程，联立方程可得方程②，结合题意分析求解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，准线， 由题意可得：，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，设， 由题意可知：， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则 ， 所以. 【小问3详解】 设直线， 联立方程，消去x可得，记为方程①， 则，解得， 设， 可知点在双曲线上， 联立方程，消去x可得，记为方程②； 可知分别为方程①、②的根， 可得，解得， 经检验，可得符合题意，所以的斜率为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，由，转化为双曲线，结合双曲线与抛物线的交点分析求解. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若只有一个零点，求； （3）若有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，即得结果； （2）由题意可推得直线即的切线，通过导数的几何意义列出方程组，消去求得，再回代① 求出的值； （3）由题意得方程组，消去并设，分别求出，，设函数，研究函数的单调性和极值，推理即得证. 【小问1详解】 当时，，， ，，故切线方程为：， 令，则得， 即曲线在点处的切线在轴上的截距为. 【小问2详解】 因只有一个零点，则与，只有一个交点， 由作图知，直线即的切线.设切点为，因， 则有，由① 得代入② ，，解得， 回代入① 可得：（*）， 设，则， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 故时，有极大值，为，即方程（*）在上只有1个实根为，故由（*）知. 【小问3详解】 依题，，则有， 因且，将两式相除得，， 令，则，代入中，化简得：， 解得，，则， 不妨设， 设，则， 令，则，则在上单调递增， 故，即得，故得在上单调递增， 则有，即得，故,得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与函数零点有关的不等式证明，属于难题. 解题的关键在于根据零点得到的方程组，先设法消去参数，再对进行整体换元，从而把待证不等式转化成的函数式，通过研究函数的单调性等性质即可证得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$