3.3 幂函数（十大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.3幂函数 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 知识点2 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型一 幂函数的辨析 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是 A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 求幂函数的解析式 6．已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 7．已知幂函数图象过点，当时， . 8．已知幂函数的图象过点，当时， ． 9．函数是幂函数，则 ． 10．已知幂函数的图像过点，求幂函数的表达式． 11．已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 题型三 求幂函数的定义域 12．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 13．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 14．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 15．已知幂函数的定义域为，则实数 ． 16．已知幂函数的图象过点，求幂函数的表达式，并写出其定义域． 17．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 题型四 幂函数的单调性和奇偶性 18．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 20．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 21．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 22．已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 23．（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（    ） A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 题型五 幂函数的图象判断 24．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 25．已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   27．已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   28．（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 29．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 30．如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 题型六 幂函数图象过定点问题 31．任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 32．幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 33．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 34．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 题型七 求幂函数的值域 35．若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（多选）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 37．下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 38．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 39．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 题型八 利用幂函数的单调性求参数 40．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 41．探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 42．函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ． 43．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 44．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 45．已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 题型九 利用幂函数的单调性解不等式 46．若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 47．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 48．已知，求实数的取值范围. 49．已知幂函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 50．已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 51．已知幂函数在定义域上不单调. (1)求m的值． (2)若，求实数a的取值范围． 题型十 利用幂函数的单调性比较大小 52．设，，，则（   ） A． B． C． D． 53．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 54．已知，则（    ） A． B． C． D． 55．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（多选）已知点，若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 57．比较下列各组数的大小： (1) ； (2)，； 58．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3幂函数 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 知识点2 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型一 幂函数的辨析 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 2．下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 3．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数为幂函数； 函数中的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数不是（是常数）的形式，所以它不是幂函数； 函数与不相等，所以不是幂函数． 所以这4个函数中，幂函数只有1个 故选：B 4．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数， 故，为幂函数，，均不为幂函数. 故选：B 5．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由幂函数的定义直接进行判断所给的函数中是幂函数的是和. 【详解】解: 形如的函数是幂函数, 幂函数的系数为,指数是常数, 所以,,,, ,,七个函数中, 是幂函数的是和. 故选:C 【点睛】本题考查幂函数的定义,解题时要熟练掌握幂函数的概念. 题型二 求幂函数的解析式 6．已知是幂函数，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 7．已知幂函数图象过点，当时， . 【答案】4 【详解】设幂函数解析式为， 代入点可得， 所以幂函数为， 当，所以. 故答案为：4. 8．已知幂函数的图象过点，当时， ． 【答案】/ 【详解】设，则，即，∴，即， ∴当时，． 故答案为： 9．函数是幂函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或（舍） 故答案为：. 10．已知幂函数的图像过点，求幂函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设幂函数的解析式为， 则有，即， ，， . 11．已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【答案】(1)． (2)或2． (3) 【详解】（1）∵为正比例函数， ∴． （2）∵为反比例函数， ∴， ∴或． （3）∵为幂函数， ∴， ∴． 题型三 求幂函数的定义域 12．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 13．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 14．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 15．已知幂函数的定义域为，则实数 ． 【答案】1 【详解】由题意得到，解得：或， 当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意． 故． 故答案为：1 16．已知幂函数的图象过点，求幂函数的表达式，并写出其定义域． 【答案】，定义域为 【详解】设幂函数的表达式为，． ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴这个幂函数的表达式为，定义域为. 17．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 题型四 幂函数的单调性和奇偶性 18．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 19．如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 20．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 21．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 22．已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 【答案】A 【详解】点在幂函数的图象上，则，解得， 所以， 由幂函数的性质可知，幂函数定义域为， ，函数是奇函数，A选项正确；B选项错误； 函数在和上单调递减，但在定义域内不单调，CD选项错误. 故选：A 23．（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（    ） A．当时，在是单调递减 B．当时，在是单调递减 C．当时，是偶函数 D．当时，是偶函数 【答案】AD 【详解】对于A，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是偶函数， 所以在是单调递减，故A正确； 对于B，当时，在单调递增， 且注意到，且定义域关于原点对称，即是奇函数， 所以在是单调递增，故B错误； 对于C，当时，定义域为，它为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，当时，定义域为， 且 ，所以此时是偶函数，故D正确. 故选：AD. 题型五 幂函数的图象判断 24．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 故选：A 25．已知实数满足等式，给出下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤，其中可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象 如图所示： 由图可知在处；在处；在处； 在处；在两曲线的三个交点处均满足，所以①②⑤正确. 故选:C. 26．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 27．已知函数，若，则函数的图象是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【详解】作出函数的图象如下图所示：    因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示：    故选：C. 28．（多选）函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，A可能； 对于B，二次函数开口向下，则，此时存在与图中符合，如，B可能； 对于C，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，C可能； 对于D，二次函数开口向上，则，此时在为增函数，不符合，D不可能. 故选：ABC 29．如图是幂函数的部分图象，已知取、2、、这四个值，则与曲线、、、相对应的依次为 ． 【答案】2、、、 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以、、、相对应的依次为2、、、. 故答案为：2、、、. 30．如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 题型六 幂函数图象过定点问题 31．任意两个幂函数图象的交点个数是（    ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 【答案】A 【详解】解：因为所有幂函数的图象都过， 所以最少有个交点， 如图所示： 当函数为和时，它们有个交点， 故选：． 32．幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 33．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 34．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 题型七 求幂函数的值域 35．若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由幂函数的性质可知，则A是B的真子集， 则是的充分不必要条件. 故选：A 36．（多选）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】AC 【详解】因为的值域为R，所以， 又因为为奇函数，所以. 故选：AC 37．下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 38．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 39．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为. 题型八 利用幂函数的单调性求参数 40．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 41．探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 【答案】B 【详解】由题意可得且为奇数， 所以. 故选：B. 42．函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ． 【答案】0 【详解】由，得或， 再把和分别代入，检验得． 故答案为：0 43．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【详解】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 44．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 45．已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 【答案】 【详解】因为在上是增函数，所以，解得 又因为，所以， 当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去， 当时，为偶函数，符合题意， 当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去， 所以. 题型九 利用幂函数的单调性解不等式 46．若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 47．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 48．已知，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由于幂函数为上的单调递增函数， 由可得，故， 故的范围为 49．已知幂函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，所以， 解得： （2）由（1）知，的定义域为， 所以在上单调递减， 当，解得：， 当，解得：， 当，解得：， 故实数的取值范围为：. 50．已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 51．已知幂函数在定义域上不单调. (1)求m的值． (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，不合题意； 当时，， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递减， 但， 所以函数在定义域上不单调，符合题意， 所以. （2）因为函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 因为，可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或． 题型十 利用幂函数的单调性比较大小 52．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故 故选：B 53．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，， ，所以，则. 故选：D. 54．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，， 化简， 因为幂函数在上单调递增，而， 所以. 故选：B. 55．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 又在上单调递减，，所以， 所以. 故选：C 56．（多选）已知点，若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，设，将点代入可得，解得，则， 因为和函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，，A正确； B选项，函数在上单调递减，在上单调递增， 故与的大小不确定，B错误； C选项，因为函数在上单调递增， 所以，C正确； D选项，因为函数在上单调递减， 所以，则，D错误. 故选：AC 57．比较下列各组数的大小： (1) ； (2)，； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于函数 在单调递减，，所以. （2）由于函数 在单调递增，，所以故. 58．比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以． （2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以． （3），，，因为幂函数在上单调递增，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$