3.2.2 奇偶性（七大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.2.2奇偶性 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点2 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． 题型一 函数奇偶性定义与判断 1．“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．，是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 3．已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 5．对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 6．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 7．判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 题型二 由奇偶性求解析式 8．已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 9．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 10．设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 11．已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 12．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝.求： (1)f(1)和f(－1)的值； (2)f(x)在[－1，1]上的解析式． 题型三 奇偶性求函数值 13．已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 14．已知函数是上的奇函数，，则 . 15．已知函数为奇函数，则 ． 16．已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 17．设，若，则 ． 18．已知函数，若，则 ． 19．已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 题型四 由奇偶性求参数 20．已知为偶函数，则 . 21．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 22．已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 23．若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 24．若是偶函数，则在区间上是 函数． 25．设是定义在上的奇函数，则 题型五 由奇偶性解不等式 26．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 31．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 32．已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为 . 33．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 题型六 比较大小 34．已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 35．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 36．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 37．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 40．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 题型七 抽象函数的奇偶性 41．已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 42．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，，则（    ） A． B． C．0 D．3 43．已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 44．（多选）已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数对称中心为 B． C． D． 45．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心 . 46．若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2奇偶性 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点2 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． 题型一 函数奇偶性定义与判断 1．“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 所以，所以是偶函数； 设函数，则，，， 所以是偶函数，但不是奇函数， 故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．，是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】若，均为奇函数，则有， 所以，所以“为奇函数”，故充分性成立， 若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立. 综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件. 故选：B． 3．已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】令，若是奇函数或偶函数，则， 所以是偶函数，所以的图像关于轴对称，必要性成立； 反之，不妨令则，所以的图像关于轴对称， 但是是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件． 故选：B． 4．已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【详解】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 5．对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 【答案】①③ 【详解】①若函数是偶函数，则，则，故①正确； ②令，为定义在上的函数，且满足，但函数不是偶函数，故②错误； ③对于定义域为的函数，若，根据偶函数定义，则函数不是偶函数，故③正确， 故答案为：①③. 6．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 7．判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称， ∴既不是奇函数，又不是偶函数． （4）的定义域是，定义域关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有， 所以为偶函数． 题型二 由奇偶性求解析式 8．已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 9．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ；当为偶函数时，函数的表达式是 ． 【答案】 【详解】当时，，． 若是奇函数，则，则. 若是偶函数，，则. 故答案为：；. 10．设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】由奇函数的性质可知，，即， 又，得， 所以. 故答案为： 11．已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 【答案】 【详解】令，则，故， 又， 所以当时，. 故答案为： 12．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝.求： (1)f(1)和f(－1)的值； (2)f(x)在[－1，1]上的解析式． 【答案】(1)f(1)＝0，f(－1)＝0 (2)f(x)＝ 【详解】 解：(1) 因为f(x)是周期为2的奇函数， 所以f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，f(－1)＝0. (2) 由题意知f(0)＝0.当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1). 由f(x)是奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－＝－. 综上，f(x)＝ 题型三 奇偶性求函数值 13．已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点， 所以，D正确，其他选项不对. 故选：D 14．已知函数是上的奇函数，，则 . 【答案】2 【详解】因为函数是上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：2 15．已知函数为奇函数，则 ． 【答案】/ 【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，， 此时， 故，所以. 故答案为：. 16．已知函数在上的值域为，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上的值域为， 令，所以在上的取值范围为， 又是奇函数，所以在上的值域为， 所以在上的值域为． 故选:B． 17．设，若，则 ． 【答案】3 【详解】，则； . 故答案为：3. 18．已知函数，若，则 ． 【答案】6 【详解】解：令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故答案为：6. 19．已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 【答案】2 【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 题型四 由奇偶性求参数 20．已知为偶函数，则 . 【答案】 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 21．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 22．已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以， 故， 所以. 故选：B． 23．若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 24．若是偶函数，则在区间上是 函数． 【答案】严格增 【详解】显然定义域是全体实数，它关于原点对称， 若是偶函数，则恒成立， 即恒成立，所以，， 二次函数开口向下，对称轴为， 所以在区间上是严格增函数. 故答案为：严格增. 25．设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 题型五 由奇偶性解不等式 26．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 27．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 显然时，满足； 因为在上单调递增，，所以在上单调递增，， 当时，不等式等价于， 因为在上单调递增，所以； 当时，不等式等价于， 因为在上单调递增，所以； 综上可知不等式的的取值范围是. 故选：B 28．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 29．奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为奇函数，得，且， 所以不等式等价于. 根据已知在上单调递增，以及奇函数的对称性， 可知在上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 30．已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】奇函数在上为增函数，且， 则在上为增函数，且， ，解得或；，解得或. 不等式，等价于或， 解得或. 故选：A 31．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 32．已知是定义在上的奇函数，且它在区间上是严格增函数，若不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知：在R上单调递增， 等价于， 则. 故答案为： 33．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【详解】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 题型六 比较大小 34．已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确； 对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得， 又因为在上单调递减，可得， 因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数， 所以，所以B不正确； 对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确； 对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确. 故选：D. 35．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 36．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 37．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因是偶函数，故， 又因当时，是增函数，由可得：， 即. 故选：A. 38．已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于，当时，都有恒成立， 则在上单调递增，有， 又函数是偶函数，，，， 所以. 故选：A 39．定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，为奇函数且在上单调递增，则在上为增函数， 故在上为增函数， 又为奇函数，则， 而的图象关于点对称，则， 则有，即，即函数是周期为的周期函数， 故，，，则有． 故选：A． 40．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，且在上是严格增函数， 所以. 故答案为：. 题型七 抽象函数的奇偶性 41．已知函数是定义在R上的偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数， 所以关于对称，则， 又， 所以，即， 函数的周期为4， 取，则， 所以，则D选项正确，B、C选项错误； 由已知条件不能确定的值，A选项错误； 故选：D. 42．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 因为为偶函数即关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 所以， 故， 故选：B 43．已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A 因为为偶函数 所以 即 即 即的图象关于直线对称 而的图象是由的图象向左平移个单位得到的 所以的图象关于直线对称 所以A正确 对于B 构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 故B错误 对于C 构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 所以C错误 对于D 构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 所以D错误 故选：A 44．（多选）已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数对称中心为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】令 对A：可以认为是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误； 对B：若为定义在上的奇函数，则，B正确； 对C、D：若为奇函数，则，即，得， 令，得，但无法确定与是否相等，C错误； 令，得，D正确； 故选：BD. 45．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心 . 【答案】 【详解】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为， 将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象， 所以函数的图象的一个对称中心为； 故答案为：. 46．若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 【答案】 【详解】∵是奇函数， ∴， 令，得，即，∴， 令，得，即， ∵是定义在上的偶函数， ∴，， ∴. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$