精品解析：浙江省宁波市余姚市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

余姚市2023-2024学年第二学期初中期末学业质量评价卷 七年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，∠B与∠3是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 2. 杭州奥体中心游泳馆安装了独立水处理系统，其过滤器的过滤精度可达米，数据用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 3. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 4. 某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共500人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　） A. 抽取前150名同学的数学成绩 B. 抽取后150名同学的数学成绩 C. 抽取其中150名女子的数学成绩 D. 抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩 5. 已知二元一次方程，当时，x的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 9. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植480棵树．由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务．设志愿者加入后每天种树x棵，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：______． 12. 要了解一批灯泡的使用寿命，从10000只灯泡中抽取80只灯泡进行试验，在这个问题中，样本容量是_______． 13. 如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是_____． 14. 分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______________． 15. 当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则_________________． 16. 将两个边长分别为a和b正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则_________________． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组 （1）； （2）． 19. 先化简，并在，，1，3中选一个合适的值代入求值 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的，画出平移后的； （2）如图边上有一格点，连，计算的面积． 21. 为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费．为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题： （1）这次调查抽取了多少用户用水量数据？ （2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数； （3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？ 22. 如图，已知，． （1）求证： （2）若，，求的度数． 23. 图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余姚市2023-2024学年第二学期初中期末学业质量评价卷 七年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，∠B与∠3是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角． 【详解】根据定义，知两个角是一对同旁内角． 故选：C． 【点睛】考查了同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 2. 杭州奥体中心游泳馆安装了独立的水处理系统，其过滤器的过滤精度可达米，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：B 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意． 故选：B． 4. 某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共500人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（　　） A. 抽取前150名同学的数学成绩 B. 抽取后150名同学的数学成绩 C. 抽取其中150名女子的数学成绩 D. 抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的可靠性，根据抽样调查要具有广泛性与代表性进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中进行的抽查，对抽查对象划定了范围，不具有代表性，因此不合理， 故选：D． 5. 已知二元一次方程，当时，x的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．将代入二元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：由题知，二元一次方程中，当时， 有，解得， 故选：B． 6. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可进行求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 7. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式是解题的关键．根据因式分解的概念逐一进行分析即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B 8. 已知，则代数式的值为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解： ， 故选：B． 9. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植480棵树．由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务．设志愿者加入后每天种树x棵，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据结果提前天完成任务，列分式方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 10. 某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质得出，再根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，进而解答即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式来分解因式． 【详解】解∶ ． 故答案为∶ ． 12. 要了解一批灯泡的使用寿命，从10000只灯泡中抽取80只灯泡进行试验，在这个问题中，样本容量是_______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了样本容量的问题，掌握样本容量的定义是解题的关键．根据样本容量的定义求解即可． 【详解】解：由题知，样本容量是80， 故答案为：80． 13. 如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是_____． 【答案】α+β 【解析】 【详解】如图，作OE∥AB，则OE∥CD， ∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β， ∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β. 故答案为α+β. 【点睛】本题关键在于构造辅助线，再根据平行线的性质解题. 14. 分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为： ， 若分式的值为m， 则所得分式的值是m． 故答案为：m． 15. 当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”，点是爱心点，则_________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，以及“爱心点”的定义，正确掌握“爱心点”的定义是解题关键．直接利用“爱心点”的定义用含的式子表示出m，n的值，再将其代入求解，即可得出答案． 【详解】解：点是爱心点， ，， 即，， ， ， ， ， 解得． 故答案为：4． 16. 将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则_________________． 【答案】77 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，先计算出，，，，根据完全平方公式变形计算的值，正确理解图形及掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由图可知：，； ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； 故答案为77． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行运算，再进行加减运算，即可解题； （2）先利用平方差公式，以及完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，以及解分式方程，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）直接利用加减消元法求解，即可解题； （2）根据解分式方程的方法和步骤求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由整理得， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 经检验是该方程的解． 19. 先化简，并在，，1，3中选一个合适的值代入求值 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分式有意义的条件及平方差公式，熟练掌握分式的性质和分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的性质和平方差公式进行运算，再根据分式有意义的条件求得，且，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ＝ ， ∵，且， ∴，且， 把代入得，． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的，画出平移后的； （2）如图边上有一格点，连，计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图、三角形的面积等知识，理解题意、灵活运用所学知识解决问题成为解答本题的关键． （1）将A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到平移后的图形． （2）利用三角形面积公式求出，又由图知，进而得到即可解题． 【小问1详解】 解：平移后的如图所示： 【小问2详解】 解：由图知，， ， ． 21. 为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格：超出25吨的部分实行加价收费．为了更好地决策，自来水公随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点不包括左端点），请根据统计图解决以下问题： （1）这次调查抽取了多少用户的用水量数据？ （2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角的度数； （3）估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？ 【答案】（1）100户；（2）作图见解析，“25吨～30吨”部分的圆心角为144°；（3）21万户 【解析】 【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“10吨～15吨”部分的用户数和所占百分比即可求得此次调查抽取的用户数． （2）求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“25吨～30吨”部分的户所占百分比乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数． （3）根据用样本估计总体的思想即可求得该地30万用户中用水全部享受基本价格的用户数． 【详解】解：（1）∵10÷10%=100（户）， ∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据． （2）∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100﹣10﹣40﹣25﹣5=100﹣80=20（户）， ∴据此补全频数分布直方图如图： 扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为； （3）∵被抽查的100户中不超过25吨用水量的户数为：（户）， ∴（万户）． ∴该地30万用户中约有21万户居民用水全部享受基本价格． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图信息关联，理解两种统计图之间的联系，理清对应关系是解题关键． 22. 如图，已知，． （1）求证： （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识． （1）先根据得到，结合证明，从而得到，即可证明； （2）先证明，进而证明，即可求出． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ，， ，即， ， 23. 图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】（1） （2）木木的方法正确，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 小问1详解】 解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 【小问2详解】 木木方法正确，理由如下： 由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为 ， ， 木木方法正确． 【小问3详解】 如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：9，3；2，6；任务二：240张；任务三：需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成张学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背张和坐垫张； 方法三：裁切靠背张和坐垫张； 故答案为：，；，； 任务二： （张），， 该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅； 任务三： 设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张， 根据题意得： 解得： （张）， 需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$