3.2.2 函数的奇偶性 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

3.2.2 函数的奇偶性 知识点一 判断函数的奇偶性 【解题思路】判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 【例1】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)；(8). 【变式】 1．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 2.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)(2)(3)(4)，(5) (6)；(7)(8) 知识点二 根据奇偶性补充图像 【解题思路】巧用奇、偶函数的图象求解问题 奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． 【例2】（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分 (1)请画出函数当时的图象； (2)写出函数的解析式，值域，增区间． 【变式】 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)求当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间． 知识点三 根据奇偶性求参数 【解题思路】利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【例3-1】（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例3-2】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【例3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【例3-4】（2024内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【变式】 1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 知识点四 根据奇偶性求解析式 【解题思路】用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【例4-1】（23-24·陕西西安）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是 . 【例4-2】（23-24福建漳州）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【变式】 1．（22-23广东阳江）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时， . 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 重难点一 奇偶性与单调性解不等式 【解题思路】函数的奇偶性与单调性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3. 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域 【例5-1】（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·北京·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5（22-23高一上·北京·阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 重难点二 奇偶性与单调性比较大小 【解题思路】　比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例6 】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·海南儋州·期末）（多选）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则的从小到大的顺序为 . 重难点三 奇偶性与单调性求最值 【例7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函数在区间上单调递增且有最大值，则函数在区间上（    ） A．单调递增且最小值为 B．单调递增且最大值为 C．单调递减且最小值为 D．单调递减且最大值为 【例7-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【例7-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【变式】 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则 . 4．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，则= 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 1． 单选题 1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 4．（22-23高一上·天津·期末）已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（22-23高三上·山西运城·期中）已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 10．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．的值域为 D． 11．（23-24高一上·陕西汉中·期末）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若，则 ． 13．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 14．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，且满足，则实数的取值范围是 ． 4． 解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 16．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知是定义在R上的奇函数，其中，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性（判断即可，不必证明）； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 函数的奇偶性 知识点一 判断函数的奇偶性 【解题思路】判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 【例1】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)；(8). 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)非奇非偶函数，证明见解析(3)非奇非偶函数，证明见解析 (4)奇函数，证明见解析(5)偶函数，证明见解析(6)奇函数，证明见解析(7)偶函数，证明见解析 (8)奇函数，证明见解析 【解析】（1）为奇函数定义域为R，关于原点对称， 且，所以为奇函数. （2）为非奇非偶函数，定义域为R，关于原点对称， ，且，所以，为非奇非偶函数. （3）为非奇非偶函数，定义域为，不关于原点对称， 所以，为非奇非偶函数. （4）为奇函数，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数. （5）为偶函数，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数. （6）为奇函数，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数. （7）为偶函数，定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且.对于，， 有，.同理可推得，，. 综上所述，，都有，所以为偶函数. （8）为奇函数，定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且.对于，， 有，.同理可推得，，. 综上所述，，都有，所以为奇函数. 【变式】 1．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【答案】C 【解析】因为函数表达式为，定义域为，所以，所以为偶函数；又，所以C正确.故选：C 2.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)(2)(3)(4)，(5) (6)；(7)(8) 【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)非奇非偶函数(4)非奇非偶函数(5)非奇非偶函数(6)奇函数(7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称， 所以.又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有，所以，，所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 知识点二 根据奇偶性补充图像 【解题思路】巧用奇、偶函数的图象求解问题 奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． 【例2】（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分 (1)请画出函数当时的图象； (2)写出函数的解析式，值域，增区间． 【答案】(1)图象见解析 (2)，的值域为，增区间为，. 【解析】（1）时函数的图象如图所示： （2）由题设中的图象可得，有两个解，它们分别为， 故可设，而， 故，解得，故当时，. 而当时，，， 因为偶函数，故， 所以. 从题设的函数图象可得，当时，的取值范围为， 因为为偶函数，故的值域为， 当时，在上为增函数，在为减函数， 因为为偶函数，故在上为减函数，在为增函数， 故的增区间为，. 【变式】 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 【答案】(1)， (2) (3)作图见解析，单调增区间，，值域 【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以；； （2）设，则， 因为当时，， 所以， 因为是偶函数， 所以； （3）因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象， 由图象可知的单调增区间，， 当时，， 当时，， 所以值域为. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．    (1)求当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间． 【答案】(1)当时， (2)图象见解析，和 【解析】（1）由题意设，则， 所以， 因为为上的偶函数，所以， 所以， 所以，当时，． （2）由题意，偶函数的图象关于轴对称，作出函数图象如下： 据图可知，函数的单调递增区间为：和． 知识点三 根据奇偶性求参数 【解题思路】利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【例3-1】（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得, 而当时，函数是上的偶函数，所以.故选：A. 【例3-2】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 【例3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，通过对比系数得.故选：A 【例3-4】（2024内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 【变式】 1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由函数为奇函数，可得， 可得，解得， 经检验，当时，， 满足，符合题意，所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，可得，解得，所以． 故选：A 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得.故答案为： 知识点四 根据奇偶性求解析式 【解题思路】用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【例4-1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是 . 【答案】 【解析】当时，，所以， 由于为奇函数，所以， 故， 故答案为: 【例4-2】（23-24高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【解析】因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 【变式】 1．（22-23高一上·广东阳江·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时， . 【答案】 【解析】由题意，函数为奇函数，且当时，， 则当时，，则. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ． 【答案】 【解析】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【解析】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，，所以.故答案为：. 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【答案】 【解析】函数对一切实数都满足，所以， 设，则， ， 又因为，即，所以 所以.故答案为：． 重难点一 奇偶性与单调性解不等式 【解题思路】函数的奇偶性与单调性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3. 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域 【例5-1】（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，且，所以； 又在区间上单调递增，所以， 有，即，解得. 故选：D 【例5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是偶函数，在上单调递增，， 则在上单调递减，， ，则有或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式】 1．（23-24高一上·北京·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上是增函数，又， 所以在上是增函数，，， 所以当时，当时， 当时，当时， 所以的解集为或. 故选：D 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，即， 即当时，， 设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得， 所以不等式得解集为. 故选：A 3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 4．（23-24高一上·江西·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，所以， 则，故，解得. 故选：D. 5（22-23高一上·北京·阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即， 故选：B. 6．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 重难点二 奇偶性与单调性比较大小 【解题思路】　比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例6 】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是偶函数，所以，. 因为在上是增函数，所以， 所以. 故选;D. 【变式】 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 2．（22-23高一上·海南儋州·期末）（多选）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】若为偶函数，则， ∵在上是增函数， ∴ 即，，， A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则的从小到大的顺序为 . 【答案】 【解析】因为函数是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以. 故答案为：. 重难点三 奇偶性与单调性求最值 【例7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函数在区间上单调递增且有最大值，则函数在区间上（    ） A．单调递增且最小值为 B．单调递增且最大值为 C．单调递减且最小值为 D．单调递减且最大值为 【答案】A 【解析】因为是奇函数，所以的图象关于原点对称， 又在区间上单调递增且有最大值， 所以在区间上单调递增且最小值为. 故选：A. 【例7-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以. 故选：B 【例7-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 【变式】 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【解析】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【解析】， 令，因为是奇函数，所以， ，所以函数是奇函数， 所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，， 解得. 故选：A. 3．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则 . 【答案】 【解析】令为奇函数，， . 故答案为： 4．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【解析】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，则= 【答案】 【解析】设，，又， 所以为奇函数，则，所以， 所以，所以.答案为：. 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】6 【解析】令，，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以．故答案为：6. 1． 单选题 1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【解析】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 3．（22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 4．（22-23高一上·天津·期末）已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，由，可得，即函数在上单调递增， 又定义在上的函数满足，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 所以或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 6．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调减函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图像关于直线对称，∴， 又函数在上为单调减函数，∴， 即，∴， 故选：C. 7．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 8．（22-23高三上·山西运城·期中）已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 在R上为偶函数， ∴， ∴关于x=1对称. ∵ 在R上为奇函数， ∴， ∴关于对称，且 ∵，∴（将上式中的x换成x-1）① 又∵，∴ ② ∴由①②得： ③ ∴由③得： ④ （将③中的x换成x+2） ∴由③④得： ∴的一个周期为，且，关于对称 又∵对任意的，且，都有， ∴在上单调递增. ∴在一个周期内的草图为： ∴， ， ∴如图所示：， 即：， 故选：C. 2． 多选题 9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 【答案】ABD 【解析】A：由题意知，函数的定义域为，故A正确； B：当时，，当时，， 所以函数的值域为R，故B正确； C：函数在和上单调递增，不是增函数，故C错误； D：如图，函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故D正确. 故选：ABD 10．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．的值域为 D． 【答案】BCD 【解析】有意义，则，解得，故的定义域为，A错； 的定义域关于原点对称，且，故是偶函数，B对； ， 令，易知在单调递增， 故或，即的值域为，C正确； ，故D正确. 故选：BCD 11．（23-24高一上·陕西汉中·期末）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【答案】BD 【解析】因，函数定义域关于原点对称，且，，即函数是奇函数，故A项正确，B项错误； 对于C项，当时，，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即； 当时，因函数，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即. 故函数的值域为，C项正确； 对于D项，通过C项分析知函数在上是增函数，故D项错误. 故选：BD. 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若，则 ． 【答案】3 【解析】，则； . 故答案为：3. 13．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】易知的定义域，关于原点对称， 又，故为奇函数， ，又均为上的增函数， 故为上的增函数，又为奇函数，故为上的增函数； 即，故． 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 16．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3)最小值，最大值. 【解析】（1）函数是奇函数，理由如下： 函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2）函数在区间上的单调递增，证明如下： ，，， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上的单调递增. （3）由（1）（2）知，函数是奇函数，且在上的单调递增， 因此函数在上单调递增， 所以当时，. 17．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【解析】（1）函数是奇函数， 当时，，则， 当时，， 当时，，则， 因此，恒有成立， 所以函数是奇函数. （2）当时，单调递减，当时，单调递减，又， 因此函数在上单调递减，， 由对所有恒成立，得，即， 令，依题意，任意，， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知是定义在R上的奇函数，其中，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性（判断即可，不必证明）； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递减 (3) 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 又因为，所以，解得， 所以，，则为奇函数， 所以，. （2）在上单调递减. 由（1）知，， 当时，， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以在上单调递减. （3）由（2）可知在上单调递减，所以， 记在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为， 所以，无解， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，非负实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$