第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试 考点一 不等式的性质 1．（23-24高一江苏无锡·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一河北衡水·期末）（多选）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 4．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 基本不等式 1．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 2．（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·重庆·期末）（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 考点三 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（23-24高二下·浙江·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·江苏扬州·期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 4．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 6．（2024山东）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 一、单选题 1．（23-24 山东青岛·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高一下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 5．（23-24高一·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 6．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24 江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024广东深圳）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 11．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 ． 13．（23-24 青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 14．（2024·江西宜春 ）已知，，且满足，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（2024安徽合肥）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 16．（2025甘肃）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 17．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）． (1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值； (2)若f(1)=2， ①a＞0，b＞0，求的最小值； ②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围． 18．（23-24浙江）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 19．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试 考点一 不等式的性质 1．（23-24高一江苏无锡·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A.若，此时，故A错误； B.若，则，则，故B正确； C. ，，所以， 即，故C错误； D. 若，则，则，故D正确； 故选：BD 2．（23-24高一河北衡水·期末）（多选）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确； 对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确； 对于C选项，因为，但是，所以C不正确； 对于D选项，若，则，即，故选项D正确. 故选：BD. 3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【解析】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 4．（23-24高一上·河北唐山·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项，因为，所以，故两边同除以得， ，A正确； B选项，因为，所以，故两边同除以得， ，B错误； C选项，因为，所以，故， 同理可得，C错误； D选项，因为，所以， 故，故， ，故，所以，D正确. 故选：AD 考点二 基本不等式 1．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（      ） A．4 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【解析】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：. 2．（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 4．（23-24高一下·重庆·期末）（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 5．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 考点三 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（23-24高二下·浙江·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为，等价于解得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 2．（23-24高一·江苏扬州·期末）命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）已知， ①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； ②如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；② ；（2） 【解析】（1）①由题意可得，解得， ②为开口向上的二次函数，对称轴 如果对，恒成立，则或或 解得 （2）①若；此时不等式为，满足题意， ②若， 综上可得 5．（24-25高一上·全国·假期作业）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【解析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 6．（2024山东）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 一、单选题 1．（23-24 山东青岛·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，即， ，即， 故或. 故选：D 2．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 3．（23-24高一下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 5．（23-24高一·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【解析】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 6．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 故判别式，解得， 故选：A. 8．（23-24 江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（2024广东深圳）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而，D正确． 故选：ABD． 11．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以 又,两式相加可得 故答案为： 13．（23-24 青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【答案】 【解析】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池的最低造价为元. 故答案为：. 14．（2024·江西宜春 ）已知，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】解法1、由，可得， 由基本不等式得，可得， 所以，当且仅当时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 解法2、由，可得， 因为，由权方和不等式得，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 故答案为：. 四、解答题 15．（2024安徽合肥）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【解析】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 16．（2025甘肃）求解下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (6)； (7)； (8)； (9). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【解析】（1）由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （2）由可得，解得， 故原不等式的解集为. （3）由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （4）等价于，解得， 故原不等式的解集为. （5）由可得，等价于， 解得，故原不等式的解集为. （6）由，得，解得， 故不等式的解集为. （7）由，得，即， 解得或，故不等式的解集为. （8）由，得，即，解得， 故不等式的解集为. （9）由，得，解得或， 故不等式的解集为. 17．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）． (1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值； (2)若f(1)=2， ①a＞0，b＞0，求的最小值； ②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①9；② 【解析】（1）由题意的两根是和1且， 所以，解得． （2）①，， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是9． ②由①得，，即， 的解集为R，时，不合题意， 所以，且，解得， 所以的范围是． 18．（23-24浙江）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解析】（1）解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，， 由韦达定理可得，解得. （2）解：因为，原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两个根分别为、. ①当时，解不等式可得或； ②当时，若时，即，即时， 解不等式可得； 若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为； 若时，即，即当时，解不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 19．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)，当时，等号成立 (3)的最小值为， 【解析】（1）解：若正实数满足,则， 所以,当且仅当且, 即时，取等号,所以的最小值. （2）解：若正实数满足,且， 由 因为,当且仅当时取等号,所以 ，所以. （3）解：若, 令,则, 所以, 当且仅当即时取等号, 又因为,解得,即,所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$