专题03 有理数 （7题型 +过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题03 有理数 目录 【题型一 】正负数的意义 1 【题型二 】相反意义的量 1 【题型三 】正负数的实际应用 1 【题型四 】有理数的概念 2 【题型五 】0的意义 2 【题型六 】有理数的分类 2 【题型七 】带“非”字的有理数 3 【题型一 】正负数的意义 例题：（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）如果温度上升2℃记作，那么温度下降3℃记作（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·江西吉安·七年级校考阶段练习）潜水艇在海里，上升130米，记为+130米，那么下降200米，则记为 ． 【题型二 】相反意义的量 例题：（2021秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）零上记为，那么零下记为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023秋·河南周口·七年级校联考阶段练习）如果向西走2023米记作米，那么米表示 ． 【题型三 】正负数的实际应用 例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出100元记作－100元，则＋60元表示（    ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【变式训练】 1．（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）一种零件标明的要求是（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸为 ，该零件的最大直径不超过 ，最小不少于 ，方为合格产品． 【题型四 】有理数的概念 例题：（2021秋·湖北武汉·七年级统考阶段练习）在，，，，0，中，有理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练】 1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）在，，，0，，，，中，正整数有 个． 【题型五 】0的意义 例题：（2021春·上海·六年级校考阶段练习）下列说法错误的是（      ） A．既不是正数，也不是负数 B．是绝对值最小的有理数 C．除以任何数都得 D．任何负数都小于 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【题型六 】有理数的分类 例题：（2023秋·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）把下列各数填在相应的集合内：，7，，，0，，0.23． 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }． 【变式训练】 1．有一些数：、、、0、、、请把它填入相应的框内．    【题型七 】带“非”字的有理数 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）在五个数中，非负有理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023秋·吉林长春·七年级长春市第三十中学校考阶段练习）下列各数：，，，0，，，10，其中非负整数有 个 一、选择题 1．以下各组数中都是负数的是（        ） A． B． C． D． 2．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）如图为小明的微信钱包账单截图，若+27.97表示收入27.97元，则下列说法正确的是（　　） A．﹣20.00表示收入20.00元 B．﹣20.00表示支出﹣20.00元 C．﹣20.00表示支出20.00元 D．这两项的收支和为47.97元 3．人体正常体温平均为36.5℃，如果某温度高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果温度低于36.5℃，那么低于的部分记为负．国庆假期间琪琪同学在家测的体温为39.2℃应记为（    ） A．-3.7℃ B．+3.7℃ C．-2.7℃ D．+2.7℃ 4．体重增加了﹣2㎏，表示（　　） A．体重增加了2㎏ B．体重减少了2㎏ C．体重减少了﹣2㎏ D．体重不变 5．下列说法中正确的是（    ） A．不存在最小的正数，也不存在最大的正数 B．如果与的差是正数，那么一定是正数 C．一定小于 D．任何有理数都有倒数 二、填空题 6．（2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）体育课上规定时间内仰卧起坐的满分标准为46个，高于标准的个数记为正数．如某同学做了50个记作“+4”，那么“-5”表示这位同学做了 个． 7．如果规定向北走为正，那么米表示 ． 8．（2022秋·七年级课时练习）某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有 袋 9．（2022秋·七年级课时练习）某工厂计划每日生产自行车100辆，由于工人轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周实际生产总量为 辆． 星期 一 二 三 四 五 六 七 增加/辆 -1 +3 -2 +4 +7 -5 -10 10．六年级同学进行“1分钟跳绳”测验，以100次为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示．李强的成绩记录是次，张森的成绩记录是次．张森实际跳了 次，比李强少跳 次． 三、解答题 11．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一种商品的标准价格是元，但是随着季节的变化，商品价格可浮动． (1)请用文字说明：“商品价格可浮动”的含义； (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格； (3)求当元时，该商品价格的浮动范围． 12．（2022秋·六年级单元测试）把下列各数填在相应的大括号里 ，，，，，，，，； 正整数集合___________； 非正数集合___________； 负分数集合___________； 正分数集合___________． 13．七（1）班4名学生的身高以班级平均身高为基准，超过者记为正，不足者记为负，甲、乙、丙、丁四名同学的身高记录情况如下表，甲实际身高为157厘米，求其他三名同学的实际身高． 甲 乙 丙 丁 身高记录（单位：厘米） 14．（2023秋·七年级课时练习）某防洪大堤所标的警戒水位是37m，规定在记录每天的水位时，高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数． (1)若夏季某一天的水位为，则应记为多少？若冬季某一天的水位为32m，则应记为多少？ (2)若夏季某一天的水位记为，则实际水位是多少？若冬季某一天的水位记为，则实际水位是多少？ (3)若冬季某一天的水位记为，第二天一场雨后水位上升，此时水位应记为多少？实际水位又是多少？ 15．如图，上七年级的小贝在一张纸上画了一条数轴，妹妹不知道它有什么用处，就在上面画了一只小猫和一只小狗，于是数轴上标的数字有的看不到了，请根据数轴回答下列问题： (1)被小猫遮住的是正数还是负数？ (2)被小狗遮住的整数有几个？ (3)此时小猫和小狗之间(即点A，B之间)的整数有几个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数 目录 【题型一 】正负数的意义 1 【题型二 】相反意义的量 2 【题型三 】正负数的实际应用 2 【题型四 】有理数的概念 3 【题型五 】0的意义 4 【题型六 】有理数的分类 4 【题型七 】带“非”字的有理数 6 【题型一 】正负数的意义 例题：（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）如果温度上升2℃记作，那么温度下降3℃记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数的意义，进行作答即可． 【详解】解：温度上升为正，则温度下降为负， ∴温度下降3℃记作； 故选B． 【点睛】本题考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义，是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·江西吉安·七年级校考阶段练习）潜水艇在海里，上升130米，记为+130米，那么下降200米，则记为 ． 【答案】米 【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：上升130米，记为+130米，那么下降200米，则记为米； 故答案为：米． 【点睛】本题考查了正负数的实际意义，熟知正负数可以表示具有相反意义的量是解题关键． 【题型二 】相反意义的量 例题：（2021秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）零上记为，那么零下记为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】零上表示为正，则零下表示为负． 【详解】解：零下记为； 故选：C 【点睛】本题考查正负数的表示；理解正负数表示具有相反意义的量是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·河南周口·七年级校联考阶段练习）如果向西走2023米记作米，那么米表示 ． 【答案】向东走2023米 【分析】根据具有相反意义的量直接求解即可求解． 【详解】解：如果向西走2023米记作米，那么米表示向东走2023米． 故答案为：向东走2023米． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解正负数的意义是解题的关键． 【题型三 】正负数的实际应用 例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出100元记作－100元，则＋60元表示（    ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【答案】D 【分析】根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：如果支出100元记作-100元，则+60元表示收入60元， 故选：D． 【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式训练】 1．（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）一种零件标明的要求是（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸为 ，该零件的最大直径不超过 ，最小不少于 ，方为合格产品． 【答案】 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】mm意思是这种零件的标准尺寸为，直径最大不超过，最小不低于， 故答案为：；；． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【题型四 】有理数的概念 例题：（2021秋·湖北武汉·七年级统考阶段练习）在，，，，0，中，有理数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义求解． 【详解】解：在，，，，0，中，有理数有在，， ，0，中，共5个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称为有理数． 【变式训练】 1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）在，，，0，，，，中，正整数有 个． 【答案】2 【分析】由正整数的含义可得答案. 【详解】解：在，，，0，，，，中，正整数有，，共2个； 故答案为2 【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟记正整数的含义是解本题的关键. 【题型五 】0的意义 例题：（2021春·上海·六年级校考阶段练习）下列说法错误的是（      ） A．既不是正数，也不是负数 B．是绝对值最小的有理数 C．除以任何数都得 D．任何负数都小于 【答案】C 【分析】根据0的性质求解即可. 【详解】解：A、既不是正数，也不是负数，本选项正确； B、是绝对值最小的有理数，本选项正确； C、除以没有意义，本选项错误； D、任何负数都小于，本选项正确． 故选C． 【点睛】此题考查了0的性质，解题的关键是熟练掌握0的性质． 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【答案】 正数/负数 负数/正数 正数/负数 负数/正数 【分析】根据0的意义求解即可． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点， 故答案为：正数；负数；正数；负数． 【点睛】本题主要考查了0的意义，熟知0的意义是解题的关键． 【题型六 】有理数的分类 例题：（2023秋·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）把下列各数填在相应的集合内：，7，，，0，，0.23． 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }． 【答案】 ，，，0.23 7，0，，0.23 【分析】利用分数、非负整数的概念判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：分数集合：{，，，0.23}， 非负数集合：{7，0，，0.23}， 故答案为：，，，0.23；7，0，，0.23． 【点睛】本题考查了分数、非负整数的概念，熟练掌握分数、非负整数的概念是解题的关键． 【变式训练】 1．有一些数：、、、0、、、请把它填入相应的框内．    【答案】见解析 【分析】根据分数、正数及整数的定义，进行分类． 【详解】解：，，， 分类如下图：    【点睛】本题考查了有理数的分类，解答本题的关键是掌握整数、分数的分类． 【题型七 】带“非”字的有理数 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）在五个数中，非负有理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】找出五个数中非负有理数即可． 【详解】解：在“”这五个数中，非负有理数是2.3，0， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握非负有理数的定义是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·吉林长春·七年级长春市第三十中学校考阶段练习）下列各数：，，，0，，，10，其中非负整数有 个 【答案】2 【分析】根据非负整数为正整数和0，即可求解． 【详解】解：非负整数有0，10，共2个． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握非负整数为正整数和0是解题的关键． 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，对所给的数进行准确地分类是解题的关键． 一、选择题 1．以下各组数中都是负数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义进行判断． 【详解】解：A、 是正数，0既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、 是负数， 0既不是正数也不是负数，故本选项错误； C、都是负数，故本选项正确； D、 是负数，0既不是正数也不是负数，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查负数．在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，注意0既不是正数也不是负数． 2．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）如图为小明的微信钱包账单截图，若+27.97表示收入27.97元，则下列说法正确的是（　　） A．﹣20.00表示收入20.00元 B．﹣20.00表示支出﹣20.00元 C．﹣20.00表示支出20.00元 D．这两项的收支和为47.97元 【答案】C 【分析】根据正负数的意义结合题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：若+27.97表示收入27.97元，则有﹣20.00表示支出20.00元； 故选C． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 3．人体正常体温平均为36.5℃，如果某温度高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果温度低于36.5℃，那么低于的部分记为负．国庆假期间琪琪同学在家测的体温为39.2℃应记为（    ） A．-3.7℃ B．+3.7℃ C．-2.7℃ D．+2.7℃ 【答案】D 【分析】根据正数和负数的概念，用39.2℃减去36.5℃，计算即可． 【详解】解：依题意得：39.2℃−36.5℃=2.7℃， 则39.2℃比36.5℃高2.7℃，所以记为正数，+2.7℃， 故选D． 【点睛】本题考查正数和负数的基本概念，属于基础题． 4．体重增加了﹣2㎏，表示（　　） A．体重增加了2㎏ B．体重减少了2㎏ C．体重减少了﹣2㎏ D．体重不变 【答案】B 【分析】把标准体重记作0千克,增加记作“+”,下降记作“-”. 【详解】解：体重增加了﹣2千克表示体重减少了2千克． 故选B． 【点睛】本题是考查正、负数的意义及其应用,属于基础知识. 5．下列说法中正确的是（    ） A．不存在最小的正数，也不存在最大的正数 B．如果与的差是正数，那么一定是正数 C．一定小于 D．任何有理数都有倒数 【答案】A 【分析】根据有理数的知识点理解判断即可； 【详解】不存在最小的正数，也不存在最大的正数，故A正确； 如果与的差是正数，那么不一定是正数，故B错误； 不一定小于，故C错误； 0没有倒数，故D错误； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的知识点，准确判断是解题的关键． 二、填空题 6．（2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）体育课上规定时间内仰卧起坐的满分标准为46个，高于标准的个数记为正数．如某同学做了50个记作“+4”，那么“-5”表示这位同学做了 个． 【答案】41 【分析】根据高于标准的个数记为正数，得出低于标准的个数记为负数即可得到答案． 【详解】解： 满分标准为46个，高于标准的个数记为正数， 低于标准的个数记为负数， “-5”表示低于满分标准5个， ， 即“-5”表示这位同学做了41个， 故答案为：41． 【点睛】本题考查了正数和负数的实际意义，正确理解题意是解题的关键． 7．如果规定向北走为正，那么米表示 ． 【答案】向南走30米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：规定向北走为正，则向南走为负； 故-30米表示向南走30米． 故答案为：向南走30米． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 8．（2022秋·七年级课时练习）某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”．质检人员随机抽测了四袋该品牌大米的质量，依次记录为：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，则所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有 袋 【答案】3 【分析】先求出大米的合格重量的范围即可判断． 【详解】解：质量标识为“50±0.5kg”表示比50 kg多0.5 kg，或比50 kg少0.5 kg，即49.5 kg到50.5 kg之间为合格； 故所抽测的四袋大米中，符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的有50.4kg，50.1kg，49.7kg，共3袋． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 9．（2022秋·七年级课时练习）某工厂计划每日生产自行车100辆，由于工人轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周实际生产总量为 辆． 星期 一 二 三 四 五 六 七 增加/辆 -1 +3 -2 +4 +7 -5 -10 【答案】696 【分析】每天按100计算，共7天，100×7，然后在把增加的加上与不足的减去即可． 【详解】7×100-1+3-2+4+7-5-10=700-4=696辆． 故答案为：696． 【点睛】本题考查正负数的应用问题，关键是掌握计算的方法，先计算总量，再考虑增加与不足是解题关键． 10．六年级同学进行“1分钟跳绳”测验，以100次为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示．李强的成绩记录是次，张森的成绩记录是次．张森实际跳了 次，比李强少跳 次． 【答案】 88 40 【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】解：由题意可知：张森实际跳了100－12=88次 李强实际跳了100＋28=128次 ∴张森比李强少跳128－88=40次 故答案为：88；40． 【点睛】此题考查的是正负数意义的应用，掌握正负数表示具有相反意义的量是解决此题的关键． 三、解答题 11．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一种商品的标准价格是元，但是随着季节的变化，商品价格可浮动． (1)请用文字说明：“商品价格可浮动”的含义； (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格； (3)求当元时，该商品价格的浮动范围． 【答案】(1)表示商品的价格可以上涨记作，也可能下调，记作 (2)最高价格元；最低价格元 (3)元元 【分析】（1）根据题意可知可以上涨，也可能下调，据此解答即可． （2）根据给出的条件列式计算即可解答． （3）将120代入即可解答． 【详解】（1）解：表示商品的价格可以上涨记作，也可能下调，记作． （2）解：最高价格是元元元；最低价格是元元元； 即最高价格元；最低价格元． （3）解：最高价格是元元元；最低价格是元元元． 该商品的价格的浮动范围是元~元． 【点睛】本题主要考查正数与负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 12．（2022秋·六年级单元测试）把下列各数填在相应的大括号里 ，，，，，，，，； 正整数集合___________； 非正数集合___________； 负分数集合___________； 正分数集合___________． 【答案】，，；，，， ；，；， 【分析】根据有理数的分类即可得到答案． 【详解】解：正整数集合，，； 非正数集合，，， ； 负分数集合，； 正分数集合，； 故答案为：，，；，，， ；，；，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，做题的关键是掌握有理数的分类． 13．七（1）班4名学生的身高以班级平均身高为基准，超过者记为正，不足者记为负，甲、乙、丙、丁四名同学的身高记录情况如下表，甲实际身高为157厘米，求其他三名同学的实际身高． 甲 乙 丙 丁 身高记录（单位：厘米） 【答案】乙的实际身高为：（厘米）；丙的实际身高为：（厘米）；丁的实际身高为：（厘米）． 【分析】根据正数和负数的意义分别求出乙、丙、丁三位同学的实际身高即可． 【详解】解：因为甲的实际身高为157厘米，甲的身高记录为厘米， 所以班级平均身高是（厘米）． 所以乙的实际身高为：（厘米）， 丙的实际身高为：（厘米）， 丁的实际身高为：（厘米）． 【点睛】本题考查了正数和负数，主要利用了正数和负数的意义，求出班级的平均分是解题的关键． 14．（2023秋·七年级课时练习）某防洪大堤所标的警戒水位是37m，规定在记录每天的水位时，高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数． (1)若夏季某一天的水位为，则应记为多少？若冬季某一天的水位为32m，则应记为多少？ (2)若夏季某一天的水位记为，则实际水位是多少？若冬季某一天的水位记为，则实际水位是多少？ (3)若冬季某一天的水位记为，第二天一场雨后水位上升，此时水位应记为多少？实际水位又是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用正负数的原理进行计算即可； （2）根据零点及数值进行计算即可； （3）结合正负数的意义进行计算即可． 【详解】（1），故水位为，应记为； ，水位为，应记为； （2），实际水位是； ，实际水位是； （3），实际水位是． 【点睛】本题考查实际情况中正负数符号的意义，需要结合零点，正方向，负方向的实际意义进行分析． 15．如图，上七年级的小贝在一张纸上画了一条数轴，妹妹不知道它有什么用处，就在上面画了一只小猫和一只小狗，于是数轴上标的数字有的看不到了，请根据数轴回答下列问题： (1)被小猫遮住的是正数还是负数？ (2)被小狗遮住的整数有几个？ (3)此时小猫和小狗之间(即点A，B之间)的整数有几个？ 【答案】（1）被小猫遮住的是负数；被小狗遮住的整数有7个；（3）小猫和小狗之间的整数有28个． 【分析】根据数轴上的已知信息解答即可. 【详解】（1）∵被小猫遮住的数在原点的左边， ∴被小猫遮住的是负数； （2）∵被小狗遮住的数在11.5---18.5之间， ∴被小狗遮住的整数有12，13，14，15，16，17，18，共7个； （3）∵点A表示的数是-16.5，点B表示的数是11.5， ∴小猫和小狗之间的整数有－16，－15，－14，…，－1，0，1，2，…，10，11，共28个． 【点睛】熟知“用数轴上的点表示有理数的方法”是解答本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$