专题06 有理数的乘方 （8大题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题06 有理数的乘方 目录 【题型一 】有理数幂的概念理解 1 【题型二 】有理数的乘方运算 1 【题型三 】乘方运算的符号规律 2 【题型四 】乘方的应用 2 【题型五 】有理数四则运算 2 【题型六 】含乘方的有理数混合运算 3 【题型七 】科学计数法 3 【题型八 】近似数 3 【题型一 】有理数幂的概念理解 例题：（2022秋·黑龙江鸡西·七年级校考期中）4个相乘写成幂的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·甘肃白银·七年级校考期中）在中，底数是 ，指数是 ． 【题型二 】有理数的乘方运算 例题：（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是：（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中） ， ， ． 【题型三 】乘方运算的符号规律 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练】 1．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ． 【题型四 】乘方的应用 例题：（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为3个，若这个过程经过2小时，则这种细菌由1个分裂到（    ）个 A．9 B．27 C．81 D．243 【变式训练】 1．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【题型五 】有理数四则运算 例题：（2023秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算：． 【题型六 】含乘方的有理数混合运算 例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：． 【变式训练】 1．（2021秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）计算： (1) (2) 【题型七 】科学计数法 例题：（2023秋·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）2023年9月20日“天宫二号”进行了第四次太空课堂，“天宫二号”全长米，总重量达8600公斤，将8600用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）在第七次人口普查中，大余县年常住人口约万，其中万用科学记数法表示为 ． 【题型八 】近似数 例题：（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）用四舍五入法对0.06574取近似值，错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位） C．0.066（精确到千分位） D．0.0657（精确到0.0001） 【变式训练】 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）用四舍五入法把精确到千分位为 ． 一、单选题 1．（2021秋·江苏徐州·七年级统考期中）地球离太阳约有15000000千米，15000000这个数用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋·全国·七年级期末）定义，例如，则的结果为（     ） A． B．3 C． D． 3．已知a，b满足+ (2a＋b)2＝0，则ab的值为(　  　 ) A．1 B．－1 C．2 D．- 4．有理数（―3）与―3（ ）. A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．和为―28 5．下列各对数中，结果相等的是（　　） A．（﹣3）2与﹣32 B．（﹣3）7与﹣37 C．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 D．|﹣23|与﹣|23| 二、填空题 6．（2021秋·福建泉州·七年级校考期中）把数3.1186按四舍五入精确到千分位的近似数为 . 7．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）2022年以来，面对复杂严峻的外部环境和疫情新变化新冲击，绥德县前三季度，全县经济呈现出平稳向好的发展态势，全县实现生产总值7753000000元，将数据7753000000用科学记数法表示为 ． 8．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，那么 ． 9．某冷库的室温为-4℃，有一批食品需要在-28℃冷藏，如果每小时降3℃， 小时能降到所要求的温度． 10．若 则y x= ． 三、解答题 11．（2023秋·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）列式并计算： (1)求的绝对值与10的相反数的和； (2)求 与倒数的差. 12．（2022秋·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，． (1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上） (2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来． 13．计算： (1)． (2)． 14．（2022秋·广东惠州·七年级校考期中）某工人驾驶检修车前去检修东西方向的电话线路，设定向东为正，向西为负，某天自A地出发到收工时，所行驶的路程为（单位：千米）：+4，﹣3，+22，﹣8，﹣2，+17，-10，+9 （1）收工时距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，则从A地出发到收工耗油多少升？ 15．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）计算： ①     ② ③     ④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方 目录 【题型一 】有理数幂的概念理解 1 【题型二 】有理数的乘方运算 2 【题型三 】乘方运算的符号规律 3 【题型四 】乘方的应用 3 【题型五 】有理数四则运算 5 【题型六 】含乘方的有理数混合运算 5 【题型七 】科学计数法 7 【题型八 】近似数 7 【题型一 】有理数幂的概念理解 例题：（2022秋·黑龙江鸡西·七年级校考期中）4个相乘写成幂的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求几个相同因式的积的运算叫做乘方运算，根据定义可得答案． 【详解】解：4个相乘写成幂的形式为， 故选A 【点睛】本题考查的是乘方运算的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·甘肃白银·七年级校考期中）在中，底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 5 【分析】根据有理数乘方的意义进行判定即可． 【详解】解：在中，底数是3，指数是5， 故答案为：3，5． 【点睛】本题考查有理数的乘方:求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中，a叫做底数，n叫做指数． 【题型二 】有理数的乘方运算 例题：（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是：（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方运算的运算法则分别计算各选项，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，运算正确，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是乘方运算，熟记乘方运算的法则是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中） ， ， ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：，，， 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型三 】乘方运算的符号规律 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 【变式训练】 1．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ． 【答案】 1 【分析】根据乘方法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握乘方运算法则． 【题型四 】乘方的应用 例题：（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为3个，若这个过程经过2小时，则这种细菌由1个分裂到（    ）个 A．9 B．27 C．81 D．243 【答案】C 【分析】2小时分裂4次，分裂个数可表示为（个）； 【详解】解：2小时分裂4次，故最终1个分裂到（个）； 故选：C 【点睛】本题考查乘方的意义和运算，掌握乘方的运算是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案． 【详解】（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过2小时后，可分裂成16个细胞； 故答案为：16； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 【题型五 】有理数四则运算 例题：（2023秋·河南驻马店·七年级校考阶段练习）下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方，四则运算，求得每个式子的值，比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵ 最小的数为，即 故选：C 【点睛】此题考查了有理数的乘方以及四则混合运算，有理数大小比较方法，解题的关键是熟练掌握有理数的有关运算法则以及大小比较方法，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【变式训练】 1．（2021秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】原式先算绝对值，再算乘除运算最后加减即可求出值． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的四则运算，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型六 】含乘方的有理数混合运算 例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：． 【答案】2 【详解】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【解答】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式训练】 1．（2021秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算计算即可． （2）根据乘方、三次方、分数乘法的定义计算即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，乘方、三次方、分数乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 【题型七 】科学计数法 例题：（2023秋·北京朝阳·七年级北京市陈经纶中学分校校考阶段练习）2023年9月20日“天宫二号”进行了第四次太空课堂，“天宫二号”全长米，总重量达8600公斤，将8600用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：将8600用科学记数法表示应为， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【变式训练】 1．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）在第七次人口普查中，大余县年常住人口约万，其中万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【题型八 】近似数 例题：（2021秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）用四舍五入法对0.06574取近似值，错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位） C．0.066（精确到千分位） D．0.0657（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】利用四舍五入法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0.1（精确到0.1），正确； B、0.07（精确到百分位），选项错误； C、0.066（精确到千分位），正确； D、0.0657（精确到0.0001），正确； 【点睛】本题考查近似数．熟练掌握四舍五入法，是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）用四舍五入法把精确到千分位为 ． 【答案】 【分析】将万分位上的数字进行四舍五入求解即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到千分位的近似值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似值，解题的关键是掌握四舍五入法． 一、单选题 1．（2021秋·江苏徐州·七年级统考期中）地球离太阳约有15000000千米，15000000这个数用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到1的后面，所以 【详解】解：15000000 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 2．（2022秋·全国·七年级期末）定义，例如，则的结果为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据题目所给的定义利用有理数混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 3．已知a，b满足+ (2a＋b)2＝0，则ab的值为(　  　 ) A．1 B．－1 C．2 D．- 【答案】A 【分析】根据非负数的性质得到a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵+ (2a＋b)2＝0， ∴a+1=0，2a+b=0， ∴a=-1，b=2， ∴ab=1， 故选A． 【点睛】本题考查了非负数的性质和乘方运算，解题的关键是根据非负数的性质得到a和b的值． 4．有理数（―3）与―3（ ）. A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．和为―28 【答案】A 【详解】试题分析：（―3）表示的是（-3）的4次方，结果为81；而―3表示的是3的4次方的相反数，结果为-81．所以应互为相反数． 考点：有理数的大小比较． 5．下列各对数中，结果相等的是（　　） A．（﹣3）2与﹣32 B．（﹣3）7与﹣37 C．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 D．|﹣23|与﹣|23| 【答案】B 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、（﹣3）2=9，﹣32=﹣9，故此选项错误； B、（﹣3）7=﹣37与﹣37相等，正确； C、﹣（﹣3）2=﹣9，﹣（﹣2）3=8，故此选项错误； D、|﹣23|=8，﹣|23|=﹣8，故此选项错误. 故选B． 【点睛】本题考点：绝对值的性质与有理数的乘方运算法则. 二、填空题 6．（2021秋·福建泉州·七年级校考期中）把数3.1186按四舍五入精确到千分位的近似数为 . 【答案】3.119 【分析】根据近似数的精确度，把千分位上的数字8四舍五入即可． 【详解】解：3.1186≈3.119 （精确到千分位）， 故答案为：3.119 . 【点睛】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般地，精确到哪一位，取决于这位数右边的那位数的大小，依照“四舍五入”原则即可． 7．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）2022年以来，面对复杂严峻的外部环境和疫情新变化新冲击，绥德县前三季度，全县经济呈现出平稳向好的发展态势，全县实现生产总值7753000000元，将数据7753000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：将数据7753000000用科学记数法表示为． 故答案为： 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 8．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，那么 ． 【答案】4 【分析】根据新定义，代入求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的新定义运算及乘方运算，解答本题的关键是明确新定义运算概念，转化为乘方运算，进而求解． 9．某冷库的室温为-4℃，有一批食品需要在-28℃冷藏，如果每小时降3℃， 小时能降到所要求的温度． 【答案】8 【详解】此题考查了有理数的混合运算的应用 由现在的温度减去食品需要的温度，求出应将的温度，除以每小时能降温4℃，即可求出需要的时间． 由题意得：（小时）， 答：需要8小时才能降到所需温度． 10．若 则y x= ． 【答案】9 【详解】试题分析：根据题意可得：x－2=0，y+3=0，则x=2，y=－3，即=9． 考点：非负数的性质． 三、解答题 11．（2023秋·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）列式并计算： (1)求的绝对值与10的相反数的和； (2)求 与倒数的差. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合绝对值与相反数的定义列式，再进行有理数的加法运算； （2）根据题意列式，再利用有理数的减法运算进行计算． 【详解】（1）解： （2）解：. 【点睛】此题考查将文字语言转化为符号语言、有理数的加减法运算．正确理解题意以及熟练运算法则是解此题的关键． 12．（2022秋·七年级课时练习）给出下面六个数，，，，0，． (1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上） (2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它们连接起来． 【答案】(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），− (2)在数轴上表示见解析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5） 【分析】（1）根据正有理数，分数的意义判断即可． （2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴正有理数是-（-2.5），（-1）2022， 分数有-（-2.5），−， 故答案为：-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−； （2）解：在数轴上表示如图所示： ∴-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘方，有理数大小比较，在数轴上准确找到各数对应的点是解题的关键． 13．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． 14．（2022秋·广东惠州·七年级校考期中）某工人驾驶检修车前去检修东西方向的电话线路，设定向东为正，向西为负，某天自A地出发到收工时，所行驶的路程为（单位：千米）：+4，﹣3，+22，﹣8，﹣2，+17，-10，+9 （1）收工时距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，则从A地出发到收工耗油多少升？ 【答案】（1）29千米；（2）15升 【分析】（1）把所给正负数相加后可得收工时距A地多远； （2）求得所给路程的绝对值的和，乘以0.2即为从A地出发到收工共耗油多少升． 【详解】解（1）4+（-3）+22+（-8）+（-2）+17-10+9=29， 答：收工时距A地29千米； （2）（4+3+22+8+2+17+10+9）×0.2 =15（升）． 答：从A地出发到收工共耗油15升． 【点睛】本题考查有关正数和负数的相关知识；判断出什么时候是所给数据相加；什么时候是所给数据的绝对值相加是解决本题的难点． 15．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）计算： ①     ② ③     ④ 【答案】①；②；③；④ 【详解】解：①      ② ； ③     ； ④ ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$