专题05 全等三角形的动点问题专项训练（30道）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 全等三角形的动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形的动点问题】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发以的速度沿的方向运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P第一次回到点A时，P，Q两点同时停止运动，则当线段经过点C时，运动的时间是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动． 经过（    ）秒后，与全等．      A． B． C．或 D．无法确定 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（   ）    A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或 7．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（　　）    A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 9．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止.设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，.当与全等时，的值不可能是（    ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 10．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，．点M从A点出发沿路径以每秒的速度向B点运动；点N从B点出发沿路径以每秒的速度向A点运动．点M在点N出发后开始运动，分别过M和N作于E，于F．设点N的运动时间为t秒 秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．    12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 14．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 15．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，t的值为 s．    17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动，设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，则的值为 ． 18．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ．    19．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1） 厘米， 厘米.（用含t的代数式表示） （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 . 三、解答题 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动(到点停止运动)，设点的运动时间为秒： (1)___________．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 23．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以 的速度由C点向A点运动，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长度； (2)若点P，Q的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等? 24．（23-24七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 25．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 26．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含t的代数式表示的长度． (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 27．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图（1），，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），若“”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，求出相应的x，t的值． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 29．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图1，在四边形（）中，，，，，动点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q以的速度由点B向点C运动．设点P的运动时间为．    (1) cm；（用含t的式子表示） (2)当，时． ①与全等吗？为什么？ ②求证； (3)如图2，若“，”改为“（为钝角）”，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，写出此时v，t的值． 30．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形的动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形的动点问题】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发以的速度沿的方向运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P第一次回到点A时，P，Q两点同时停止运动，则当线段经过点C时，运动的时间是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．先证，再证当线段经过点C时，，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列方程求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 综上可知，t的值为或， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ∴点P运动的时间为秒， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； ②当时，， ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动． 经过（    ）秒后，与全等．      A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，进行分类讨论，列出方程即可求解． 【详解】     如图，设两点分别从两点同时出发运动时， 则，， ∴，， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，即，解得：， 此时，不符合题意，舍去， ②当时， ∴，即，解得：， 综上可知：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是2或3． 故选：D． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，        当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等，故③错误； ④当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（   ）    A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或 【答案】C 【分析】需要分两类三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解． 【详解】第一类：当点在上，点在上时，如图，    根据题意有：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴； 当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ； 第二类：当点P在上时，如图， 以，，为顶点的三角形与全等， ∴结合图形有：， ∴， 当点P在上，点Q第一次从E点返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 7．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（　　）    A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等． 分两种情况讨论：若，根据全等三角形的性质，则厘米，(厘米)，根据速度、路程、时间的关系即可求得；若，则厘米，，得出． 【详解】∵中，厘米，点为的中点， ∴厘米， 若，则需厘米，(厘米)， ∵点P的运动速度为1厘米/秒， ∴点P的运动时间为：； 若，则需厘米，， ∴点P的运动时间为：； ∴的值为：4或3， 故选：B． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，分两种情况，当时，当时，求出结果即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， 设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上分析可知，妞妞的运动速度为或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，注意分类讨论． 9．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止.设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，.当与全等时，的值不可能是（    ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．即当P在上，Q在上时；当P在上，Q在上时；当P在上，Q在上时． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作于点E，于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得；   ∵点Q速度比点P速度快，当点Q运动到C点时，点P还在上， ∴当P在上，Q在上时，， 此时P、Q重合， ∵，， 由题意得：， 解得； 当点Q运动到点A，P在上时，， ∵ 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 10．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 二、填空题 11．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，．点M从A点出发沿路径以每秒的速度向B点运动；点N从B点出发沿路径以每秒的速度向A点运动．点M在点N出发后开始运动，分别过M和N作于E，于F．设点N的运动时间为t秒 秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．    【答案】5或9 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：①当时，点M在上，点N在上，当时，求得t值；②当时，点M在上，若，即M与N重合；③当时，点N在上，点M在上，当时，求得t值即可． 【详解】解：点M从A到C的时间：；从C到B的时间：； 点N从B到C的时间：；从C到A的时间：； 点N出发4秒后，点M开始运动，则点N到点C的时间为：；而点M到点C的时间为：； ①当时，点M在上，如图，    此时有：， 当时， 即：， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②当时，点M在上，若，即M与N重合，    则， ； ③当时，点N在上，点M在上，如图，    当时， 则， ∴（不符合题意）． 综上所述：当t等于5或9秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：5或9． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】3厘米/秒或厘米/秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等； 分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】 解： 设点P运动的时间为t秒，则，， ， ①当，时，与全等， 此时， ， 解得， ， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， 点Q的运动速度为厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键． 用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，则，， ①当时， ， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为； 故答案为：2或． 14．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 【答案】1或2或5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出再分三种情况讨论，表示出，建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由题意，和是两直角三角形的斜边， 当与全等时，， ①当点P在上，点Q在上时， 根据题意可得，时，，， ∴，， ∴， 解得； ②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时， P点行程为，Q点行程为， ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时， ， ∴． 解得； 综上所述，当与全等时，满足题意的t的值为1或2或5． 故答案为：1或2或5． 15．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，当与全等时，有两种可能，一种为，；另一种为，，结合三角形全等的性质和路程为时间速度之积的关系即可求的答案． 【详解】解：与全等时 当时，， ∵，， ∴，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，时间为2秒， ∴； 当，， 则，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，运动时间为秒，运动距离， ∴； 故答案为：2或． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，t的值为 s．    【答案】2或4/4或2 【分析】先证，再证当线段经过点C时，，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动，设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据点的运动速度为，，若使与全等，有两种情况：①，；②，，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：∵点的运动速度为，点的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①，， 则：，， 解得：，； ②，， 则：，， 解得：，； ∴的值为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出符合题意的所有情况是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ．    【答案】2或14 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：因为，若，根据证得， 由题意得：， 所以， 因为，若，根据证得， 由题意得：， 解得． 所以，当的值为2或14秒时，和全等． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：． 19．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于点A，于B， ∴． 设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则． 分两种情况： ①若，则，，． 可知， ∴≌； ②若，则， 解得：，可知， 此时与不全等． 综上所述：运动后与全等． 故答案为：4． 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1） 厘米， 厘米.（用含t的代数式表示） （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 . 【答案】 或4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题． （1）根据路程与速度的关系求解即可； （2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：点 P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，运动的时间为 t秒， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）∵点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，运动的时间为t秒， ∴， 当时, ∴,即,即, ∴, ∴, 解得:; 当时, ∴,即, ∴, ∴, ∴ 即, 综上, 以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为或， 故答案为：或4. 三、解答题 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动(到点停止运动)，设点的运动时间为秒： (1)___________．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查的全等三角形的判定和性质； （1）根据题意求出，列出代数式即可； （2）根据全等三角形的判定定理解答； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）解：（1）点的速度是， 后， ， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 在和中， ， ； （3）， 当，时，， ，, 解得，，， 当，时，， 此时，点为的中点，点与点重合， ，， 解得，， 综上所述，当或时，与全等． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1)当，两点相遇时，的值为 (2)当时，；当时，．当时，；当时， (3)当与全等时，的值为或或 【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用， （1）根据题意列方程并解方程解决即可； （2）根据题意，分情况列代数式表示即可； （3）分情况根据两三角形全等分别列方程并解方程即可解决； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为． （2）由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． 由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． （3）当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或． 23．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以 的速度由C点向A点运动，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长度； (2)若点P，Q的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等? 【答案】(1) (2)全等，见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质． （1）先表示出，根据，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【详解】（1）解：由题意得：，则； （2）解：和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ． ， 在和中， ， ； （3）解：点、的运动速度不相等， ， 又，， ，， 点，点运动的时间， ． 当点的运动速度为时，能够使与全等． 24．（23-24七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式： （1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果； （3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果； 数形结合，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴cm， ∵， ∴t最大取到s， ∴cm，其中， 故答案为：； （2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时， 此时cm，cm， 则cm， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，； （3）解：由（2）可得，当时，此时， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 25．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， ； 故答案为：； （2）解： 中，，，点为的中点，， ， ， 当时，， ，， 解得：，； 当时，， ，， 解得：，； 综上所述，或2． 26．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含t的代数式表示的长度． (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)当时，能够使与全等 【分析】 此题主要考查了动点问题和全等三角形的判定， （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，得，解出即可． 【详解】（1） 解：由题意得：， 则； （2） 解：，理由如下： 当时，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （3） 解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 27．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图（1），，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），若“”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，求出相应的x，t的值． 【答案】(1)， (2)，，或， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据可证，推出，通过导角可得，即可得出； （2）分和两种情况，利用对应边相等列方程，即可求解． 【详解】（1）解：，， 理由如下： ∵， ∴ 当时，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 若，则， 可得：，， 解得：，； 若，则， 可得：，， 解得：，． 综上可知，，，或，． 28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 29．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图1，在四边形（）中，，，，，动点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q以的速度由点B向点C运动．设点P的运动时间为．    (1) cm；（用含t的式子表示） (2)当，时． ①与全等吗？为什么？ ②求证； (3)如图2，若“，”改为“（为钝角）”，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，写出此时v，t的值． 【答案】(1) (2)①与全等，理由见解析；②见解析 (3)，或， 【分析】（1）由题意知，，然后作答即可； （2）①当，时，，，．则，．由，，可得，即．证明；②由，可得．由，可得，进而结论得证； （3）由，可知和全等，分，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）①解：与全等；理由如下： 当，时，，，． ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，，． ∴； ②证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴和全等，分，两种情况求解： 当时， ，，即，，解得，； 当时， ，，即，，解得，． 综上所述，，或，； ∴，或，． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点，分别作，，垂足分别为点和，，． (1)求证：；求的长； (2)如图，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以个单位长度秒的速度从点出发沿着线运动，到终点．，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； 当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； 当与全等时，求的值． 【答案】(1)见解析；； (2)；等于或． 【分析】（）先证明，由即可得出； 由全等三角形的性质得出，，即可得出； （）当点在线段上时，根据即可得出答案； 分两种情况：当点在线段上时，，则，得，解得；当点在线段上时，，则，解得；即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 由得：， ∴，， ∴； （2）当点在线段上时，如图所示： ； 分两种情况：当点在线段上时，， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，， 即点与重合，，则，解得：； 综上所述，当与全等时，则等于或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$