专题02 全等三角形动点问题专项训练（30道）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 全等三角形动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形动点问题】 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．当与全等时，当点Q的运动速度是（    ） A． B． C． D．或 2．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（        ）    A．2 B．3 C．2 或 3 D．1 或 5 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 5．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 6．（2023·河北秦皇岛·二模）题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 7．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）已知：如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（    ）秒时，和全等．    A．1或7 B．1或3 C．3或7 D．2或7 8．（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 9．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 10．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿﹣﹣运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点Q到达终点A时运动停止．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则当 s时，与全等． 13．（23-24八年级上·广东江门·期末）如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的速度是 时，与全等．    14．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．    15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若与全等，则t的值为 ． 16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 17．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为 ． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 19．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 20．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，，点是的中点，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿射线以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，当线段经过点时，点的运动时间为 ．    三、解答题 21．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长为，点在边上，．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1后，与是否全等？请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点F的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使与全等？ 23．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图1，的边和的边在同一直线上，且，，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，点N以2个单位长度/秒的速度从始点C出发沿着边运动，到终点．点以5个单位长度/秒的速度从始点出发沿折线运动，到终点．现M、N两点同时从各自始点出发，运动秒，当M、N其中一点到达终点时，两点同时停止运动．那么．在此运动中，是否存在M、N两点重合的时刻？若存在，求出时间，若不存在，说明理由． 24．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）如图1，与相交于点．．      (1)求证：； (2)如图2，过点作交于，交于，求证：； (3)如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值． 25．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 26．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图（1），，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与以B、P、Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x、t的值：若不存在，请说明理由． 27．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知中，，，，点为的中点．    (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？ 28．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度匀速运动，P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，___，当时，___； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时（如图2），求t的值． 29．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）； (2)若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒? (3)当点N的运动速度为多少时，能够使与全等． 30．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当时，_____（用含t的式子表示）；当时，_____（用含t的式子表示） (2)连接，设的面积为S，用t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形动点问题专项训练（30道） 【经典例题 全等三角形动点问题】 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．当与全等时，当点Q的运动速度是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、路程速度时间的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解决问题的关键． 当时，根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等．当，则根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【详解】解： 当时 秒， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ． ， ； 此时 当， ， 又，， 则，， 点，点运动的时间为：秒， ； 故选：D 2．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（        ）    A．2 B．3 C．2 或 3 D．1 或 5 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，此题要分两种情况：①当时，与全等，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：当时，与全等， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1s， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2， 故选：B． 5．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 6．（2023·河北秦皇岛·二模）题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】根据动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， 则，，，根据全等三角形的性质，分点P在和上，两种情况计算，熟练掌握全等的性质，分类计算是解题的关键． 【详解】解：动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， 则，， ∵，， ∴，，， ∴． 当点P在上时，最大时间为即， 此时，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，最大时间为即， 此时，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； 故选：C． 7．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）已知：如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（    ）秒时，和全等．    A．1或7 B．1或3 C．3或7 D．2或7 【答案】A 【分析】分两种情况，若，，可得；若，，可得，求解即可． 【详解】在长方形中，， 若， 在和中， ∵ ∴， ∴， 解得； 若， 在和中， ∵ ∴， ∴， 解得； 综上，t的值为1或7， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 8．（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上时，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ②当P在线段上时，时，， 则，， ∴时间为0秒， ③当P在上，时，， ∵， ， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ④当P在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为0或6或12或18秒， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 10．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点E在线段上，且时，②当点E在线段延长线上，且时，③当点E在线段上，且时和④当点E在线段延长线上，且时，再分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ②当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ③当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ④当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：． 综上可知符合条件的t值有4个． 故选C． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿﹣﹣运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或或或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，动点的运动轨迹，分类讨论：①点由向运动；②点由向运动；进行解答，即可． 【详解】 ∵点为的中点， ∴， 设点在线段上运动的时间为， ①点由向运动时，，， 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； ②点由向运动,， 当时， ∴，， ∴， 解得：； ∴点的运动速度为； 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； 综上所述：点的运动速度为或或或． 故答案为：3或5或或． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点Q到达终点A时运动停止．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则当 s时，与全等． 【答案】2或或 【分析】分三种情况讨论：点Q在上；当点P与点Q重合时；当点与点重合时；根据全等三角形的性质列式计算．本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作 由题意得，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当与全等， 则， ∴． 解得：； 当综上所述：当秒或秒时，与全等， ③如图3，当点与点重合时， 当， 则， ∴， 解得：， 综上可知，当或或s时，与全等 故答案为：2或或． 13．（23-24八年级上·广东江门·期末）如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的速度是 时，与全等．    【答案】或2 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论．当和时，利用全等三角形对应边相等，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 点D为的中点，则 设点Q的速度是，运动时间为t秒时，与全等，则，， 与全等有两种情况，和， 当时，， 即， 解得； 当时，， 即 解得 综上，当点Q的速度是或时，与全等． 故答案为：或2． 14．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．    【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分当点在射线上移动时，，当点在射线上移动时，，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，   当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； 当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，， 故答案为：或 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若与全等，则t的值为 ． 【答案】2或12/12或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：∵， ∴当时，根据证得， 由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，根据证得， 由题意得：， 解得． 所以，当t的值为2或12时．与全等． 故答案为：2或12． 16．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 17．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．分在上，在上；在上，在上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当在上，在上时， ∵， ∴， ∵于，于． ∴， ∴， 若，则， ∴， 解得， ∴； 当在上，在上时，即、重合时，，则， 由题意得，， 解得， ∴， 综上，当与全等时，满足条件的的长为或． 故答案为或． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键． 用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，则，， ①当时， ， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为； 故答案为：2或． 19．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． ①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断Q；首先求出P 到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况: 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可证明④. 【详解】解：①∵点P 以每秒2 个单位长度的速度，运动时间为秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当时, 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④点时， ∴，即， ，即， 解得，， 当时， ∴，即， ，即， 解得， ∴若与全等，则或， 故④正确， 综上所述，正确的选项为①②④， 故答案为①②④． 20．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，，点是的中点，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿射线以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，当线段经过点时，点的运动时间为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况画出图形，分别表示出，，证明，得到，得到关于t的方程，解方程即可得到答案．分类讨论、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当点P从点A向点B运动过程中，线段经过点，点的运动时间为t，则，，    ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 如图，当点P从点B点A动过程中，线段经过点，点的运动时间为t，则，，    ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 三、解答题 21．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长为，点在边上，．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1后，与是否全等？请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点F的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，列出方程可求的值，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 经过1秒后，，， ，， ， 在和中， ， ； （2）设经过秒后，， 当点与点速度不相同时，，此时， ， 解得， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 23．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图1，的边和的边在同一直线上，且，，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，点N以2个单位长度/秒的速度从始点C出发沿着边运动，到终点．点以5个单位长度/秒的速度从始点出发沿折线运动，到终点．现M、N两点同时从各自始点出发，运动秒，当M、N其中一点到达终点时，两点同时停止运动．那么．在此运动中，是否存在M、N两点重合的时刻？若存在，求出时间，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先证明，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据题意得出，，进而根据M、N两点重合得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：依题意，若点重合，则一定都在上， ∴， ∴ 解得： 24．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）如图1，与相交于点．．      (1)求证：； (2)如图2，过点作交于，交于，求证：； (3)如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可证，可得，根据平行线的判定方法即可求解； （2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，当线段经过点时，，可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， ． （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． （3）解：由（2）可知，当线段经过点时，，可得， 或， 或， 当或时，线段经过点． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 25．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 26．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图（1），，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与以B、P、Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x、t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，见解析 (2)，见解析 (3)存在，当或时，与全等 【分析】本题是全等三角形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握一线三等角的全等模型是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系即可； （3）分两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 由题意可得：当时，， ， ， ， ， ， ， ∵，，， ； （2）， 证明：， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得： ，， ， ， ①若， 则， ， 解得，， ， 则； ②若， 则， 则， 解得，， ， 则， 故当或时，与全等． 27．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知中，，，，点为的中点．    (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？ 【答案】(1)①全等，理由见详解；② (2)经过后，点与点第一次在边上相遇 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等；②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据“路程速度时间”公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长． 【详解】（1）解：①全等，理由如下， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； ②假设，且， ∴， ∵，， ∴，， ∴点，点运动的时间， ∴点的速度为：， ∴当点的运动速度为时，与全等， 故答案为：． （2）解：设经过后点相遇， ∴，解得，， ∴点共运动了， ∵， ∴点，点在边上相遇， ∴经过后，点与点第一次在边上相遇． 【点睛】本题主要考查运用“路程速度时间”的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键． 28．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度匀速运动，P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，___，当时，___； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时（如图2），求t的值． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)t的值为或． 【分析】（1）根据点P的运动速度、运动时间、运动方向即可求解； （2）先根据证明，得出，根据内错角相等、两直线平行，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，，当线段经过点C时，根据可证，推出，用含t的代数式表示，分情况列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时．， 当时．， 故答案为：3，2； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得， ∴，， 当线段经过点C时，如下所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度匀速运动， ∴时，点P到达点B，时，点P返回点A， ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是注意不同时间段内点P的运动方向不同，需要分情况讨论． 29．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）； (2)若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒? (3)当点N的运动速度为多少时，能够使与全等． 【答案】(1)（厘米），（厘米） (2)当时，点M运动了3秒 (3)当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等 【分析】（1）由动点的运动起点、方向和运动速度即可求解； （2）由可得，据此即可求解； （3）因为，因此分类讨论①当△BPM≌△CMN时②当时两种情况即可． 【详解】（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）． （2）解：由题意得：（厘米）， ∵厘米，点P为的中点， ∴厘米． ∵， ∴． ∴． 解得：． 答：当时，点M运动了3秒 （3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米）， 分类讨论： ①当△BPM≌△CMN时，， 则 解得． ②当时，， 则 解得． 综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等 【点睛】本题考查动点问题与全等三角形综合．注意第三问中没有指定对应边，应根据实际情况进行分类讨论． 30．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当时，_____（用含t的式子表示）；当时，_____（用含t的式子表示） (2)连接，设的面积为S，用t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）分和两种情况讨论，即可解题； （2）连接，分两种情况讨论，即可求得S的值； （3）作出图形，利用全等三角形的性质列式求得t的值，即可解题． 【详解】（1）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒，且， 当时，； 当时，， 故答案为：；； （2）解：连接PB，    当时，； ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）解：作出图形，    ∵， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$