精品解析：山东省淄博市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

2023—2024学年度第二学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再求出实部即可. 【详解】, 的实部为. 故选：D. 2. 已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】从小到大排序后直接求解即可. 【详解】数据从小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位数即为分位数.由于，则第4个数即4为上四分位数. 故选：D . 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可求出结果. 【详解】由以及正弦定理可得， 因为，所以. 故选：C 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合诱导公式求，再利用二倍角公式求. 【详解】因为， 所以 所以， 故选：B. 6. 如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可． 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为，，则，，， 所以，，设， 因为，即，解得． 因为，所以， 所以，解得，则． 故选：． 7. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形， 其中，则， 故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台， 圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5， 故该几何体的侧面积为， 故选：C 8. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【解析】 【分析】利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D. 【详解】对于A， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确； 对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，故B错误； 对于C，将8个数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30，则中位数为，故C错误； 对于D，依题意，方差为，则， 所以数据的标准差为16，D正确； 故选：AD. 10. 如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由B知：，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 是偶函数 D. 在上恰有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由正弦型函数的性质，对选项逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，， 令， 则， 所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行四边形中，交于，则等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】运用三点共线向量表达式和加减三角形法则将都用基底表示，后运用数量积运算律计算即可. 【详解】如图所示， 故答案为：. 13. 如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有______. ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①：用异面直线判定定理即可判断；对于②：利用线面平行的判定定理即可判断；对于③：利用为正三角形，可得与成角60°，即可求出与成角. 【详解】对于①：平面中，平面，平面， 又，则为异面直线，因此，，，四点不共面，故①错； 对于②：连结，如图： 在正方体中，,又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为分别为的中点， 所以，，又平面，平面， 故平面，故②对； 对于③：在正方体中，连结， 因为分别为和的中点，所以, 所以四边形为平行四边形，所以 因为，所以为正三角形， 所以与成角60°，即与所成角为.故④对. 故答案为：②③. 14. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得. 详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则， 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设两个向量满足， （1）求方向的单位向量； （2）若向量与向量反向，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，利用求出答案； （2）根据向量与向量反向，得到答案. 【小问1详解】 由已知，所以， 由方向的单位向量为，所以 即方向的单位向量为； 【小问2详解】 解法1： 设，即， 则，得，得 解法2： ， 由平行，令，得， 由反向，. 16. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论； （2）线面垂直的判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论. 【小问1详解】 连接交于，连接， 由为三棱柱，则为平行四边形， 所以是中点，又是的中点， 故在△中，面，面， 所以平面. 【小问2详解】 由，而，面， 所以面，又面，则， 由侧面为菱形，故， 又，面，故平面. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角； （2）根据条件结合余弦定理计算边，再代入面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为中，， 由正弦定理可得， 得， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，，所以，所以， 因为，所以，， 所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可； （2）先由面面垂直得出线面垂直再结合线面角定义得出角及正弦即可； （3）应用等体积得出点到平面距离. 【小问1详解】 连接为中点， ， 四边形为平行四边形， ，在中， 又平面平面， 平面，平面， 又平面，平面， 又平面平面平面 【小问2详解】 由平面平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，作，垂足为， 由（1）知，平面平面，平面平面平面， 所以平面，则直线为直线在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角， 四边形为平行四边形，， 在中，， . 【小问3详解】 在三棱锥中，平面， 为三棱锥底面上的高， 又， ， 在三棱锥中，设到平面的距离为， ， ， 又. 19. 从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； （3）抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 【答案】（1） （2）（度） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求出x即可； （2）应用频率分布直方图计算平均数即可； （3）先分别求出平均数及方差再根据方差公式计算方差继而求出标准差. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可得， 所以． 【小问2详解】 月用电量落在内的用户数分别为： ， 所以估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数为： （度） 【小问3详解】 由（2）知月用电量落在的户数为60，用户的月用电量的平均数为140，则月用电量落在内的户数为， 设前60户的月用电量分别为，平均数，方差， 后40户的月用电量分别为，平均数为，方差为， 全部100户的月用电量分别为， 平均数，方差， 所以，所以． ，得， ，得， 所以 ， 所以． 所以月用电量在区间内的用户的月用电量的标准差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2. 已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，角，，对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为16 10. 如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 是偶函数 D. 在上恰有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平行四边形中，交于，则等于_____________． 13. 如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有______. ①，，，四点共面；②平面；③与所成角为. 14. 已知正四棱台上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设两个向量满足， （1）求方向的单位向量； （2）若向量与向量反向，求实数值． 16. 如图，在三棱柱中，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在内的用户月用电量的平均数； （3）抽取的100户居民月用电量落在内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在内的用户月用电量的标准差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$