1.1 空间向量及其运算（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1 空间向量及其运算（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）理解空间向量的基本概念及其表示方法。 （2）掌握空间向量的加减运算、数乘运算及其运算律。 （3）能够运用空间向量解决简单的立体几何问题。 【过程与方法目标】 （1）通过类比、归纳等思想方法，培养学生的类比思维和数学抽象能力。 （2）通过探究、讨论、合作等方式，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。 （3）通过几何直观与代数运算的结合，培养学生的空间想象能力和数学运算能力。 【情感态度价值观目标】 （1）激发学生对数学学习的兴趣，体验发现数学的乐趣。 （2）培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 （3）增强学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的应用价值。 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本学生对平面向量已有一定基础，这为学习空间向量提供了便利。他们在立体几何初步学习中培养了一定的空间想象能力，有助于理解空间向量的概念和运算。然而，空间向量的抽象性可能对学生构成挑战，特别是在应用方面。学生可能难以将理论知识应用于解决实际问题，尤其是利用空间向量解决立体几何问题。因此，教学应注重直观演示，加强练习巩固，同时着力培养学生的空间想象能力和实际应用能力，以提升学习效果。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算. 教学难点：空间向量的应用，特别是利用空间向量解决立体几何问题。 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：在我们生活的三维空间中，许多现象和物体都可以用空间向量来描述。比如，飞行中的飞机，它的移动方向和距离可以用一个空间向量来表示；再比如，建筑工程师在设计桥梁时，也需要考虑到桥梁各个部分在空间中的方向和位置关系，这同样离不开空间向量的应用。 问题1：能否把平面向量推广到空间向量，通过空间向量运算解决空间立体几何问题? 【破解方法】通过情境创设，让学生体会学习本章内容的必要性, 从而激发学生的学习热情和求知欲望. 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．空间向量的有关概念 问题2：请同学们回顾平面向量的概念及表示, 类比给出空间向量的概念及表示. 【破解方法】先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结． 【归纳新知】 （1）空间向量 ①定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． ②长度或模：空间向量的大小． ③表示方法： 几何表示法：空间向量用有向线段表示； 字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. （2）几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 2．空间向量的线性运算 问题3：你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义么? 【破解方法】首先让学生回忆平面向量的加、减、数乘运算，然后归纳新知，让学生体会从平面向量到空间向量研究内容和方法的类比. 【归纳新知】 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3.共线问题 问题4：有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以研究空间向量的位置关系. 对于空间向量的位置关系，你可以提出哪些问题? 【破解方法】学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助梳理. 问题5：你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗? 【破解方法】对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【归纳总结】此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 3．向量共面问题 问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗? 【破解方法】通过类比平面向量共线的充要条件，得出空间向量共面的充要条件. 【归纳总结】 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 4．空间向量数量积的运算 问题7：回顾平面向量数量积的学习过程，类比归纳空间向量数量积． 【破解方法】首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，然后独立思考并完成空间向量数量积，引导学生开展更加明确的类比学习，进一步体会平面向量到空间向量的推广过程.． 【归纳总结】 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 夹角问题 （1）定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【变式1-1】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）；        （2）； （3）；        （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1-2】在图中，用，，表示，及． 【解析】， ， . 题型二：共线向量定理的应用 【例2】证明：如果向量，共线，那么向量与共线． 【解析】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得， 则， 所以向量与共线. 【变式2-1】有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【答案】②③④ 【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确． 故答案为：②③④. 题型三：共面向量及应用 【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【解析】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 故E，F，G，H四点共面，证毕. 【变式3-1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【解析】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ，于是得：，即共面，它们有公共点E， 所以E，F，G，H四点共面. 题型四：空间向量的数量积 【例4】已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【解析】（1） 由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点， 则； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） . 【变式4-1】已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【例5】如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． 【解析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角， 在正方体中，设棱长为a，则， 则是等边三角形，即 故和的夹角为 （2）联结，则， 又平面，平面， 则，又 故平面，又平面， 所以 【变式5-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 【例6】如图，在平行六面体中，，，，，.求：    (1)； (2)的长（精确到0.1）. 【解析】（1）. （2） ，所以. 【变式6-1】如图，在平行六面体中，．求： (1)； (2)的长； (3)的长． 【解析】（1）由向量的数量积的概念，可得. （2）因为， 所以， 即的长为. （3）以为， 所以 . 【变式6-2】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 【解析】因为，且平面，可得，且， 可得， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 题型七：利用空间向量的数量积证垂直 【例7】如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.      【解析】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，. 因为直线m与n相交，所以向量，不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使. 将上式两边分别与向量作数量积运算， 得. 因为，， 所以. 所以. 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线， 所以. 【变式7-1】如图，空间四边形中，.求证：. 【解析】利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直. 试题解析：∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 由（1）－（2）得 ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式7-2】如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 【解析】取的中点D，联结OD，CD， 由，知， ，，又， 故平面，又平面， 因此 又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点． 则，， 故，四边形EFGH是平行四边形 同理，且，又 所以，四边形EFGH是矩形 环节四：小结提升，形成结构 问题11：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）空间向量线性运算的定义、运算律是什么? （2）空间向量共线的充要条件是什么?空间三个向量共面的充要条件是什么? （3）描述集合有几种方法?你能结合例子说明如何选择这些方法吗? （4）空间向量数量积的定义、运算律与平面向量数量积的定义、运算律有什么联系与区别? 【破解方法】（1）通过问题引导学生复习本节课所学知识，进一步体会类比平面向量学习空间向量的思想方法、体会平面向量与空间向量的异同.（2）通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾. 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. 2．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 3．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 4．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 .    【答案】 【解析】记，则， 所以， 由于，故 ， 故，即的长为. 故答案为： 5．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）；         （2）； （3）． 【解析】（1）； （2）； （3）. 6．如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【解析】（1），故； （2），故； （3），故. 7．如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）；        （2）； （3）；    （4）． 【解析】（1），向量如图所示； （2）在平行六面体中，有，， 故，向量如图所示； （3）由知，取的中点为E， ，向量如图所示； （4）由（2）知，取的三等分点F点， ，向量如图所示； 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第5∼6页练习第2、 3、4题．教科书第8∼9页练习第 2、3、4题. 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课通过创设情境、复习旧知、讲授新课、合作探究和总结反馈等环节，引导学生逐步深入理解空间向量的概念和运算规则。在教学过程中，注重培养学生的类比思维、数学抽象能力和空间想象能力。同时，通过小组合作探究的方式激发学生的学习兴趣和探究欲望，提高了学生的自主学习能力和团队协作精神。然而，在实际教学过程中仍存在一些不足之处，如部分学生对空间向量的应用掌握不够熟练等，需要在今后的教学中进一步加强练习和巩固。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$