章末检测卷1 数列-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 章末检测卷一 数列 墨 (本卷满分150分；考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.等差数列{a,}中，a?+a?=10,a?=7,则数 列{a,}的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知数列{a,}是等差数列，a?=2,其公差 d≠0.若a?是a?和ag的等比中项，则S?8 ( )= A.398 B.388 C.189 D.199 3.如果数列a?,a?-a?,a?-a?,⋯,a,-an-1, 13⋯是首项为1,公比为 的等比数列，那么 an= ( ) A.3(1-3) B.3(1-31) 6.(新课标全国I卷)记 S,为数列{a,}的前 n 项和，设甲：(a.)为等差数列；Z.:{S}为等 差数列，则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 要条件 7.已知 两个等差数列{a,}与{b,}的前 n A=7n+35,项和分别为 A,和 B,,且 则使得 为整数的正整数 n的个数是 ( ) 5 A.2 B.3 C.4 D.5 c.3(1-3) D.3(1-?1) 4.(新课标全国Ⅱ卷)记 S,为等比数列{a,} 的前 n项和，若S?=—5,S?=21S?,则 S? = ( ) A.120 B.85 C.—85 D.—120 5.数列{a,}中，a?=2,am+n=aman.若ak+1+ a?+2+⋯+ax+10=21?-2?,则k= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.从2017年起，某人每年的5月1日到银行 存入 a元的定期储蓄，若年利率为 p且保 持不变，并约定每年到期，存款的本息均自 动转为新的一年的定期，到2021年的5月 1日将所有存款及利息全部取出，则可取 出钱(元)的总数为 ( ) A.a(1+p)? B.a(1+p)? c.G[(1+p)?-(1+p)- D.G[(1+p)?-(1+p) 41 ?高中数学·选择性必修 第二册 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正项等比数列{a,}满足 a?=2,a?= 2a?+a?,若设其公比为q,前 n项和为S,, 则 ( ) A.q=2 B.a,=2” C.S1?=2 047 D.a,+an+1<an+2 10.已知等比数列{a,》的公比q=-3,,等差 数列{b,}的首项b?=12,若 a?>b?且a1? >b?0,则以下结论正确的有(( ) A.aga??<0 B.a?>a1? C.b??>0 D.b?>b?? 11.将n2个数排成 n行 n列的一个数阵，如 下图： a11 a12 a13⋯ a1m az1 a22 a23⋯ a2n a31 a32 a33⋯ a3n⋯⋯ am a,2 an3⋯ am 该数阵第一列的 n个数从上到下构成以 m为公差的等差数列，每一行的 n个数从 左到右构成以m为公比的等比数列(其 中m>0).已知 a?=2,a1?=ag?+1,记这 n2个数的和为S.下列结论正确的有 ( ) A.m=3 B.a?7=17×37 C.a; =(3i-1)×3i-1 D.s=4n(3n+1)(3”-1) 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共 15分. 12.等比数列{a,}中，a?+a?+⋯+a?o=6,公 比q=3,则前20项和 S2o= 13.用数学归纳法证明 34n+2+52n+1能被14 整除的过程中，当n=k+1时，34<k+1)+2+ 52(k+1)+1应变形为 14.定义“等和数列”:在一个数列中，如果每 一项与它的后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫 作此数列的公和；已知数列{a,}是等和数 列，且 a?=2,公和为5,那么a?8的值为 _;这个数列的前 n项和 S,的计 算公式为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(新课标全国I卷)设等差数列 b.=”2+”,{a,}的公差为d,且d>1.令 记S,,T,分别为数列{a,},{b,}的前 n 项和. (1)若3a?=3a?+a?,S?+T?=21,求{an} 的通项公式； (2)若{b,}为等差数列，且 S?9—T?9=99, 求d. 42 16.(15分)用分期付款的方式购买家用电器 需11 500元，购买当天先付1 500元，以 后每月交付 500元，并加付利息，月利率 为0.5若从交付1 500元后的第1个 月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱? (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花 了多少钱? 17.(15分)在公差为d的等差数列{a,}中， a?=10,且a?,2a?+2,5a?成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a?I+|a?I+|a?I+⋯ +|an|. 43 ?高中数学·选择性必修 第二册 18.(17分)已知数列{a,}的前n项和 S,= 3n2+8n,{b,}是等差数列，且 an=b +bn+1· (1)求数列{b,}的通项公式； c-0+2)(2)令 ,求数列cn的前 n 项和Tn. 19.(17分)由 n×n个数排列成n行 n列的 数表称为n行 n列的矩阵，简称 n×n矩 阵，也称为 n阶方阵，记作：A(n,n)= ,其中 a;(i∈N*,j ∈N*,i,j≤n)表示矩阵 A中第i行第j 列的数.已知三个n阶方阵分别为 ,其中 a b;,c(i,j∈N*,i,j≤n)分别表示 A(n, n),B(n,n),C(n,n)中第i行第j列的 数.若c;=(1-μ)a, +μb;(μ∈R),则称 C(n,n)是 A(n,n),B(n,n)生成的线性 矩阵. 44 A(2,2)=[,B(2,2)=(1)已知 ,若C(2,2)是A(2,2),B(2,2) 生成的线性矩阵，且C?=3,求C(2,2); (2)已知Vn∈N*,n≥3,矩阵 A(n,n)= ) = 72 2 矩 阵 C(n,n)是 2nbn 77 A(n,n),B(n,n)生成的线性矩阵，且C?1 =2. ①求C23,C?k(k∈N*,k≤n); ②已知数列{b,}满足b=n,数列{d,}满 足d?=2cz-n ,数列{d,}的前 n项和记 T.=26为T,,是否存在正整数m,n,使 成立?若存在，求出所有的正整数对(m, n);若不存在，请说明理由. 45 递增，所以f(x)=f(1)=e—m. 对于函数y=f(f(x)),设t=f(x),则f(f(x))= f(t),则当t=1时，f(t)取得最小值e—m, 1=-m有解，日 m=-1有所以 有解。 令g(a)=等-1,a>0,则g(a)=(a-1), 则函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+0)上单调 递增，所以g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值， 为g(1)=e-1. 因为m=g(x)有解，所以m≥e—1. 故m的最小值为e-1. 答案 e-1 12.解析 f'(x)=6x2-2ax=6zx(x-3). 令f(x)=0,得x=0或x=3 ①当a≤0时，易知函数 f(x)在[0,1]上单调递增， {(0)=2-a+b=1, 16=-1,所以 解得 满足题意. ②当O<a<3时，0<3<1,函数f(x)在(号，1)上单 调递增，在(0,号)上单调递减， f()=-+b,所以f(x)在[0,1]上的最小值为 最大值为f(0)=b或f(1)=2-a+b. 若一27+b=-1,b=1,则a=32,与0<a<3矛盾； 若一27+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3 或a=0,与0<a<3矛盾。 ③当a≥3时，3≥1,f(x)在[0,1]上单调递减， (1)=2-4+b=-1, 16=4,所以 解得 满足题意. 1a=-1或(b=4,综上，当 时，函数 f(x)在[0,1]上的 最小值为一1,最大值为1,所以 a+b的值为-1或5. 答案 —1或5 13.解(1)函数 f(x)的定义域是(0,+0),f(x)=1+ -3=2-3z+2=(a-1)(a-2). 令f(x)=0,解得x=1或x=2. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 工 (1,2) 2 (2,十) f(x) 十 0 0 十 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,十),单调递 减区间为(1,2). (2)由(1)可知在区间(1,e)内，当x=2时，f(x)取得 极小值。 由f(1)=0,f(2)=2-3ln2,f(e)=e2-e-5, 得f(2)<f(1)<f(e2), [2-3n2,&-&-5].所以 f(x)在区间[1,e2]上的值域为 创新练素能培优 知f(a)=1,14.解(1)由题设 g(x)=In a+1,ze(0,+o), 所以g(x)=-.令g'(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调递减 区间； 当x∈(1,+一)时，g′(x)>0,故(1,+)是g(x)的单 调递增区间. 因此x=1是g(x)在区间(0,+0o)上的唯一极值点， 且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1) =1. (2)由(1)知 g(x)的最小值为1, 所以g(a)-g(x)<1,对任意x>0成立 eg(a)-1<1,,即 In a<1,得0<a<e, 所以实数a的取值范围为(0,e). 章末检测卷一 数列 1.B ∵a?+a?=2a?=10,∴a?=5,∴d=a?-a?=7-5 =2. 2.C 由题可得a}=agag,即(2+4d)2=(2+2d)(2+7d), 整理得d2-d=0,由d≠0,所以d=1.故 S?8=18×2+ 1×18×17×1=189 3.A 由题知a?=1,9=3,,则a。-a,=1×(3)·.设 数列a?,a?-a?,⋯,a-a-1的前n项和为S,∴S=a +(a?-a?)+(a?-a?)+⋯+(a-a,_1)=a,.又∵S= ×-)-(-)--(-) 4.C 设等比数列{a,}的公比为q,首项为a?, 若q=1,则 S?=6a?=3×2a?=3S?,与题意不符，所以q ≠1; 由S?=-5,S,=21S?可得 a(1-q)=-5,(1-)=21×9(1-90. 由①可得1+q2+q?=21,解得 q2=4, s.-a(-)-=q-×(+?)=-5x(+所 16)=—85. 5.C ∵a?=2,am+a=a a,令m=1,则an+1=a?a=2a, ∴{a,}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a,=2× 2“-1=2”.又∵aA+1+ak+2十⋯+ak+10= 21?—2?, :22'(1-2°)=2?-2?,即2(20-1)=2?(20-1), ∴2k+1=2,∴k+1=5,∴k=4. 6.C 甲：{a,}为等差数列，设其首项为a?,公差为d,则S =m,+mn-1a,s=a+”z1a=号n+a?-2, 70 s+1-s=2,因此s 为等差数列，则甲是乙的充 分条件； 反之，乙：{s +-S=为等差数列，即 ”sn-(+a+1)s=n(n-5为常数，设为t, 即n(n+1)=t,则S,=na+1-t·n(n+1),有S_1= (n-1)a-t·n(n-1),n≥2. 两式相减，得a=naa+1—(n-1)a,-2tn,即am+1—a= 2t,对 n=1也成立，因此{a,}为等差数列，则甲是乙的必 要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确。 7.D 设数列{a,}的首项为a?,数列{b,}的首项为b?.∵数 列{a,}和{b}均为等差数列，且其前 n项和A,和B,满 会--9,--- B=4n+38=7(2+2)+2?=7+242=7+, 经验证知，当n=1,2,35,1时，。为整数.故选D. 8.D 设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为a? a?,a?,a4.则a?=a+ap=a(1+p), a?=a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a(1+p)2+a(1+p), a?=a?(1+p)+a(1+p)=a(1+p)+a(1+p)2+a(1 +p),a?=a?(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)?+(1+p)3 +(1+p)2+(1+p)] =a.(1+D-d-41+D°=第[4+p3=(1+p] 9.ABD 由题意q>0且2q?=4q+2q2,得 q2-q-2=0, 解得q=2(负值已舍去),选项A正确；a,=2×2"-1= ;sa=2×(1-2)=2*+1-2,所以So=2”,选项B正确 2 046,选项C错误；a,+am+1=3a,,而am+2=4a>3a, 所以a+a+1<a+2,选项 D正确。故选 ABD. q=-3,∴a。和a异10.AD∵等比数列{a,}的公比 号，∴a,a?=a;(-3)<0, 故 A正确；但不能确定 a? 和a??的大小关系，故 B不正确；∵a,和a1?异号，且a? >b?且a??>b??,∴b,和b??中至少有一个数是负数，又 ∵b?=12>0,∴d<0,∴b?>b?,故 D正确；∴b??一定 是负数，即b??<0,故C不正确。故选AD. 11. ACD 由a?=2,a??=a?+1,可得a??=a?m2=2m2, ag?=a?+5m=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m =3或m=-2(舍去),所以选项 A是正确的；又由 ag7=a??m?=(2+5×3)×3?=17×3?,所以选项B不 正确；又由a,=a?m31=[a?+(i-1)m]m31=[2+(i -1)×3]×3i-1=(3i-1)×3i-1,所以选项C是正确 的；又由这n2个数的和为 S,则 S=(a+a??+⋯十 a?m)+(a?+a+⋯+a?)+⋯+(a+a?+⋯+a) =au(1-3)+a“(-3+⋯+a(1-3°)=2(3”一 1)×2+32-1)”=4n(3n+1)(3”-1),所以选项D 是正确的，故选 ACD. 12.解析 S儒=a?+a?+⋯+a?o,S寺=a?+a?+⋯+a?g, 则5=q,∴s4=S=3=2.∴.S。=Sa+S?=6+2=8. 答案 8 13.解析 当n=k+1时，34k+D+2+52Ck+D+1=81×34*+2+ 25×52+1=25(34*+2+52+1)+56×3?+2. 答案 25(34*+2+52k+1)+56×34k+2 14.解析 由题可得a,+a+1=5,am+1+an+2=5,两式相减 得aa=aa+2,∴数列{a,}是周期为2的周期数列. a.=13(0为偶数),a=3.又a?=2,得a?=3,所以 ,s,=2·5=2,当 n为偶数时， 当 n为奇数时，S,= ”-1·5+2=5m-1.-为偶数答案 n为奇数 15.解(1)∵3a?=3a?+ag,∴3d=a?+2d,解得a?=d, ∴S?=3a?=3(a?+d)=6d. 又 T?=b?+b?+b=2+a+32=a, ∴S+T?=6d+&=21, d=去(舍去),即 2d2-7d+3=0,解得d=3或 ∴a=a?+(n-1)·d=3n (2)∵{b,}为等差数列， ∴.2b?=b?+b?,即-2+1, :6(11)-6-1, 即a2-3a?d+2d2=0,解得a?=d或a?=2d. d>1,∴a,>0. 又 S,-T=99,由等差数列性质知 99a??-99b??= 99,即as—b=1 :a。-255=1,即a晶-a-2550=0, 解得aso=51或as=-50(舍去). 当a?=2d时，a??=a?+49d=51d=51, 解得d=1,与d>1矛盾，无解； d=5当a?=d时，aso=a?+49d=50d=51,解得 综上，d=5. 16.解(1)设每月付款依次构成数列{a,}, 则a?=500+10 000×0.005=550, a?=500+(10 000-500)×0.005=550-2.5, a?=500+(10 000-500×2)×0.005=550-2.5×2,⋯⋯ a?=550-2.5×9=527.5. 故第10个月应交付527.5元. 71 (2)由(1)可得a=550-2.5(n-1)=-2.5n+552.5, n=1500=20,则{a,}为等差数列，且 ∴S。+1500=20a,+a)+1500=10×(550-2.5 ×20+552.5)+1500=12 025. 故买家用电器实际花了12 025元. 17.解(1)由已知条件，得(2a?+2)2=5a?a?, ∴4(a?+d+1)2=5a?(a?+2d), ∴(11+d)2=25(5+d),即121+22d+d=125+25d, 整理，得d2-3d-4=0,解得d=4或d=-1. 当d=4时，a=4n+6;当d=-1时，a=11-n. (2)由(1)知，当d<0时，a=11-n. ①当1≤n≤11时，a≥0, ∴|a?I+|a?I+|a?I+⋯+|a,I=a?+a?+a?+⋯+a =m(10+11-n)=(22-n)=21n-” ②当n≥12时，a,<0, ∴|a?I+|a?I+|a?|+⋯+|a,I=a?+a?+a?+⋯+a+- =2-21n+220 综上可知，| a?I+|a?I+ |agI+⋯+|a。I 18.解(1)由题意知，当n≥2时，a=S-S。-1=6n+5. 又因为a?=S?=11,所以a,=6n+5(n∈N*). 设等差数列{b,}的公差为d. a-6?+6, 17=20,+3a (a=3,即可得 解得 所以 b=3n+1. 还可验证b=3n+1(n∈N*)满足a=b+b+1(n∈N*), 所以所求数列{b}的通项公式是b,=3n+1. ca=Gn+63)=3(n+1(2)由(1)的解答，可得 ·2"+1 又由T,=c?+c?+⋯+c,,得 T,=3×[2×22+3×23+⋯+(n+1)×2#+], 2T,=3×[2×23+3×2?+⋯+(n+1)×2"+2], 把它们相减，得 一T,=3×[2×22+2?+2?+⋯+2"1—(n+1)×2"+2] =3×[4+4×(--2)-(n+1)×2*2]=-3n·2+22, 所以T,=3n·2"+2. 19.解(1)c,=(1-μ)a,+μb;(μ∈R),则cn=(1-μ)a 3=2(1-μ)+4,解得μ=-号，+μb,即 则c?=号a-号b6,c?=号a2-46b=号×4+4= 8,cm=5aa-号ba=号-4=1,ca=号az-告b =号-4×2=亏， C2.2-1 (2)①由题意，得C??=3(1-μ)+μ=3-2μ=2, 解得μ=2, 故c=ga?+gb,,c=2aa+gb=1×33+2 ×3=15, ca=2au+gb=2×3*+1×=3±k d.=2c”-n=3“=n·(1)”,②由题意，得 则T?=1×1+2×(言)2+3×(号)+⋯+n ×(3)”, 言T.=1×(s)2+2×(号)+3×(言)+⋯+n ×(3), 故言T.=g+(3)2+()+(3)+⋯+(3)“ -n×(3)=2[1-(3)”]-n×(3), 故T,=4-(4+2)×(3). T.=26,即4-(4+登)×(3)"=m2m1-因为 2+2m, 取m=2验证不成立， 3+2n-m-2,m≠2,整理得到 当n=1时，m=-3,不成立；当n=2时，m=9;当n=3 时，m=3. 现说明当 n≥4时不成立： 设A.=3+2mm≥4,n∈N,则A.>0,A=5+2n÷ 3+2n-2+5>1, ,A≥8,故{A,}单调递增 设B.=n-2n≥3,n∈N*,B.>0,B=n一1÷n“2 =--2<1, 故{B,}单调递减，B,≤3,n≥3,n∈N*,B?=-1, 3+2n=m-2故 n≥4时， 不成立. T.=26综上所述，使 成立的所有的正整数对为(9, 2),(3,3). 章末检测卷二 一元函数的导数及其应用 1.B v=s=gt.所以当t=3s时，v=3g=29.4 m/s. 72