训练18 函数的单调性-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

训练十八 函数的单调性 AI伴学助手 在线答疑 区配套答案 鑫露棘区 基础练 巩固应用 1.下列函数中，在(2,+)内为增函数的是 ( ) A.3sin x B.(x—3)e C.x3—15x D.Inx—x 2.设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的 图象如图所示，则导函数 y=f(x)的图象 可能为 ( ) y 6.已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(2)=0,若当x>0时，xf'(x)+f(x)> 0,则不等式 xf(x)>0的解集是 7.已知函数 f(x)=x3+ax2—a2x+2. (1)若 a=1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间. 0 y yA 0 0 x A B y* y 0 0 能力练 迁移运用 C D 3.已知定义在(-3,3)上的函数 f(x)的导函 数 f'(x)>1,且f(2m)<f(m+1),则实 数 m的取值范围为 ( ) A.(—0,1) B.(1,+一) c.(-2,1) D.(1,3) 4.(重庆第二外国语学校高二期中)若函数 f(x)=e2(x2+a)在[-2,2]上单调递减， 则实数a的取值范围是 ( ) A.(-0,0) B.(—○,-8) C.(一○,-8) D.(0,+○) 5.(重庆南开中学期末)已知函数f(x)=2x -2-aln x在(1,2)上单调递减，则实数 a 的取值范围是 8.已知 y=x f'(x)的图象如图所示(其中 f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图 象中，是y=f(x)的大致图象的是( ) y 2 -2- 0 -1 2 -2 yA yA 0 0 x A yA B yA 0 0 C D 35 ?高中数学·选择性必修 第二册 9.若函数 y=f(x)在区间 D上单调递增，且 函数 y=f'(x)在区间D上也单调递增(其 中f(x)是函数 f(x)的导函数),那么称 函数 y=f(x)是区间D上的“快增函数”, 区间 D叫作“快增区间”,则函数 f(x)= sin2x+2sin x(x∈[0,π])的“快增区间”为 ( ) A.[0,否] B.[0,3] c.[6,2] D.[3,否] 10.已知函数 f(x)=xln x+x(x—a)2(a∈ R).若存在a∈[_,2],使得 f(x)> xf(x)成立，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(9,+o) B.(3,+) C.(√2,+一) D.(3,+一) 11.函数f(x)=x2+1(a>0)的单调递增区 间是 12.若函数 f(x)=3x3—2x2+ax+10在区 间[-1,4]上具有单调性，则实数 a的取 值范围是 13.已知函数 f(x)=x3+ax2+1,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (一3,0)(2)若函数 f(x)在区间 内单调 递减，求实数a的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调递减区间是 (-3,0),,求实数 a的值. 创新练素能培优 14.已知函数 f(x)=aln x—ax—3(a∈R). (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任 意的 t∈[1,2],函数 g(x)=x3十 a2[f(x)+带]在区间(t,3)上总不是单 调函数，求m的取值范围. 36 由于f,(a)=--1-1, 所以0=f(a)=91-4-1, a=z+2a*1>2,故?<a.<3由此可得 0<a,-1=ga<÷×(言)1=.所以 训练十七 简单复合函数的导数 基础练巩固应用 1.B f(x)=a-,则f(2)=2a-1=2,解得a=3. 2.C 因为f(x)=(e)'cos x+e(cos x)'=e· cos2x—e·sin x,所以f(0)=e0·cos20—em0. sin 0=1. 3.BCD 对于 A,令f(x)=x,g(x)=x+1,则f'(x)= g'(x)=1,但f(x)≠g(x),故 A错误；B显然正确；对于 C,若f(x)是奇函数，则f(—x)=-f(x),两边同时求 导得一f'(-x)=-f(x),即f'(-x)=f'(x),故 f'(x)是偶函数，故C正确；对于 D,若g(x)是偶函数， 则g(一x)=g(x),两边同时求导得—g'(一x)=g'(x), 所以g'(x)是奇函数。故D正确。故选BCD. 4.D y-c+u-)+4c+-++ e+1≥,te+1+2≥4,∴y'∈(-1,0),即 tana ∈(-1,0),ia∈(7,m). :v=[os(至-3x)]'=-m(2-3z)·(-3)=5.解析 3sin(4-3r). 3sin(4-3x)答案 6.解析 因为y=x?,故可得In y=xIn x,所以(In y)′= 1·y=In a+1,所以y=y(ln x+1)=(xln x)',即 x1(In x+1). 答案 x2(In x+1) 7.解(1)设u=1+x2,y=cos u,所以y=y·u=(cos u) ·(1+x2)=—sin u·2x=-2xsin(1+x2). (2)设u=2x2+x,则 y?=y·u =(Inu)'·(2a2+a)'=1·(4z+1)=2z+1 能力练迁移运用 8.D 因为f(x)=ae*,g'(x)=-2 sin,所以f(0)= a,g'(0)=0,所以a=0.又M(0,2)为 f(x)与g(x)的公 共点，所以f(0)=b=2,g(0)=1+c=2,解得c=1,所 以b+c-a=2+1-0=3. 9.D f(t)=2√1o·10=5o,所以f(40)=√50 =4. 10.A 对于 A,函数 y=In √1-x可以看作y=In u,u= √0和v=1-x的复合函数，∴y=y.·u·v= (ln w)'·√ō)'·(1-x)'=1·(20-+)·(-1)= 2v-·(-1)=za-a=za-1,符 于B,y=In√-=-In √I-a,∴y=合；对 2(a-1,不符合；对于C,y=1n(1-x)可以看作y= In u和u=1-x的复合函数，∴y=y·u=(In u) (1-a)'=1·(-1)=a-,不符合；对于 D,y= In1=-In(z-1),∴y=-a1,不符合 由题得f(x)=a(3·3+1)-2=11.解 析 a(1+-)-2,由f(1)=a(1+1)-2=2,,得a =2. 答案 2 12.解析 由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得1n 1+1+b= 0,故b=-1.由f(x)=In(x+1)+√x+1+ax+b,得 f(a)=a+1+2√a++a,则f(0)=1+1+a= 2+a,此即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜 2+a=2,率.由题意，得 故a=0.所以a=0,b=-1. 答案 0 -1 13.解∵f(x)=(e=)·cos 3x+eF·(cos 3x) =2e2·cos 3x-3e1·sin 3x, ∴f'(0)=2. ∴经过点(0,1)的切线方程为y-1=2(x—0), 即y=2x+1. 设适合题意的直线方程为y=2x+b, 5=1b-1,根据题意， ∴b=6或—4. ∴适合题意的直线方程为y=2x+6或 y=2x-4. 创新练素能培优 14.解 函数s=5-√25-9t是由函数f(x)=5—√x和函 数x=g(t)=25-9t 复合而成的，其中x是中间变量. f(x)=-2w-+,'(t)=-181. 由复合函数求导法则得 (0=f(a)p@=-2a+·(-18)=√25-9 将t=5 (5)=0.875(m/s).入s'(t),得 t=5它表 示 时，梯子 上 端下 滑的速度 为0.875 m/s. 训练十八 函数的单调性 基础练巩固应用 1.B (3sin x)′=3cos x,[(x-3)e]'=(x-3)'e+(x— 65 3)(e)=(a-2)e,(a2-15z)=322-15,(hn a-a)=1 -1,当x>2时，只有[(x-3)e*]>0恒成立，故选B. 2.D 由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导 数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先 正后负再正，对照选项，故选 D. 3.C 因为f(x)>1>0,所以函数 f(x)在(-3,3)上单 调递增.又f(2m)<f(m+1), +解得一3<m<1.所以 3 4.C 因为函数f(x)=e*(x2+a),所以f(x)=e2(x2+ 2x+a).因为函数 f(x)=e2(x2+a)在[-2,2]上单调 递减，所以f(x)=e*(x2+2x+a)≤0在[-2,2]上恒 成立，即a≤-x2—2x在[-2,2]上恒成立.令t=—x2 —2x=—(x+1)2+1,则在[-2,2]上，t≥-8,则 a≤-8.当a=-8 时，f(x)=e2(x2+2x—8)= e2[(x+1)2-9]不恒为零，也符合题意，所以实数a的 取值范围是(-0,-8),故选C. 5.解析 由题意得 f(x)的定义域为(0,+0). f(x)=2 +2-"≤0在(1,2)上恒成立，即a≥2x+2在(1,2) h(a)=2a+2(a>0),则h(a)=2-上恒成立.设 =22-2=2(a+1)(a-1),z>0.当a∈(1,2)时， h'(x)>0,所以h(x)在(1,2)上单调递增，所以h(x)< h(2)=5,所以a≥5,即实数a的取值范围是(5,+0). 答案 (5,+0o) 6.解析 由题意设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf(x)十 f(x)∵当x>0时，xf(x)+f(x)>0,∴g(x)在(0, 十)上单调递增.∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴g(x)是定义在R上的偶函数，又f(2)=0,则g(2)= 2f(2)=0,∴不等式 xf(x)>0等价于 g(x)>0= g(2),∴|x|>2,解得x<-2或x>2,∴不等式 xf(x) >0的解集是(-,-2)U(2,+一). 答案(-00,-2)U(2,+一) 7.解(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2, ∴f'(x)=3.x2+2x-1, ∴f'(1)=4.又f(1)=3, ∴切点坐标为(1,3), ∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x—y-1=0. (2)定义域为R,且f(x)=3x2+2ax—a2=(x+a)(3x —a), 由f'(x)=0得x=-a或x=3 又a>0,由f(x)<0,得—a<x<“ 由f(x)>0,得x<-a或a>号， 故 f(x)的单调递减区间为 (-a,3),,单调递增区间为 (-o,-a)和(g,+). 能力练迁移运用 8.C 当0<x<1时，xf'(x)<0, ∴f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)上为减函数； 当x>1时，xf'(x)>0,∴f(x)>0, 故y=f(x)在区间(1,+0)上为增函数.故选C. 9.A 由题知f'(x)=2sin xcos x+2cos x=2cos x(sin x ae[0,否]时，cos x≥0, a∈(一，π)时， +1).sin x+1≥0恒成立，当 所以f(x)≥0,即f(x)单调递增；当 cos x<0,所以f(x)<0,即 f(x)单调递减。令g(x)= f(a)=2sin acosa+2cos x,ae[0,],,则g'(x)= 2cos2x—2sin2x—2sin x=2—4sin2x—2sin x.令t= sin x,则 t∈[0,1],令 h(t)=—4t2— 2t+2= ie[0,2]时，-2(2t—1)(t+1)(t∈[0,1]),所以当 ae[c,否]h(t)≥0,即 时，g'(x)≥0,g(x)单调递增， 所以函数 f(x)=sin2x+2sin x(x∈[0,π])的“快增区 [0,6].间”为 故选A. [f(a]=10.C 由f(x)>xf(x)成立，可得 af(a)-f(a)<0.设g(z)=f(a)=In x+(a-a2, ae[2,2],,使得g(x)=1+2(x-a)<0成则存在 a>(a+去).又a+≥2√a·=,当立，即 a=,即x=且仅当 时取等号，所以a>√2.故 选C. f(a)=+-(a>0),令f(a)>0,解得11.解析 -1<x<1,故 f(x)的单调递增区间是(-1,1). 答案(-1,1) 12.解析 f'(x)=2x2—4x+a,函数 f(x)在区间 [-1,4]上具有单调性等价于f(x)=2x2—4.x+a≤ 0或f(x)=2x2-4x+a≥0在[-1,4]上恒成立，则 在区间[-1,4]上，a≤(-2x2+4.x)m或 a≥(-2x2十 4.x),即 a≤-16或a≥2. 答案(-0,-16)U[2,十一) 13.解(1)由题意知f(x)=3z2+2ax=3a(a+3). ①当a=0时，f(x)=3x2≥0恒成立，所以 f(x)的单 调递增区间是(-○,+一); a<-或z>0,②当a>0时，令f(x)>0,得 令f(x)<0,得—2a<x<0, (-o,-3),(o,所以f(x)的单调递增区间为 (-39,0);十),单调递减区间为 a>-3,令③当a<0时，令f(x)>0,得x<0或 f(x)<0,得0<a<-3, 66 (-c,0),(-2a,+0)所以 f(x)的单调递增区间为 (0,-g).单调递减区间为 (-3,0)内单调遇减，(2)由(1)知，若f(x)在 则-3<-3,,解得 a≥1, 即 a的取值范围是(1,+0). (3)由(1)知，若f(x)的单调递减区间是(-3,0),则 -3=-3,解得a=1. 创新练素能培优 (1)f(a)=a(1-m)(z>0).14.解 当a>0时，令f'(x)>0得0<x<1, 令f(x)<0得x>1,则 f(x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1,+一); 当a<0时，令f(x)>0得x>1,令f(x)<0,得0<x <1, 则 f(x)的单调递增区间为(1,+0),单调递减区间为 (0,1); 当a=0时，f(x)不是单调函数. (2)由f(2)=-2=1得a=-2, ∴f(x)=-21n x+2x-3. ∴g(x)=a3+(2+2)z2-2ax, ∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g'(0)= -2, (8>0结合函数g'(x)的图象可得 由题意知对于任意的 t∈[1,2],g'(t)<0恒成立， 解得-3<m<-9. (-7,-9).故m的取值范围为 训练十九 函数的极值 基础练巩固应用 1.D 函数y=e2是实数集R上的增函数，不存在极值； 函数y=1n x在(0,+○)上单调递增，不存在极值；函 数y=2在区间(0,+0),(-0,0)上单调递减，不存 在极值；y=x2-2x=(x—1)2-1在(1,+一)上单调递 增，在(一○,1)上单调递减，因此x=1是函数的极小值 点，符合题意。故选 D. 2.A 易知函数f(x)的定义域为(0,+o),f'(x)=x— 1=(a+1)(a-1.令于(x)=0,得x=1(x=-1舍 去).当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈ (1,+○)时，f(x)>0,f(x)单调递增，所以函数f(x) f(1)=2.的极小值为 故选 A. 3.B 因为f(x)既有极大值又有极小值，且f'(x)=2x— a-2+a=2a2-(a+2)a+a=(2a-a)(a-1)(a> 0),所以f(w)=0有两个不相等的正实数解，所以号> 0且2≠1,解得a>0且a≠2. 4.B 由题意知 f(x)=e2-a,当a≤0时，f'(x)>0恒成 立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意。当a>0时， 令f(x)=0,解得x=In a,∴当x∈(-co,In a)时， f'(x)<0;当x∈(In a,+○)时，f'(x)>0.可知x= In a为f(x)的极值点，∴In a<0,∴a∈(0,1).故选B. 5.解析：∵f(x)=3x2+2ax+b, ()-0,+等+6- 1b=24, (a=24解得 经检验可知 符合题意，∴a+b= 2-4=—2. 答案 -2 6.解析 因为a>0,f(x)=a-1=a-1,,所以当 a≤0 时，f(x)<0在(0,+一)上恒成立，所以函数 f(x)在 (0,+0)上单调递减，所以f(x)在(0,+○o)上没有极 值点。 答案 0 7.解(1)函数 f(x)的定义域为R. f(x)=2ca+1)-42=-2(a-+(a+1. 令f(x)=0,得x=-1或x=1. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表所示： t (一0,-1) -1 (-1,1) (1,+0) f(x) 0 十 0 f(x) 极小值 极大值 由表格可以看出，当x=-1时，函数 f(x)有极小值，且 极小值为 f(-1)=-3; 当x=1时，函数f(x)有极大值，且极大值为f(1)= —1. f(x)=n的定义域为(0,+0),(2)函数 且f(a)=1-Ina 令f(x)=0,解得x=e 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表所示： (0,e) (e,+0)x e f(x) 十 0 f(x) 极大值 因此，x=e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)=,没有极小值。 能力练迁移运用 8.B f(x)=3(x-o)(a-3),f'(c)=0,f(号)=0, 即f(x)在x=c和x=号处取得极值，由题意x=2时 67