训练11 数学归纳法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练十一 数学归纳法 基础练巩固应用 1.(河南南阳开学考试)观察下列式子：1+ <2,1++1<5,1+2+1+4<4, 1+1+3+⋯+(n+1)⋯则可归纳出 1 (n∈N*)小于 ( ) B.2n-1A.n+1 c.2n+1 D.n+1 f(n)=n+n+1+n+2+⋯+,2.已知 ,则 ( ) A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=1 +3 B. f(n)中共有 n+1项，当 n=2时，f(2) =2+3+4 C.f(n)中共有 n2—n项，当 n=2时，f(2) =1+3 D.f(n)中共有n2—n+1项，当n=2时，f(2) =1+3+4 3.已知数列{a,}的前 n项和S,=n2a,(n≥ 2),而a?=1,通过计算 a?,a?,a?,猜想a, 等于 ( ) A.(n+1 B.n(n+1) c.2-1 D.2n-1 4.对于不等式√n2+n<n+1(n∈N*),某学 生的证明过程如下： (1)当 n=1时，√12+1<1+1,不等式 成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时，不等式成立，即 √k2+k<k+ 1,则 n= k+ 1 时， √(k+1)2+(k+1)= √k2+3k+2< √(k2+3k+2)+(k+2)=√(k+2)2=(k +1)+1, ∴当n=k+1时，不等式成立，上述证法 ( ) A.过程全都正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k到n=k+1的推理不正确 f(n)=1+2+3+⋯+3n-i(n∈5.设 N*),那么 f(n+1)-f(n)等于 6.用数学归纳法证明“当 n∈N*时，求证： 1+2+22+23+⋯+25”-1是31 的倍数” 时，当 n=1时，原式为 ,从 n=k到n=k+1时需增添的项是· 7.用数学归纳法证明：11n+1+122n-1(n∈ N*)能被133 整除. 21 ?高中数学·选择性必修 第二册 能力练 迁移运用 8.凸 n边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边 形对角线的条数 f(n+1)为 ( ) A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C.f(n)+n-1 D. f(n)+n—2 9.(多选)已知一个命题 p(k),k=2n(n∈ N*),若当 n=1,2,⋯,1 000时，p(k)成 立，且当 n=1 001 时也成立，则下列判断 中正确的是 ( ) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数 k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 10.(四川广安二中高二期中)用数学归纳法 n+1+n+2+⋯+3≥6证明 时，从 n= k到n=k+1,不等式左边需添加的项是 ( ) A. k+1+3k+2+3k+3 B.3k+1+3k+2+3k+3k+1 c.3+3-k+ D.3k+3 11.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点 的 n条直线把平面分为f(n)部分，则 f(n)=1+n(n+1.”证明第二步归纳递 推时，用到f(k+1)=f(k)十 创新练 素能培优 12.(梧州高二阶段考)已知 n为正偶数，用数学 -2+3-4+⋯+n-1-1归纳法证明1 =2(n+2+n+4+⋯+2)时，若已假设当n =k(k≥2,k为偶数)时等式成立，则还需要 用归纳假设再证 n= 时等式成立. 13.设函数 y=f(x)对任意实数 x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值： (2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4) 的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*) 的解析式，并用数学归纳法加以证明. 14.观察下列各式： l3=12. 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102,⋯⋯ 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你 所得到的结论. 22 z-1-z-1+⋯+z-1-z1-1=2-1- 21-1=1-21-?<1,,故D正确。故选ABD. 11.解析 由题意知，第 n天植树2”棵，则前 n天共植树2 +22+⋯+2"=(2m+1-2)棵，令2"+1-2≥100,则2"+ ≥102,又2?=64,2?=128,且{2"+1}单调递增，所以 n ≥6,即 n的最小值为6. 答案 6 S=n+2,即S.=元+_n.12.解析 依题意得 当 n≥2时， a.=S,-S-=(z2+之”)-[(n-12+_(n-1]=2n ;当n=1时，a,=s=2,,符合a,=2n-1, 所以a =2n-÷(neN*),则b.=3+=3”,由=3 =32=9,可知{b,}为等比数列，b?=32×1=9,故T,= 9(41-9)=9+8-9 8答案 13.解(1)设今年有学生b人， 则10年后学生人数为b(1+4.9???≈1.05b. 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1+10???x= 1.1a—x. 2年后的设备数量为(1.1a—x)×(1+10?x= 1.12a-1.1x—x=1.12a—x(1+1.1). 10年后的设备数量为a×1.11?—x(1+1.1+1.12+⋯ +1.19)=a×1.1°-x.1×1-.1≈2.6a-16z. 由题意得2.6.056~=2·g,,解得x=32· (2a)÷32=16(年).(2)全部更换旧设备共需 答：(1)每年应更换旧设备号套。 (2)按此速度全部更换旧设备共需16年. 创新练素能培优 14.解(1)由题意知数列{a,}的奇数项构成以1为首项， 2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，3为公 比的等比数列， a.={2.3,偶数 (2)若m为奇数，由a a+=a,得 m×2×3=n +2,无解 若m为偶数，由a,a+=a,+2,得2·3·(m+1)= 2·3,即m+1=3,解得m=2. 综上所述，m=2. (3)由(1)可得S2m=1+2+3+2×3+⋯+2m-1+2 ·3"-1 =(1+3十⋯+2m-1)+(2+2×3+⋯+2·3”-1) =m(1+2m-1+2(1-3 =3"—1+m2, S2-1=1+2+3+2×3+⋯+2·3m-2+2m-1 =(1+3+⋯+2m-1)+(2+2×3+⋯+2·3"-2) =m(1+2m-1)+2(1-3 =3m-1—1+m2, *-1++ 易知1<s<3, 5s所以若 为{a,}中的某一项，则 只能为a? 或ag. 若s-a,则1+1+”1-2,由meN°,得m=2; *-2,1+-3.由mem-1. 综上所述，存在满足条件的正整数m,且满足条件的m 的值为1,2. 训练十一 数学归纳法 基础练巩固应用 1.C 由已知式子可知所猜测的分式的分母为n+1,分子 为分母的2 倍再减1,即2n+1, 1+1++⋯+(n+1)2<+1∴可归纳得 .故 选C. 2.D 由f(n)可知，f(n)中共有n2—n+1项，且n=2时， f(2)=2+g+4 a?=3,a,=6,a=0,,猜想a.=n(n+13.B 4.D n=1的验证及归纳假设都正确，但从 n=k到 n=k +1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩 法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选D. f(n+1)-f(n)=3n+3n+1+3n+25.解析 n+3n+1+3n+2答案 6.解析 当n=1时，原式应加到 2?×1-1=2?,所以原式为 1+2+22+23+2?,从 n=k到 n=k+1 时需添25*+ 25*+1+⋯+25(k+1)-1. 答案 1+2+22+23+2? 2+25+1+25*+2+25k+3 +2?+ 7.证明 ①当n=1时，11”+1+122-1=112+12=133 能 被133 整除，所以当n=1时结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时，11k+1+12k-1能被133 整除， 那么当n=k+1时， 11k+2+122*+1=11k+1×11+12-1×122 =11+1×11+122k-1×11-122h-1×11+124-1×122 =11×(11k+1+12k-1)+133×122-1. 由假设可知11×(11*+1+124-1)+133×122-1能被133 整除，即11k+2+122k+1能被133 整除， 所以当n=k+1时结论也成立。 综上，11*+1+12-1(n∈N*)能被133 整除。 58 能力练迁移运用 8.C 增加一个顶点，就增加 n+1-3条对角线，另外原来 的一边也变成了对角线，故 f(n+1)=f(n)+1+n+1 -3=f(n)+n-1.故选C. 9.AD 由题意知 p(k)对k=2,4,6,⋯,2 002 成立，当k 取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选 AD. [k+2+k+3+⋯+10.B 不等式左边需添加的项是 3[k+1]-(4++2+⋯+录)=3k+1+3k+2 +3k+3-k+1 故选 B. f(k)=1+(k+1),11.解析 f(Q+1)=1+(k+1D(k+2), ∴f(k+1)—f(k) =[1+k+1](k+2]-[1+k+1)]=k+1, ∴f(k+1)=f(k)+(k+1). 答案 k+1 创新练素能培优 12.解析 假设当n=k(k≥2且k为偶数)时，等式成立，即1 (42+k+4+⋯+)成立.由于对所有正偶数等式都 成立，则归纳递推时，应该是再证明取下一个偶数时， 等式也成立。所以应证明当 n=k+2时，等式也成立。 故答案为k+2. 答案 k+2 13.解(1)令x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0 ×0→f(0)=0. (2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4, f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9, f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16. (3)猜想 f(n)=n2,下面用数学归纳法证明. 当 n=1时，f(1)=1满足条件. 假设当 n=k(k∈N*)时成立，即f(k)=k2,则当 n=k +1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k +1)2,从而可得当 n=k+1时满足条件，所以对任意 的正整数 n,都有f(n)=n2. 14.解 观察各式，可得一般规律：13+23+3?+⋯+n3 =[a(nt1]. 用数学归纳法证明如下： =(1×2)2=1,(1)当 n=1时，左边=13=1,右过 ,等式 成立； (2)假设当n=k(k∈N*)时，等式成立， 即13+22+3°+⋯+k=[a&+1], 那么当n=k+1时， 12+22+3°+⋯+&+(a+1°=[a+1]+(k+1D =4(k+1)2+(k+1)(k+1)2=(k+12(4+k+1) =(k+1)2(k3+4k+4)=(k+10°(k+2)2 =[(k+1)(a+1+1], 故当 n=k+1时，等式也成立. 综上可知，等式对于一切正整数n都成立. 训练十二 变化率问题 基础练巩固应用 1.CD 2.B 函数f(x)从x=3到x=3的平均变化率为 网- 3.A △s=s(2)—s(1)=6×22+2m—(6×12+m)=18+ m,△t=2-1=1.因为物体在1≤≤2这段时间内的平 均速度为20m/s,所以会=18+m=20,解得m=2. -[za+ao]-]-(x1-2)-1,世切4.B 线的倾斜角为45°. 5.解析 从题图中可以看出f(-2)=-1,f(1)=1,f(3) =3,所以函数 f(x)在[-2,1]上的平均变化率为 f1-(-2)2=1-(-1)=3, 函 数 f(x)在 f(3-(-2)2=3-(-1[-2,3]上的平均变化率为 =4. 34答案 6.解析 ∵△s=s(3+△t)—s(3)=1-(3+△t)+(3+△t)2 -1+3-32=A2+5At,.会=5+At,∴当t=3时，瞬 时速度是lim(5+△t)=5米/秒。 答案 5 s(t)=2a2,7.解 因为 △s=2a(t+△)3-2at2=ata+2a(A)2,所以 所以会=a+-aAt. ,一趋于at.当 △t趋于0时 由题意知a=5×10?m/s2,t=1.6×10-3s, 所以at=8×102=800(m/s), 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 能力练迁移运用 Ay=(2a+b)-(a+b)=8.C 根据平均变化率的定义，可知 a=3. 9.A 由题意可知曲线在点(0,b)处的切线的斜率k=lim (0+A)2+a(O+Az)+b-b=Iim(a+a)=a.又曲线 59