训练10 等比数列前n项和的综合应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练十 等比数列前 n项和的综合应用 鉴 6.在等比数列{a,}中，a?,a?,a?分别是下表 基础练 巩固应用 第一、二、三行中的某一个数，且a?,a?,a? 中的任何两个数不在下表的同一列.1.某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五 年的年产值平均增长率是10则从今年 第一列 第二列 第三列 起到第5年年末该厂的总产值是( ) 第一行 3 2 10 A.11×(1.1?—1)a亿元 第二行 6 4 14 B.10×(1.1?—1)a亿元 第三行 9 8 18 C.11×(1.1?—1)a亿元 D.10×(1.1?—1)a亿元 2.(多选)已知{a,}是等差数列，公差 d不为 零，前 n项和是S,,若a?,a?,ag成等比数 列，则 ( ) A.a?d>0 B.dS?<0 C.a?d<0 D.dS?>0 3.已知数列{a,}的首项为a?=1,且满足an+1 =2a,+2 ,则此数列的通项公式 a,等于 ( ) 则数列{a,}的通项公式为 7.设{a,}是等差数列，且a?=1n 2,a?+a?= 51n 2. (1)求{a,}的通项公式； (2)求e?1+e?2十⋯十e°% A.2n B.n(n+1) D.n(a+1c.2n 4.(安徽合肥高二期中)某公司为庆祝公司成 立九周年，特意制作了两个热气球，在气球 上写着“九年耕耘，硕果累累”8个字.已知 热气球在第一分钟内能上升30米，以后每 分钟上升的高度都是前一分钟的 ,则该 气球上升到70米高度至少要经过( ) 213 A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟 5.已知等比数列{a,}共有 2n项，其和为 —240,且奇数项的和比偶数项的和大 80, 则公比q= 能力练迁移运用 8.已知数列{a,}的前 n项和为Sn,a?=1,S, =2an+1,则 S,= ( ) B.()-A.2”-1 c.(3) D. 19 ?高中数学·选择性必修 第二册 9.(重庆南开中学期末)已知等比数列{a,}的 前n项和为S,=a·2”+1+b-1,则4?+2 的最小值为 ( ) B.√4+√2A.3 C.2√2 D.√2 10.(多选)(重庆主城区七校期末)已知数列 {a,}的前 n项和为S,a?=1,Sn+1=S,+ 2,2a,+1,数列 的前 n项和为 T,,则下列选项正确的是 ( ) A.数列{a,+1}是等比数列 B.数列{a,}的通项公式为an=2”—1 C.S,=2”—n D.T,<1 11.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第 一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一 天的2 倍，则需要的最少天数 n(n∈N*) 等于 12.设 数 列{a,}的 前 n项和为 S,,点 n,]m∈N”)均在直线y=a+1上. 若b=3?,则数列{b,}的前n项和T,= 13.某校为扩大教学规模，从今年起扩大招 生，现有学生b人，以后学生人数年增长 率为4.9该校今年年初有旧实验设备 a套，其中需要换掉的旧设备占了一半. 学校决定每年以当年年初设备数量的 10??增长率增加新设备，同时每年淘汰 x套旧设备. (1)如果10年后该校学生的人均占有设 备的比率正好比目前翻一番，那么每年应 更换的旧设备是多少套? (2)依照(1)的更换速率，共需多少年能换 完所有需要更换的旧设备? 下列数据供计算时参考： 1.1?≈2.36 1.004 9?≈1.04 1.11?≈2.60 1.004 91?≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 创新练 素能培优 14.(浙江三市五校联考)已知数列{a,}满足 a?=1,a?=2,a2m+1=a2m-1+2,a2m+2= 3a?m,数列{a,}的前 n项和为S,. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若a,am+1=am+2,求正整数 m的值； s(3)是否存在正整数 m,使得 恰好为 数列{a,}中的一项?若存在，求出所有满 足条件的 m 的值；若不存在，请说明 理由. 20 创新练素能培优 14.解(1)设等比数列{a}的公比为q(q≠0), 则a=q”?1.又因为a?,3az,9a?成等差数列， q=3,所以2×3a?=a?+9ag,即6q=1+9q2,解得 a.=(3),b.=营·(3)1=3所以 (2)证明：由(1)得 T.=g+3+⋯+, ① 言T=g+3+⋯+”-1+", ② 3T.=g+3+1+⋯+1-3①-②可得 一) =1-2.3-”, T=4-433-2”=3-4.+3所以 4.33-4.3=4-3->0,所以4.+3>43,因为 所以-4.+3<-43,所以4-423<4-433, 即T,<4-433-2. 训练十 等比数列前 n项和的综合应用 基础练巩固应用 1.A 由题意可知，今年年末的总产值为1.la,从今年起 每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a,公 s?=1.1q1-1.1)=11比为1.1.所以其前5项和为 ×(1.1?-1)a亿元，故选 A. 2.BC ∵在等差数列{a}中，ag,a4,ag成等比数列，∴(a? +3d)2=(a?+2d)(a?+7d)>a?=-5d,∴S?=2(a +a)=2(q?+a?+3d)=-2a,:a?d=-5d<0, ds?=-3a<0, 选BC. 3.C ∵am=za+1,.2*a.=2a,+2,即2+1,- 2”a=2.又2'a?=2,∴数列{2"a,}是以2为首项，2为公差 的等差数列，∴2a,=2+(n-1)×2=2mn,:a,=2” 4.B 设a,表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意 a,=3a-(n≥2,n∈N*),a?=30,所以前n分钟可得 1-(3)30× 热气球 上升的总 高 度 S,= 1-3 s+-S,=90(号)"-90(3)90[1-(3)"].因为 =90(3)"(1-号)>0,所以数列{S,}为单调递增数 S。=90[1-(3)]~63.3<70,S=90[1-列.又 (3)]≈72.2>70, ,所以该气球至少要经过4分钟才 能上升到70米高度.故选B. 5.解析 设等比数列{a,}的前 2n项中奇数项的和、偶数 (s-S=240项的和分别为 Sg,S腐.由题意得 ∴SA=-80,SA=-160,∴a=5==-180=2. 答案 2 6.解析 当a?=3时，不合题意；当a?=2时，当且仅当a? =6,a?=18时，符合题意；当a?=10时，不合题意，因此 a?=2,a?=6,a?=18,所以公比q=3,故a=2×3°-1. 答案 a=2×3"-1 7.解(1)设{a}的公差为d.因为a?+a?=5ln 2, 所以2a?+3d=51n 2. 又a?=In 2,所以d=In 2. 所以a,=a?+(n-1)d=nln 2. e=e2=2,二=e°-=e2=2(2)因为 所以数列{e"}是首项为2,公比为2的等比数列， 所以e?+e+⋯+e?=2×(-2 =2(2”—1)=2"+1-2. 能力练迁移运用 8.B 因为a+1=S,+1-S,所以由 S,=2am+1,得S,= 以s1=3,2(Sn+1-S,),整理得3S,=2S,+1,所 所以数 ,3列{S,}是以S?=a?=1为首项 为公比的等比数列， 故s,=(2). 9.C 根据题意得a?=S?=4a+b-1,a?=S?-S?=4a,a? =S?-S?=8a, 则有(4a)2=(4a+b-1)×8a,变形可得2a+b=1, 则4°+22=4°+21*=4+2≥2√4×2=2√2, 当且仅当2a=b时等号成立， 即4“+2°的最小值为2√2.故选C. 10.ABD 由S+1=S,+2a+1可得an+1=2a,+1, 两边同时加1,得aa+1+1=2a,+1+1=2(a+1). a?+1=1+1=2,∴数列{a+1}是以2为首项，2为 公比的等比数列，∴a+1=2·2”-1=2”,∴a=2”—1, n∈N*,故 A,B正确； S=a?+a?+⋯+a=(21-1)+(22-1)十⋯+(2"一 1)=(21+22+⋯+2”)-n=2-2-n=2+1-n-2, 故C错误； ?a=(z-1)(2*-1=z-1-2-1, T.=2a+a2+⋯+a?a=2-1-22-1+ 57 z-1-z-1+⋯+z-1-z1-1=2-1- 21-1=1-21-?<1,,故D正确。故选ABD. 11.解析 由题意知，第 n天植树2”棵，则前 n天共植树2 +22+⋯+2"=(2m+1-2)棵，令2"+1-2≥100,则2"+ ≥102,又2?=64,2?=128,且{2"+1}单调递增，所以 n ≥6,即 n的最小值为6. 答案 6 S=n+2,即S.=元+_n.12.解析 依题意得 当 n≥2时， a.=S,-S-=(z2+之”)-[(n-12+_(n-1]=2n ;当n=1时，a,=s=2,,符合a,=2n-1, 所以a =2n-÷(neN*),则b.=3+=3”,由=3 =32=9,可知{b,}为等比数列，b?=32×1=9,故T,= 9(41-9)=9+8-9 8答案 13.解(1)设今年有学生b人， 则10年后学生人数为b(1+4.9???≈1.05b. 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1+10???x= 1.1a—x. 2年后的设备数量为(1.1a—x)×(1+10?x= 1.12a-1.1x—x=1.12a—x(1+1.1). 10年后的设备数量为a×1.11?—x(1+1.1+1.12+⋯ +1.19)=a×1.1°-x.1×1-.1≈2.6a-16z. 由题意得2.6.056~=2·g,,解得x=32· (2a)÷32=16(年).(2)全部更换旧设备共需 答：(1)每年应更换旧设备号套。 (2)按此速度全部更换旧设备共需16年. 创新练素能培优 14.解(1)由题意知数列{a,}的奇数项构成以1为首项， 2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，3为公 比的等比数列， a.={2.3,偶数 (2)若m为奇数，由a a+=a,得 m×2×3=n +2,无解 若m为偶数，由a,a+=a,+2,得2·3·(m+1)= 2·3,即m+1=3,解得m=2. 综上所述，m=2. (3)由(1)可得S2m=1+2+3+2×3+⋯+2m-1+2 ·3"-1 =(1+3十⋯+2m-1)+(2+2×3+⋯+2·3”-1) =m(1+2m-1+2(1-3 =3"—1+m2, S2-1=1+2+3+2×3+⋯+2·3m-2+2m-1 =(1+3+⋯+2m-1)+(2+2×3+⋯+2·3"-2) =m(1+2m-1)+2(1-3 =3m-1—1+m2, *-1++ 易知1<s<3, 5s所以若 为{a,}中的某一项，则 只能为a? 或ag. 若s-a,则1+1+”1-2,由meN°,得m=2; *-2,1+-3.由mem-1. 综上所述，存在满足条件的正整数m,且满足条件的m 的值为1,2. 训练十一 数学归纳法 基础练巩固应用 1.C 由已知式子可知所猜测的分式的分母为n+1,分子 为分母的2 倍再减1,即2n+1, 1+1++⋯+(n+1)2<+1∴可归纳得 .故 选C. 2.D 由f(n)可知，f(n)中共有n2—n+1项，且n=2时， f(2)=2+g+4 a?=3,a,=6,a=0,,猜想a.=n(n+13.B 4.D n=1的验证及归纳假设都正确，但从 n=k到 n=k +1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩 法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选D. f(n+1)-f(n)=3n+3n+1+3n+25.解析 n+3n+1+3n+2答案 6.解析 当n=1时，原式应加到 2?×1-1=2?,所以原式为 1+2+22+23+2?,从 n=k到 n=k+1 时需添25*+ 25*+1+⋯+25(k+1)-1. 答案 1+2+22+23+2? 2+25+1+25*+2+25k+3 +2?+ 7.证明 ①当n=1时，11”+1+122-1=112+12=133 能 被133 整除，所以当n=1时结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时，11k+1+12k-1能被133 整除， 那么当n=k+1时， 11k+2+122*+1=11k+1×11+12-1×122 =11+1×11+122k-1×11-122h-1×11+124-1×122 =11×(11k+1+12k-1)+133×122-1. 由假设可知11×(11*+1+124-1)+133×122-1能被133 整除，即11k+2+122k+1能被133 整除， 所以当n=k+1时结论也成立。 综上，11*+1+12-1(n∈N*)能被133 整除。 58