训练9 等比数列的前n项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

AI伴学助手 在线答疑 训练九 等比数列的前 n项和 鉴 7.已知等比数列{a,}的前 n项和为S,,且a? 基础练现固应用 =2,S?=a?+6 1.(湖北武汉华师大一附中高二期末)设正项 等比数列{a,}的前 n项和为S,.若 3S?= 8a?+5a?,则数列{a,}的公比是 ( ) (1)求数列{a,}的通项公式； (2)设bn=log?an,求数列{a,b,}的前 n项 和T,. B.-3或2A.2 c.3 D.3或-2 2.(重庆巴蜀中学高二月考)已知{a,}为递减 等比数列，a?>0,a?a?=1,a?+a?=5,,则 S?= ( ) A.66 B.36 c.26 D.-6 3.已知等比数列{a,}的前 n项和为S,,a?一 a?=78,S?=39,设 bn=log?a,,那么数列 能力练迁移运用 {b,}的前10 项和为 ( ) B.6 8.(湖北武汉 5G联合体高二下联考)在数列A.log?71 {a,}中，已知 an+1+a,=3·2”,则{a,}的 前10项和为 ( ) C.50 D.55 4.已知{a,}是首项为1的等比数列，S,是其 d}前n项和，且9S?=S?,则数列 的前5 项和等于 ( ) A.2 040 B.2 046 C.4 040 D.4 046 9.等比数列{a,}的前 n项和为S,,S?=2,S?? A.5 B.36或5 或5 =6,则a??+a??+a??+a??+a?0等于 ( ) c.36 D.15 A.8 B.12 C.16 D.24 10.(广东佛山市荣山中学期中)已知 S,是数 5.已知等比数列{a,}的前 n项和为S,,若a? a?+ 列{a,}的前 n项和，a?=1,a?=3,数列 一 a?= 12,a?— a?= 24,则 = {a,an+1}是公比为 2 的等比数列，则 S??( )= 6.在正项等比数列{a,}中，S?o=13S10,S3o+ A.1364 B.286 S1o=140,则 S2o= C.118 D.124 17 ?高中数学·选择性必修 第二册 11.在公比为整数的等比数列{a,}中，如果a? +a?=18,a?+a?=12,则这个数列的前 8 项之和 S?= 12.已知{a,}是递减的等比数列，且a?=2,a? +a?=5,则{a,}的通项公式为 , a?a?+a?a?+⋯+a,a?+1(n∈N*)= 13.(甲卷)已知数列{a,}中，a?=1,设 S,为 {a,}的前 n项和，2S,=nan. (1)求{a,}的通项公式； {a?+1}(2)求数列 的前 n项和Tn. 创新练 素能培优 14.设{a,}是首项为1的等比数列，数列{b,} b=n3满足 已知 a?,3a?,9a?成等差 数列. (1)求{a,}和{b,}的通项公式； (2)记 S,和T,分别为{a,}和{b,}的前 n T,<2.项和.证明： 18 (a-3)=36,5.解析 设此三数为3,a,b,则 (o=3或(b=25.解得 所以这个未知数为3或27. 答案 3或 27 6.解析 由题意及等比数列的性质得a?a?a?aa-2a,_1a= (a?a,)3=8,即a?a=2,则a?·a?·a?·⋯·a=64=2 =(a?an)?,故数列{a,}有12项. 答案 12 7.解(1)设等比数列{a,}的公比为q,依题意得a,>0,则 q>0. 由a?=27,且a?+6a?=a?a?, 得a?q3+6a?q2=a?q,即q2+6q-27=0, 解得q=-9(舍去)或q=3, 所以数列{a,}的通项公式为a,=27×3”-2=3°+1(n∈N*). (2)由(1)得b=2log?a=2log?3"+1=2(n+1), 则ba+1-b,=2(n+2)-2(n+1)=2. 由等差数列的定义知，数列{b,}是首项为b?=2×2=4, 公差为2的等差数列， 则s=n(b,+b.)=m(4+2n+2)=2+3n. 由S≥270,得n2+3n-270≥0, 解得n≤-18(舍去)或 n≥15(n∈N*), 故使得S≥270成立的正整数 n的最小值为15. 能力练迁移运用 8.BD 已知正项等比数列{a,}的公比为q(q>0),则a= a?q”-1.由a?a?ag=4,a?asa?=12,得a3=4,a3=12,B正 确；而a?=a?q3,于是(a?q3)3=12,即q?=3,A错误；而 a?=√12,则aqa?=a2=2 √18,C错误；由a,+1a,+2a+3 =324,得aa+2=324,即(a?q")3=324.因为a2=4,所以 q"=81=3?=(q2)?=q3,显然q>1,所以3n=36,解得 n=12,D正确。故选BD. 9.A 因为{a,}是等比数列，所以a?aga=a?=-3√3,所 以ag=-√3,所以a?ag=a2=3.因为{b,}是等差数列， b=7,所以b?+b?+b?=3b?=7π,所以 所以b?+b?= 所以b+b6g=-s,,所以tanr-+6=2b。=14x tan(-3g)=-tang=-√3. 10.AC 设等比数列(a.)的公比为q.对于A,fa)- =2,,是常数，故A符合条件；对于B,fa)= 2=2-,不一定是常数，故B不符合条件；对于C, fa)-va-√2|=√g ,是常数，故C 于D,a)-m,不一定是常数，符合条件；对 故D不符合条件.故选 AC. 11.解析 由于{a,}是等比数列，∴a?a??=a?a??=a?a?= aqa?=a?ag=a?ag=a},∴a?a?a?⋯a??=(a?)?a?=a?3, 而a?=-2.∴a?a?a?⋯a1?=(-2)1?=-21?. 答案 —213 12.解析 设 n级雪花曲线的边长为a,,则数列{a,}是首 3,公比为言项为 的等比数列，故n级雪花曲线的边长 为a。=g×(3)1=1 设 n级雪花曲线的边数为 b,则数列{b,}是首项为12,公比为4的等比数列，故 n 级雪花曲线的边数为12×4"1,则 n级雪花曲线的周 12×4-1×1=4.长为 答案 13.解(1)证明：因为b=log?a, 所以b+1-b=log?aa+1-log?a =log,1=log?q(q>0)为常数， 所以数列{b}为等差数列且公差d=log?q. (2)因为b?+b?+b?=6, 所以(b?+b?)+b?=2b?+b?=3b?=6,即b?=2. 又因为a?>1,所以b?=log?a?>0, 又因为b?b?b?=0,所以b?=0, (G=41,{即 b+4d=2,解得 因此S,=4n+n(n-12(-1)=9m2”. 又因为d=log?q=-1, 即 所以q=2,b,=Ioga?=4, 即a?=16,所以a=2?-“(n∈N*). 创新练素能培优 14.解 设最初的桃子数为a?,5只猴子分剩的桃子数依 次为a?,ag,a4,as,ag. 由题意得a,+=(a?-1)-号(a,-1)=季a.-号. ① 设a,++x=车(a?+x),即a,+=车a,- x, a.++4=售(a.+4),对照①式，得x=4,即 4所以数列{a+4}是首项为a?+4,公比为 的等比 数列。 所以a?+4=(a?+4)×(告), a。=(a+4)×(专)-4.所以 由于 a?为整数，所以a?+4的最小值为5?, 所以a?的最小值为5?-4=3 121. 即最初至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下ag=4? -4=1 020(个)桃子. 训练九 等比数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.A 设等比数列{a,}的公比为q.因为3S?=8a?+5a?, 所以3(a?+a?+a?)=8a?+5a?,所以3a?=5a?+2a?,所 55 以3a?q2=5a?q+2a?.又因为a>0,所以3q2=5q+2, 解得q=2或q=-g(舍).故选A. 2.A 设递减等比数列{a,}的公比为q,因为a?>0,所以0 <q<1.由a?>0,Q,a?=1可得a2=1,结合a?+a?=5, a?=1,a=4,则q2=a=4,所以q=2,故a?=可得 ----)=2,因此 故选A 3.D 由a?—a?=78得a?(q3-1)=78,又 S?=a?(1+q+ q2)=39,解得a?=q=3,故a=3",b=n,所以数列{b,} 的前10项和为55. 4.C 设数列{a,}的公比为q,显然q≠1,由已知得 94-2=-g, {};,解得q=2,∴数列 是以1为首项，-为公比的等比数列，前5项和为2 5.解析 由数列{a,}为等比数列，设其公比为q,又a?-a? =12,则a?-a?=a4q-a?q=(a?-a?)q=12q=24,解得 q=2,所以a?-a?=a?q3-a?q=6a?=12,则a?=2,所以 a,=a?q?1=2°,sS,=(1-g)=q-2)=2+1-2,所 sa=238=3.以a?=8,S?=2?-2=30,所以 答案 3 6.解析 设等比数列的公比为q,由题意知q≠±1,由条 件可得S??=10,Sgo=130,因为数列 S??,S2?-S?,Sg一 S2o成等比数列，所以(S?一S??)2=S??(S?—S20),即 (S?-10)2=10(130-S2),故 S?o=-30或S?o=40.又 S?>0,所以S?=40. 答案 40 7.解(1)设数列{a,}的公比为q, 因为a?=2,S?=ag+6,所以a?+a?=2+a?=6, 所以a?=4,则q=2,所以a=2". (2)由(1)可得b,=log?a,=n,所以a,b,=n·2", 则 T,=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2”, 2T,=1×22+2×2?+⋯+(n-1)×2"+n×2*+1, 所以一T,=2+22+⋯+2”—n·2"+1 =2(1-2)-n·2+1 =2"+1-2—n·2"+1, 所以T,=(n—1)2"+1+2. 能力练迁移运用 8.B 因为am+1+a=3·2”,所以a?+a?=3×2,a?+ag= 3×23,ag+a?=3×2?,ag+a,=3×2?,a?+ag=3×2°, 则{a,}的前10项和为3×(2+2?+2?+2?+2°)=3× 2-2×?=2046. 9.C 设等比数列{a}的公比为q,因为S?-S,=q"S,,所 以 S??-S?=q?S?,所以6-2=2q?,所以q?=2,所以a?6 +a?+a??+a?,+az=a?q?+a?q?+a?q?+a?q?+ asq?=q?(a?+a?+a?+a?+a?)=q1?S?=23×2=16. 10.D 因为数列{a,aa+1}是公比为2的等比数列，所以对 任意的 n∈N*,a+2am+1=2aa+1,所以a+2=2a,所 以数列{a,}的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等 比数列.又a?=1,a?=3,所以S?o=(a?+a?+⋯+ag) +(a?+a?+⋯+ao)=1-2+34-2)=31+3×31 =124. 11.解析 a?+a?=a?(1+q3)=18,a?+a?=a?(q+q2)= 12,两式联立解得q=2或去，而q为整数，所以q=2, s.=2(4=2)=510.a?=2,代入公式求得 答案 510 12.解析 由a=2,a?+a?=5,{a,}是递减的等比数列， 得a?=4,a。=1,a,=4×(1)-,则a?a?+a,a+⋯十 a,a,+1是首项为8、公比为 的等比数列的前 n项和. 故q?a?+a?ag+⋯+a,a+=8+2+2+⋯+8× ()--G)--() a.=4×(1)号×[1-(1)]答案 13.解(1)因为2S,=na, 当 n=1时，2a?=a?,即a?=0; 当 n=3时，2(1+a?)=3a?,即a?=2; 当n≥2时，2S,_1=(n-1)a_1, 所以2(S,-S。-1)=na,-(n-1)a。-1=2a,, 化简得(n-2)a=(n-1)a1; n-1=n=2=⋯=2=1,即a?=n-1,当 n≥3时， 当 n=1,2,3时都满足上式，所以a=n-1(n∈N). 2+1=2,(2)因为 T=1×(1)+2×(1)2+3×(主)+⋯+n所以 ×(1)”, T.=1×(1)+2×(1)+⋯+(n-1)×(1)” +n×(1)#, 两式相减得 T=(1)+(2)+(1)+⋯+(1)”-n ×(1) -6门(” =1-(1+2)(去)”, 即T?=2-(2+n(去),neN*. 56 创新练素能培优 14.解(1)设等比数列{a}的公比为q(q≠0), 则a=q”?1.又因为a?,3az,9a?成等差数列， q=3,所以2×3a?=a?+9ag,即6q=1+9q2,解得 a.=(3),b.=营·(3)1=3所以 (2)证明：由(1)得 T.=g+3+⋯+, ① 言T=g+3+⋯+”-1+", ② 3T.=g+3+1+⋯+1-3①-②可得 一) =1-2.3-”, T=4-433-2”=3-4.+3所以 4.33-4.3=4-3->0,所以4.+3>43,因为 所以-4.+3<-43,所以4-423<4-433, 即T,<4-433-2. 训练十 等比数列前 n项和的综合应用 基础练巩固应用 1.A 由题意可知，今年年末的总产值为1.la,从今年起 每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a,公 s?=1.1q1-1.1)=11比为1.1.所以其前5项和为 ×(1.1?-1)a亿元，故选 A. 2.BC ∵在等差数列{a}中，ag,a4,ag成等比数列，∴(a? +3d)2=(a?+2d)(a?+7d)>a?=-5d,∴S?=2(a +a)=2(q?+a?+3d)=-2a,:a?d=-5d<0, ds?=-3a<0, 选BC. 3.C ∵am=za+1,.2*a.=2a,+2,即2+1,- 2”a=2.又2'a?=2,∴数列{2"a,}是以2为首项，2为公差 的等差数列，∴2a,=2+(n-1)×2=2mn,:a,=2” 4.B 设a,表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意 a,=3a-(n≥2,n∈N*),a?=30,所以前n分钟可得 1-(3)30× 热气球 上升的总 高 度 S,= 1-3 s+-S,=90(号)"-90(3)90[1-(3)"].因为 =90(3)"(1-号)>0,所以数列{S,}为单调递增数 S。=90[1-(3)]~63.3<70,S=90[1-列.又 (3)]≈72.2>70, ,所以该气球至少要经过4分钟才 能上升到70米高度.故选B. 5.解析 设等比数列{a,}的前 2n项中奇数项的和、偶数 (s-S=240项的和分别为 Sg,S腐.由题意得 ∴SA=-80,SA=-160,∴a=5==-180=2. 答案 2 6.解析 当a?=3时，不合题意；当a?=2时，当且仅当a? =6,a?=18时，符合题意；当a?=10时，不合题意，因此 a?=2,a?=6,a?=18,所以公比q=3,故a=2×3°-1. 答案 a=2×3"-1 7.解(1)设{a}的公差为d.因为a?+a?=5ln 2, 所以2a?+3d=51n 2. 又a?=In 2,所以d=In 2. 所以a,=a?+(n-1)d=nln 2. e=e2=2,二=e°-=e2=2(2)因为 所以数列{e"}是首项为2,公比为2的等比数列， 所以e?+e+⋯+e?=2×(-2 =2(2”—1)=2"+1-2. 能力练迁移运用 8.B 因为a+1=S,+1-S,所以由 S,=2am+1,得S,= 以s1=3,2(Sn+1-S,),整理得3S,=2S,+1,所 所以数 ,3列{S,}是以S?=a?=1为首项 为公比的等比数列， 故s,=(2). 9.C 根据题意得a?=S?=4a+b-1,a?=S?-S?=4a,a? =S?-S?=8a, 则有(4a)2=(4a+b-1)×8a,变形可得2a+b=1, 则4°+22=4°+21*=4+2≥2√4×2=2√2, 当且仅当2a=b时等号成立， 即4“+2°的最小值为2√2.故选C. 10.ABD 由S+1=S,+2a+1可得an+1=2a,+1, 两边同时加1,得aa+1+1=2a,+1+1=2(a+1). a?+1=1+1=2,∴数列{a+1}是以2为首项，2为 公比的等比数列，∴a+1=2·2”-1=2”,∴a=2”—1, n∈N*,故 A,B正确； S=a?+a?+⋯+a=(21-1)+(22-1)十⋯+(2"一 1)=(21+22+⋯+2”)-n=2-2-n=2+1-n-2, 故C错误； ?a=(z-1)(2*-1=z-1-2-1, T.=2a+a2+⋯+a?a=2-1-22-1+ 57