训练8 等比数列的性质及应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

7.解 (1)证明：由aa+2=2aa+1+3a?,得aa+2+a+1= 3aa+1+3a=3(an+1+a).因为数列{a,}的各项都为正 数，所以a?+a?>0,所以数列{a,+a,+1}是公比为 3的 等比数列。 (2)由(1)得aa+2+am+1=3(a+1+a),整理得an+2一 3am+1=—(an+1-3a,).又a?-3a?=0,所以am+1-3a,= a?=20,所以an+1=3a,,所以数列{a,}是以 为首项，3 为公比的等比数列，所以数列{a,}的通项公式为a =2. 能力练迁移运用 8.解析 因为数列{log?a}是以-2为公差的等差数列， 则 loga?-loga。=log:“=-2,所以 a=32= ,所以数列(a)是首项为3,公比为言的等比数列，因 此a?=3×(1)2=2 2答案 9.C 等式两边同时加1,得a,+1+1=3(a+1),所以数列{a +1}是以a?+1=2为首项，q=3为公比的等比数列，所以 a+1=2·3"-1,所以a=2·3"1-1. 4,公差为士10.C 第一列构成首项为 的等差数列，所以 a=4+(5-1)×1=5.又因为从第三行起每一行 数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行 4,公比为云 a=5×构成首项为 的等比数列，所 (2)=6 ,a,ag.a·a11.解析 依题意设原来的三个数依次为 ·aq=512,∴a=8.又第一个数与第三个数各减去2后 的三个数成等差数列，∴(a-2)+(aq-2)=2a, q=2,∴原来的三个数∴2q2-5q+2=0,∴q=2或 为4,8,16或 16,8,4.∵4+8+16=16+8+4=28, ∴原来的三个数的和等于28. 答案 28 12.D 由互不相等的实数 a,b,c构成等差数列，得2b=a +c.因为a+3b+c=10,所以5b=10,即b=2,a+c= 4.又a是b与c的等比中项，所以a2=bc,即a2=2c.将 c=4-a代入，得a=—4或a=2(舍去).故选D. 13.解(1)设{a,}的公比为q(q>0). a,=qq=4,2s+a=由题意得 a=a?a?g=16,所以 a+a=a=g, 所以q=,a?=1024, 所以a,=aq?1=1024×(去)?=2- (2)T,=a?a?⋯a=210+?+8+m+(11-=2~. y=21-x)a=-2x2+2二次函数 的图象的对称 轴为直线a=2, 故当 n=10或 n=11 时，T,取得最大值，且最大值 为2?. 创新练素能培优 14.解 若选择①: a?=2,a?+a?=14, 根据题意b=a+1-2n, 则b?=a?+1-2=1,b?+b?=a?-3+a?-5=6, ∴b?+b?=q+q2=6.又q>1,解得q=2, ∴b=2"-1. 若选择②: a?+a?=7,a?=9, 根据题意b,=a,+1-2n, 则b?+b?=a?-1+a?-3=3,b?=a?-5=4, ∴b?+b?=4+4=3.又q>1,解得q=2,∴b?=1, ∴b=2”-1. 若选择③: a?+a?=11,a?=5, 根据题意b,=a,+1-2n, 则b?=a?-3=2,b?+b?=a?-1+a?-5=5, ∴b?+b=2+2q=5.又q>1,解得q=2,∴b?=1, ∴b=2"-1. 训练八 等比数列的性质及应用 基础练巩固应用 1.D 设等比数列{a,}的公比为q.当k=0时，ka,=0,数 列{ka,}不是等比数列；当q=-1时，a+am+1=0,数列 {a,+am+1}不是等比数列；当a,=-1 时，a+1=0,数 列{a+1}不是等比数列.因为a,+a+1+a+2=a(1+q 以+a,a=(a.,+a+ad9=+q2)≠0,所 q.由等比数列的定义可知，数列{an+am+1+am+2}是等 比数列。故选 D. 2.D 由等比数列的性质可得a:·a=a?·a=8,所以 +a+1+1=2td+ataa+a+a,+a-8 =5.故选D. 3.A 设“衰分比”为a(a>0),甲衰分得b石，由题意得-,二,故选 A. 4.A 因为A,=a?a?ag⋯a?=a;,B?=b?b?b?⋯b?=bs, 所以=()°=512. 54 (a-3)=36,5.解析 设此三数为3,a,b,则 (o=3或(b=25.解得 所以这个未知数为3或27. 答案 3或 27 6.解析 由题意及等比数列的性质得a?a?a?aa-2a,_1a= (a?a,)3=8,即a?a=2,则a?·a?·a?·⋯·a=64=2 =(a?an)?,故数列{a,}有12项. 答案 12 7.解(1)设等比数列{a,}的公比为q,依题意得a,>0,则 q>0. 由a?=27,且a?+6a?=a?a?, 得a?q3+6a?q2=a?q,即q2+6q-27=0, 解得q=-9(舍去)或q=3, 所以数列{a,}的通项公式为a,=27×3”-2=3°+1(n∈N*). (2)由(1)得b=2log?a=2log?3"+1=2(n+1), 则ba+1-b,=2(n+2)-2(n+1)=2. 由等差数列的定义知，数列{b,}是首项为b?=2×2=4, 公差为2的等差数列， 则s=n(b,+b.)=m(4+2n+2)=2+3n. 由S≥270,得n2+3n-270≥0, 解得n≤-18(舍去)或 n≥15(n∈N*), 故使得S≥270成立的正整数 n的最小值为15. 能力练迁移运用 8.BD 已知正项等比数列{a,}的公比为q(q>0),则a= a?q”-1.由a?a?ag=4,a?asa?=12,得a3=4,a3=12,B正 确；而a?=a?q3,于是(a?q3)3=12,即q?=3,A错误；而 a?=√12,则aqa?=a2=2 √18,C错误；由a,+1a,+2a+3 =324,得aa+2=324,即(a?q")3=324.因为a2=4,所以 q"=81=3?=(q2)?=q3,显然q>1,所以3n=36,解得 n=12,D正确。故选BD. 9.A 因为{a,}是等比数列，所以a?aga=a?=-3√3,所 以ag=-√3,所以a?ag=a2=3.因为{b,}是等差数列， b=7,所以b?+b?+b?=3b?=7π,所以 所以b?+b?= 所以b+b6g=-s,,所以tanr-+6=2b。=14x tan(-3g)=-tang=-√3. 10.AC 设等比数列(a.)的公比为q.对于A,fa)- =2,,是常数，故A符合条件；对于B,fa)= 2=2-,不一定是常数，故B不符合条件；对于C, fa)-va-√2|=√g ,是常数，故C 于D,a)-m,不一定是常数，符合条件；对 故D不符合条件.故选 AC. 11.解析 由于{a,}是等比数列，∴a?a??=a?a??=a?a?= aqa?=a?ag=a?ag=a},∴a?a?a?⋯a??=(a?)?a?=a?3, 而a?=-2.∴a?a?a?⋯a1?=(-2)1?=-21?. 答案 —213 12.解析 设 n级雪花曲线的边长为a,,则数列{a,}是首 3,公比为言项为 的等比数列，故n级雪花曲线的边长 为a。=g×(3)1=1 设 n级雪花曲线的边数为 b,则数列{b,}是首项为12,公比为4的等比数列，故 n 级雪花曲线的边数为12×4"1,则 n级雪花曲线的周 12×4-1×1=4.长为 答案 13.解(1)证明：因为b=log?a, 所以b+1-b=log?aa+1-log?a =log,1=log?q(q>0)为常数， 所以数列{b}为等差数列且公差d=log?q. (2)因为b?+b?+b?=6, 所以(b?+b?)+b?=2b?+b?=3b?=6,即b?=2. 又因为a?>1,所以b?=log?a?>0, 又因为b?b?b?=0,所以b?=0, (G=41,{即 b+4d=2,解得 因此S,=4n+n(n-12(-1)=9m2”. 又因为d=log?q=-1, 即 所以q=2,b,=Ioga?=4, 即a?=16,所以a=2?-“(n∈N*). 创新练素能培优 14.解 设最初的桃子数为a?,5只猴子分剩的桃子数依 次为a?,ag,a4,as,ag. 由题意得a,+=(a?-1)-号(a,-1)=季a.-号. ① 设a,++x=车(a?+x),即a,+=车a,- x, a.++4=售(a.+4),对照①式，得x=4,即 4所以数列{a+4}是首项为a?+4,公比为 的等比 数列。 所以a?+4=(a?+4)×(告), a。=(a+4)×(专)-4.所以 由于 a?为整数，所以a?+4的最小值为5?, 所以a?的最小值为5?-4=3 121. 即最初至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下ag=4? -4=1 020(个)桃子. 训练九 等比数列的前 n项和 基础练巩固应用 1.A 设等比数列{a,}的公比为q.因为3S?=8a?+5a?, 所以3(a?+a?+a?)=8a?+5a?,所以3a?=5a?+2a?,所 55 AI伴学助手 在线答疑 训练八 等比数列的性质及应用 墨 7.已知各项均为正数的等比数列{a,}中，a? 基础练巩固应用 =27,且 a?+6a?=a?a?. 1.(吉林普通中学调研)已知{a,}是等比数 列，下列数列一定是等比数列的是( ) (1)求数列{a,}的通项公式； (2)设b=2log?an,S,是数列{b,}的前 n项 和，求使得S,≥270成立的正整数 n的最 小值. A.{ka,}(k∈R) B.{a,+an+1} C.{a,+1} D.{a,+am+1+an+2} 2.(湖北襄阳四中期末)已知等比数列{a,}满 足 a?+a?+a?+ag=20,a?·ag=8,则 +a+2+a的值为 ( ) 1a D.5A.20 B.10 C.5 3.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问 题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常 称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如： 甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单 位，递减的比例为40今共有粮m(m> 0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分，已 知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为 164石，则“衰分比”与m的值分别为 ( ) A.20?69 B.80?69 能力练迁移运用 C.40?60 D.60?65 8.(多选)(广东佛山高二期中)在正项等比数 4.两个公比均不为1的等比数列{a,},{b,}, b=2,其前 n项的乘积分别为 A,,B,.若 合=则 ( ) 列{a,}中，公比为 q,已知 a?a?a?= 4, a?a?a?=12,an+1an+2an+3=324,则下列说 法正确的是 ( ) A.q2=3 B.a2=4 A.512 B.32 C.8 D.2 C.a?a?=2√3 D.n=12 5.在3 和一个未知数间填上一个数，使三数 成等差数列，若中间项减去6,成等比数 列，则此未知数是 . 9.已知数列{a,}是等比数列，数列{b,}是等差数列，若a?a?a=-3√3,b?+b?+b??= 7π,则 tan1-ta 的值是 ( )6.在等比数列{an}中，a?a?a?=2,an-2an-1a =4,且a?·a?·a?·⋯·a,=64,则数列 B. c.-2A.一√3 D.√3{a,}有 项. 15 ?高中数学·选择性必修 第二册 10.已知定义在(—,0)U(0,+一)上的函 数 f(x),如果对于任意给定的等比数列 {a,},{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”.下列定义在(—○, 0)U(0,+一)上的四个函数中，是“保等 比数列函数”的为 ( ) A.f(x)=x2 B. f(x)=2 C.f(x)=√x| D.f(x)=1n|x| 11.在等比数列{a,}中，若a?=-2,则数列的 前13项之积等于 12.(江苏常州高二段考)如图是瑞典数学家 科赫在1904年构造的能够描述雪花形状 的图案.图形的作法是：从一个正三角形 开始，把每条边分成三等份，然后以各边 的中间一段为底边分别向外作正三角形， 再去掉底边.反复进行这一过程，就得到 一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(如 图1)的边长为1,把图 2,图 3,图 4 中图 形依次记1级、2 级、3 级雪花曲线，则 n 级雪花曲线的边长为 ,n级雪花 曲线的周长为 图1 图2 图3 图4 13.在等比数列{a,}(n∈N*)中，a?>1,公比 q>0.设 b,=log?an,且b?+b?+b?=6, b?b?b?=0. (1)求证：数列{b,}是等差数列； (2)求{b,}的前 n项和S,及{a,}的通 项an. 创新练 素能培优 14.1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物 理学奖获得者李政道博士，在访问中国科 技大学时，向科大少年班学生提出了一个 “五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发 现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天 清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别 的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相 等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下 的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的 一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚 才发生的事，也把桃子分成相等的五份， 还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一 份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似 情形，也全都照此办理.问：原来至少有多 少个桃子?最后至少有多少个桃子? 16