训练7 等比数列的概念与通项公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

又-1<0,对称轴为n=2,故当n=10或11时，S,取 得最大值，其最大值为55. 能力练迁移运用 8.B 方法一：因为当且仅当 n=8时，S。取得最大值， a.<0所以数列{a,}是递减数列，且 {7+84<0,即-1<a<-8又 a?=7,所以 S,=7n+7(n-1)d,当且仅当n=8时，S。方法二：因为 取得最大值， 63+36<6+284s,<sS.,所以 即 -1<d<-g.解得 9.B 由S2023>S2021>S2022,得a2022=S2022-S2o2i<0, a2023=S2023-S2022>0,即 d=a2023-a2022>0,故 A错 误；因为d>0,且a?o<0,a?o>0,故a,<0时，n的最 大值为2 022,所以S有最小值S2O22,没有最大值，故 B ;sc-4043(a,+a)=4043agm<0,正确，C错误 so= 4045am>0,Sm=4044(a+a)= 2 022(a?o22+a2023),但a?022+a?o23无法确定正负，故 S <0时，n的最大值可能为4043或4 044,故D错误。 10.A 由题意知，0<am=1+√<a,≤1,且a.m+ a.√a,= a.,a=,则am=< a+-2(@-√em),W是=a+a <S1oo=a?+a?+⋯+ao<a?+2(√a?-√a?+√a? -√a?+⋯+√a-√a1o0)=a?+2(√a?-√a1o0)< 3,故选 A. 11.解析 由Sa+1-a>S,+2,得aa+1-a>2,即公差d >2,所以数列{a,}是递增数列.又Vn∈N*,S>Sg,即 仅当 n=8时，S,取得最小值，故只需数列{a,}的前 8 项均为负数，第9项及之后均为正数即可，结合d>2 可知，满足条件的一个数列{a,}的通项公式可以为a =3n-25. 答案 3n-25(答案不唯一) 12.解析 在等差数列{a,}中，a?>0,公差d<0.∵a?= 3a,,∴a?+4d=3(a?+6d),∴a?=—7d,∴S= n(-7d)+2(n-1a=2(n2-15n),∴n=7或8时， S,取得最大值. 答案 7或8 13.解(1)根据题意，每1个月存入金额为x元，到期利息 为x·r·n元；第2个月存入金额为x元，到期利息为x ·r·(n—1)元⋯⋯第 n个月存入金额为x元，到期利息 为xr元.不难看出，这是一个等差数列求和的问题。 各月利息之和为ar(1+2+⋯+n)=n(n+1ra(元), y=mz+(n+1)ra=x而本金为 nx元，则本利和为 [n+”n+1]r](元).① (2)每月初存入500元，月利率为0.28根据①式，本利 和y=500×(36+36×37×0.28?18932.4(元). 创新练素能培优 14.解(1)证明：由云-2-2=0得 2-2==2(m≥2). 又b=,∴b?=1, ∴数列{b,}是首项为1,公差为2的等差数列。 (2)由(1)知b,=2n-1, bh=(2n-1(2n+1)=1(2n-1-2n+I), ∴T,=1(1-3+3- +⋯+2m-1-2n+1) =2(1-2n+1)=2n+1 训练七 等比数列的概念与通项公式 基础练巩固应用 1.C a?和a?的等比中项为士√a?a1=±√4×16= ±8.故选C. 2. ABD ∵数列{a,}对任意 n≥2(n∈N*)都有(a,-a-1 -1)(a-2a_1)=0,∴a,-a-1=1或a,=2a_1,若a -aa-1=1,则数列{a,}是等差数列；若a=2a-1,且a ≠0,则数列{a,}是等比数列，故 A,B正确；由(a-a-1 -1)(a-2aa-1)=0,得不出数列{a,}是非零常数列，故 {a,}不可以既是等差数列又是等比数列，故C错误；当 数列{a,}的各项依次为0,1,2,4,8,16,32,⋯时，满足条 件，但数列{a,}既不是等差数列也不是等比数列，故D 正确。 3.C ∵{a,}中的项必然有正有负，∴q<0.又|ql>1, ∴{|a,l}递增或递减。由此可得{a}的连续四项为 -24,36,-54,81.∴g=-3. 4.C 设等差数列{a,}的公差为d(d≠0),由a?=1,ag,a, a?g成等比数列，得 a2=a?a1g,即(1+6d)2=(1+2d)(1+ d=5或d=0(舍去),即15d),整理得6d2-5d=0,解得 数列{a,}的公差d=5,故选C 5.解析 设等差数列的公差为d,则a?=a?+2d,a?=a?+4d, ∴(a?+2d+3)2=(a?+1)(a?+4d+5),解得d=-1, :9=4+3-a-2+3=1. 答案 1 6.解析 因为数列{a,}的通项公式为a,=3n-1,所以数 列{a,}中的项依次为 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29, 2=3,32,35,⋯显然 ,所以2,8,32 能构成等比数列。 (注：满足题意的三项均可) 答案 2,8,32(答案不唯一) 53 7.解 (1)证明：由aa+2=2aa+1+3a?,得aa+2+a+1= 3aa+1+3a=3(an+1+a).因为数列{a,}的各项都为正 数，所以a?+a?>0,所以数列{a,+a,+1}是公比为 3的 等比数列。 (2)由(1)得aa+2+am+1=3(a+1+a),整理得an+2一 3am+1=—(an+1-3a,).又a?-3a?=0,所以am+1-3a,= a?=20,所以an+1=3a,,所以数列{a,}是以 为首项，3 为公比的等比数列，所以数列{a,}的通项公式为a =2. 能力练迁移运用 8.解析 因为数列{log?a}是以-2为公差的等差数列， 则 loga?-loga。=log:“=-2,所以 a=32= ,所以数列(a)是首项为3,公比为言的等比数列，因 此a?=3×(1)2=2 2答案 9.C 等式两边同时加1,得a,+1+1=3(a+1),所以数列{a +1}是以a?+1=2为首项，q=3为公比的等比数列，所以 a+1=2·3"-1,所以a=2·3"1-1. 4,公差为士10.C 第一列构成首项为 的等差数列，所以 a=4+(5-1)×1=5.又因为从第三行起每一行 数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行 4,公比为云 a=5×构成首项为 的等比数列，所 (2)=6 ,a,ag.a·a11.解析 依题意设原来的三个数依次为 ·aq=512,∴a=8.又第一个数与第三个数各减去2后 的三个数成等差数列，∴(a-2)+(aq-2)=2a, q=2,∴原来的三个数∴2q2-5q+2=0,∴q=2或 为4,8,16或 16,8,4.∵4+8+16=16+8+4=28, ∴原来的三个数的和等于28. 答案 28 12.D 由互不相等的实数 a,b,c构成等差数列，得2b=a +c.因为a+3b+c=10,所以5b=10,即b=2,a+c= 4.又a是b与c的等比中项，所以a2=bc,即a2=2c.将 c=4-a代入，得a=—4或a=2(舍去).故选D. 13.解(1)设{a,}的公比为q(q>0). a,=qq=4,2s+a=由题意得 a=a?a?g=16,所以 a+a=a=g, 所以q=,a?=1024, 所以a,=aq?1=1024×(去)?=2- (2)T,=a?a?⋯a=210+?+8+m+(11-=2~. y=21-x)a=-2x2+2二次函数 的图象的对称 轴为直线a=2, 故当 n=10或 n=11 时，T,取得最大值，且最大值 为2?. 创新练素能培优 14.解 若选择①: a?=2,a?+a?=14, 根据题意b=a+1-2n, 则b?=a?+1-2=1,b?+b?=a?-3+a?-5=6, ∴b?+b?=q+q2=6.又q>1,解得q=2, ∴b=2"-1. 若选择②: a?+a?=7,a?=9, 根据题意b,=a,+1-2n, 则b?+b?=a?-1+a?-3=3,b?=a?-5=4, ∴b?+b?=4+4=3.又q>1,解得q=2,∴b?=1, ∴b=2”-1. 若选择③: a?+a?=11,a?=5, 根据题意b,=a,+1-2n, 则b?=a?-3=2,b?+b?=a?-1+a?-5=5, ∴b?+b=2+2q=5.又q>1,解得q=2,∴b?=1, ∴b=2"-1. 训练八 等比数列的性质及应用 基础练巩固应用 1.D 设等比数列{a,}的公比为q.当k=0时，ka,=0,数 列{ka,}不是等比数列；当q=-1时，a+am+1=0,数列 {a,+am+1}不是等比数列；当a,=-1 时，a+1=0,数 列{a+1}不是等比数列.因为a,+a+1+a+2=a(1+q 以+a,a=(a.,+a+ad9=+q2)≠0,所 q.由等比数列的定义可知，数列{an+am+1+am+2}是等 比数列。故选 D. 2.D 由等比数列的性质可得a:·a=a?·a=8,所以 +a+1+1=2td+ataa+a+a,+a-8 =5.故选D. 3.A 设“衰分比”为a(a>0),甲衰分得b石，由题意得-,二,故选 A. 4.A 因为A,=a?a?ag⋯a?=a;,B?=b?b?b?⋯b?=bs, 所以=()°=512. 54 AI伴学助手 在线答疑 训练七 等比数列的概念与通项公式 基础练巩固应用 a?=2,a=2,(2)若 ,求{a,}的通项公式. 1.(山东临沂三中期末)在等比数列{a,}中， a?=4,a?o=16,则a?和a?o的等比中项为 ( ) A.10 B.8 C.±8 D.±10 2.(多选)(上海师大附中期中)若数列{a,}对 任意 n≥2,n∈N*都有(a,—an-1-1)· (a,-2an-1)=0,则下列说法正确的是 ( ) A.{a,}可以是等差数列 B.{a,}可以是等比数列 C.{a,}可以既是等差数列又是等比数列 D.{a,}可以既不是等差数列又不是等比 数列 3.等比数列{a,}的公比|ql>1,{a,}中有连 续四项在集合{—54,—24,—18,36,81} 中，则q等于 ( ) A.-2 B. c.-2 D.3 4.在公差不为0的等差数列{a,}中，a?=1, 且a?,a?,a16成等比数列，则公差为( ) A.4 B.-5 c.5 D.1 5.数列{a,}是等差数列，若a?+1,a?+3,a?+5 构成公比为q的等比数列，则q= . 6.已知数列{a,}的通项公式为an=3n-1,则 数列{a,}中能构成等比数列的三项可以 为 7.已知各项都为正数的数列{a,}满足an+2= 2a1+3a (1)证明：数列{a,+an+1}为等比数列； 能力练 迁移运用 8.(贵州贵阳模考)已知数列{a,}的首项a?= 3,且数列{log?a,}是以-2 为公差的等差 数列，则a?= 9.在数列{a,}中，已知 a?=1,an+1=3a,+2, 则a= ( ) A.2·3”-1+1 B.3”-1-1 C.2·3”-11 D.2·3”+1 10.如图给出了一个三角形数阵，已知每一列 数成等差数列，从第三行起，每一行数成 等比数列，而且每一行的公比都相等，记 第i行第j列的数为a;(i,j∈N*),则a?3 的值为 ( ) 14 2,4 3,3,36 A.16 B.g c. 56 D.5 13 ?高中数学·选择性必修 第二册 11.已知三个数成等比数列，其积为 512,如 果第一个数与第三个数各减去2,则此时 的三个数成等差数列，则原来的三个数的 和等于 12.若互不相等的实数 a,b,c构成等差数列， 且 a是b与c的等比中项，a+3b+c= 10,则a= ( ) A.4 B.2 C.—2 D.—4 13.(河南南阳六校高二期中)已知正项等比 a?·a6=16,2?数列{a,}满足条件 =8. (1)求{a,}的通项公式； (2)设Tn=a?a?⋯an,求T,的最大值. 创新练 素能培优 14.在①a?=2,a?+a?=14,②a?+a?=7,a? =9,③a?+a?=11,a?=5这三个条件中 任选一个，补充在下面横线上，并解答 问题. 已知等比数列{b,}的公比是q(q>1),b =a,+1-2n,且有 (n∈N*),求 证：b,=2”-1. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一 个解答计分. 14