训练3 等差数列的概念及通项公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

13.解 因为2S,=(n+1)a,,n∈N*, 所以2S,=(n+2)a,,n∈N”, 两式相减得2aa+1=(n+2)aa+1一(n+1)a, 整理得na,+=(n+1)a,即"1=,n∈N*, a} 以n=I=2,所以a。=2n.所以 为常数列.所 创新练素能培优 14.解(1)当 n≥2时， a=a?+(a?-a?)+(ag-a?)+⋯+(a,-a,-1) =1+2+2+2=2(n-1)+1=2n-1. a?=1也符合上式，所以数列{a,}的通项公式是 a=2n-1,n∈N*. (2)当n≥2时，a?=a?·a.⋯=1×1× 3×⋯×”n1=1. a?=1也符合上式， a,=1,nEN*.所以数列{a,}的通项公式是 训练三 等差数列的概念及通项公式 基础练巩固应用 1.C 因为数列{a}满足aa+1-a,=2,所以数列{a,}为等 差数列，且公差为2.又a?=-5,所以a?=-5+(4-1) ×2=1. 2m+n=10,2.B 由题意得 ∴m+n=6,∴m,n的等差 中项为3. 3.D 由已知可得等差数列{a,}的首项为a?=3,公差d= 11-3=8,所以通项公式a=3+8(n-1)=8n-5.由a =67可得8n-5=67,解得 n=9.故选D. d=2023-100=-1,4.D 设等差数列{a,}的公差为d,则 所以a2123=ao+(2 123-100)d=2 023-2 023=0.故 选D. a+号=1,5.解析 由等差中项的定义可得- ,故a+9b= (a+9b)·(a+方)=1+第+96+9≥10+ 2√号·=16( 当且仅当a=4,b=4时取等号). 答案 16 6.解析 设等差数列{a,}的公差为d, a+4d=7,+d+6. (a=23.由题意，得 解得 ∴a,=a?+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1. ∴a?=2×6+1=13. 答案 13 7.解 (1)证 明：∵(am+1一 1)(a,— 1)= 3[(a-1)—(a+1-1)], -1a-1=3,即b+-b?=3. ,3又∵a?=2,∴b?=1,∴{b,}是以1为首项 为公差的 等差数列. (2)由(1)得b?=1+g(n-1)=”32, ∴a-1=n+2,∴a。=n+5 能力练迁移运用 8.B 设数列{a,}的公差为d.∵在等差数列{a,}中，a?= d=-19,:a5,a?+a?=0,∴5+3d+5+6d=0,解得 =5-1(n-1)=-1n+55.由a。=-号n+5>0可 得n<,,则数列{a,}中为正数的项的个数为5.故选B. 9.A 第i行第j列的数为ay,则{a?,}是以2为首项，1为 公差的等差数列，所以a,,=2+(j-1)×1=1+j,所以 {a,}是以j+1为首项，j为公差的等差数列，所以a,= j+1+(i-1)j=ij+1.令ij+1=41,得ij=40=1×40 =2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2=40× 1,所以41共出现了8次.故选 A. 10.ABCD 根据等方差数列的定义易知 A 正确；因为 (-1)2m—(-1)2(m-1)=0,所以数列{(-1)”}是等方差 数列，B正确；若数列{a}既是等方差数列，又是等差 数列，设公差为d,则a2-a2-1=(a,—aa-1)(a+an-1) =d[2a?+(2n—3)d]=2a?d+(2n-3)d2= p.又 p为 常数，所以d=0,C正确；若数列{a,}是等方差数列，则 a2—a21= p,a2—an-1)=(a2—a-1)+(a2-1一 am-2)+(a-2-am-3)+⋯+(am-k+1-a扁一k)=kp为 常数，D正确。 11.解析 ∵{a,}是等差数列，∴a+1-a,=常数∴[a(n +1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.∴2a =0,∴a=0. 答案 0 令b=a+ b=a+1=言，b,=12.解析 ,由题设，知 a,+1=2,且{b,}为等差数列。设{b,}的公差为d,则-所以 bu=b+10d= 3.又bu=a+,,所以a?=2. 2答案 ,方，c成等差数列，2=a+1,13.证明： 2=ate,即 2ac=b(a+c). (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2 ×2ac=a2+c2+2ac—4ac=(a—c)2. ∵a+c,a+c-2b,a—c均为正数，上式左右两边同时 取对数得，1g[(a+c)(a+c-2b)]=1g(a—c)2, 即lg(a+c)+1g(a+c-2b)=21g(a—c), ∴Ig(a+c),lg(a—c),lg(a+c—2b)成等差数列。 49 创新练素能培优 14.解(1)由于a+1=(n2+n—λ)a,(n=1,2,⋯), 且a?=1. 所以当a?=-1时，得-1=2—λ,故λ=3. 从而a?=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{a,}不可能为等差数列，理由如下： 由a?=1,an+1=(n2+n-λ)a, 得a?=2—λ,a?=(6—λ)(2—λ), a?=(12—λ)(6—λ)(2一λ). 若存在λ,使{a。}为等差数列，则a?-a?=a?-a, 即(5—λ)(2—λ)=1-λ,∴λ2-6λ+9=0, 解得λ=3.于是a?-a?=1—λ=-2, a?-a?=(11—λ)(6一λ)(2一λ)=-24. 这与{a}为等差数列矛盾.所以不存在λ使{a,}是等差 数列。 训练四 等差数列的性质 基础练巩固应用 1.C 设公差为d,则(ag+a?+⋯+a1)-(a?+a?+⋯+ a?)=(a?-a?)+(a?-a?)十⋯+(a?-as)=5d+5d+ 5d+5d+5d=25d=80-30=50,所以d=2,所以a+ a??+⋯+a?=(a?+5d)+(a?+5d)+⋯+(a?+5d) =(ag+a?+⋯+a?0)+25d=80+25×2=130. 2.A 因为a?+a?+a??+a??=4ag=32,所以ag=8,即m =8. 3.B 设所构成的等差数列{a,}的首项为a?,公差为d,则 a+a+a=4-33a+2l4-4.有 解得 则a?=a?+4d=6, 升故第 5节的容积 4.BCD 数列-1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不 是等差数列，A不成立.若{a,}是等差数列，利用等差数 列的定义，{am+1-a,}为常数列，故是等差数列，B成立. 若{a}的公差为 d,则(pa,+q)一(pan_1+q)= p(a-an_1)=pd为常数，故{pa+q}是等差数列，C成 立.(2a,+n)—(2a-1+n-1)=2(a,—aa-1)+1=2d+ 1,故{2a+n}是等差数列，D成立。故选BCD. 5.解析 设这三个数为a-d,a,a+d, a-4to+a+(a+0)=59 (a=4(a=3-4.解得 则 所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1. 所以这三个数的积为-21. 答案 -21 6.解析 设数列{a,}的公差为d,因为a?+a?+a?=3a,= a,=17.因为a?+a?+a?+⋯+a??+a??+a?=17,所 d=3,lla?=77,所以a?=7,所以 所以 a,—a?=(k一 9)d,即13-7=(k-9)×3,解得k=18. 答案 18 7.解(1)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, (-0a+3a0+18-(a-afa+d3.0°-94则 a=±2,a又该数列是递增数列，所以 d>0,所以 =2, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. (2)设等差数列{a,}的公差为d, 则其前三项分别为a?,a?+d,a?+2d, 4+)(4+20=23-,1,则 (a=3(a=-4.解得 (a=43,因为数列{a}为递增数列，所以 所以数列{a,}的通项公式为am=4n-1. 能力练迁移运用 8.C ∵ag+2a?+a?=(a?+a??)+2a?=2ag+2a?=20, Aa,+a?=10.又∵a?>0,a?>0,∴a;u≤(a?2a)2= ()=25,,当且仅当a?=a?=5时，等号成立。故选C. 9.C 设方程的四个根a?,a?,a?,a?依次成等差数列，则 a?+a?=a?+a?=2,再设此等差数列的公差为d,则2a? +3d=2,*a=4,∴d=2,:a?=4+2=4,a?= 4+1=5,a?=4+2=4,∴Im-n|=Iaa,-a?asI =4×4-3×5|=2. 10.B 设该高阶等差数列的第 8项为x,根据所给定义， 用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的 新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得 到了一个等差数列，如图： 15 27 45 71 107 186 8 12 26 36 2 4 6 8 10 12 2-307=2, y=48.由图可得 解得 故选 B. 11.解析 在等差数列{a,}中，a?+a?=4,所以a?+a?o= a?+a?=a?+ag=a?+a?=a?+a?=4,所以a?+a?+⋯ +a?=(a?+a??)+(a?+ag)+(a?+ag)+(a?+a,)+ (a?+ag)=5(a?+ag)=20,则log?(2°·2?·⋯·2“) =log?22+a+⋯+40=a?+a?+⋯+a??=20. 答案 20 {b} --12.解析 由数列 为“调和数列”可得- -b=d(n∈N*,d为常数), ∴数列{b,}是公差为d的等差数列。 ∵b?+b?+⋯+b?2=20 200,且b?+b2020=b?+b?01= b?+b?018=⋯=b?00+b1011, ∴1010(b?+b?o1g)=20 200,∴b?+b?1g=20. 又b?>0,b?019>0, 50 AI伴学助手 在线答疑 训练三 等差数列的概念及通项公式 墨 基础练巩固应用 能力练 迁移运用 1.(浙江钱塘联盟高二期中)已知数列{a,}满 足an+1—a,=2,a?=—5,则a?=( ) A.—3 B.—1 C.1 D.3 2.已知 m和 2n的等差中项是 4,2m和 n的 等差中项是5,则m和 n的等差中项是 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 3.67是等差数列3,11,19,27,⋯的第( ) A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 4.(黑龙江大庆铁人中学高二期中)已知数列 {a,}为等差数列，且满足a10=2 023,a2023 =100,则a?123的值为 ( ) A.2 033 B.2123 C.123 D.0 a,2,方5.已知 a>0,b>0,并且 成等差数 列，则 a+9b的最小值为 . 6.在等差数列{a,}中，a?=7,a?=a?+6,则a?= 7.已知数列{a,}满足(an+1-1)(a,-1)= 3(aa,+1),a?=2,b。=a=1 (1)证明：数列{b,}是等差数列； (2)求数列{a,}的通项公式. 8.在等差数列{a,}中，a?=5,a?+a?=0,则 数列{a,}中为正数的项的个数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 9.(江苏南通调考)某同学研究下列数表时， 发现其特点是每行每列都成等差数列，在 表中，数 41出现的次数为 ( ) 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 A.8 B.9 C.10 D.11 10.(多选)在数列{a,}中，若a2—a2-1=p(n ≥2,n∈N*,p为常数),则称{a,}为等方 差数列，下列对等方差数列的判断正确的 有 ( ) A.若{a,}是等方差数列，则{a2}是等差 数列 B.数列{(一1)”}是等方差数列 C.若数列{a,}既是等方差数列，又是等 差数列，则数列{a,}一定是常数列 D.若数列{a,}是等方差数列，则数列 {am}(k∈N*,k为常数)也是等方差 数列 11.数列{a,}是等差数列，且a,=an2+n,则 实数a= 5 ?高中数学·选择性必修 第二册 12.已知数列{a,}中，a?=2,a?=1,且数列 a,+1是等差数列，则a= 1,1,113.已知 成等差数列，并且 a+c, a—c,a+c—2b均为正数，求证：lg(a+ c),lg(a—c),1g(a+c—2b)也成等差 数列. 创新练 素能培优 14.数列{a,}满足 a?=1,an+1=(n2+n—λ) a,(n=1,2,⋯),λ是常数. (1)当a?=-1时，求λ及a?的值； (2)是否存在实数λ使数列{a,}为等差数 列?若存在，求出λ及数列{a,}的通项 公式；若不存在，请说明理由. 6