5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

【随堂巩固促应用】 1.AB 函数 f(x)的定义域为R,且f'(x)=x2—2x-3= (x+1)(x-3).当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如 下表： x (一0,-1) -1 (-1,3) 3 (3,十一) f(x) 十 0 0 十 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数 f(x)有两个极值点-1,3,函数 f(x)在x= -1处取极大值f(-1)=8,-] 为极大值点，在x=3 处取极小值f(3)=-8,3为极小值点。故选 AB. 2.BD 对于 A,函数 y=x在R上单调递增， y=-1在(-0,0)和(0,+c0)上单调递增， 所以函数y=x-1在(-0,0)和(0,+0)上单调递 增，没有极值点； 对于 B,函数 y=22为偶函数， 且当x≥0时 y=2=单调递增， 所以当x<0时，y=21#1单调递减， 所以函数y=2@在x=0处取得极小值； 对于C,函数 y=-2x3—x在R上单调递减，没有极 值点： 对于 D,函数y=xln x,则y'=In x+1(x>0), 当a∈(0,1)时，y'<0,函数y=alna单调递减， 当x∈(言，+一)时，y'>0,函数 y=xln x单调递增， 所以当x=e时，函数y=xln x取得极小值.故选BD. 3.C 由题意得f(x)=e1—2x-2,令f(x)=0,得e2=2 (x+1),令g(x)=e2,h(x)=2(x+1),在同一坐标系内 作出两函数的图象，如图所示， 3 g(x)=e* 0 h(x)=2(x+1) 由图象可知，函数 g(x)与h(x)的图象有两个交点，则 方程e?=2(x+1)有两个不同的根，故 f'(x)=0有两个 不同的根，且两个根左右的单调性不同.由极值点的定 义可知，函数f(x)有两个极值点。故选C. 4.解(1)易得f(x)=[ax2—(2a+1)x+2]e*, 由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率 为0, 故f'(1)=(a-2a-1+2)e=0, 解得a=1. (2)f'(x)=[ax2—(2a+1)x+2]e2=(x-2)·(ax— 1)e2. ①当a<0时，1<2,此时f(x)在(1,2)上 单调递增， 在(2,+),(-,!)上单调递减， 故f(x)在x=2处取得极大值，不符合题意； ②当a=0时，f(x)=—(x-2)e”, 若x<2,则f(x)>0,f(x)单调递增， 若x>2,则f'(x)<0,f(x)单调递减， 故 f(x)在x=2处取得极大值，不符合题意； ③当0<a<会时，1>2, 此时f(x)在(2,1)上单调递减， 在(!,+o),(-o,2)上单调递增， 故 f(x)在x=2处取得极大值，不符合题意； ④当a=2时，f(x)=2(x-2)2e≥0, f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； ⑤当a>会时，1<2,此时 f(x)在(1,2)上单调 递减， 在(2,+co),(-,1)上单调递增， 故 f(x)在x=2处取得极小值，符合题意. (2,+o).综上可得，a的取值范围是 第 2课时 函数的最大(小)值 【自主学习探新知】 知识点 1.一条连续不断 2.(1)(a,b)(2)各极值 f(a),f(b) 最大 最小 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)因为f(x)=2x3-12x, 所以f(x)=6x2-12=6(x+√2)(x-√2), 令f'(x)=0, 解得x=-√2或x=√2 当x∈[-2,3]时，f(x),f(x)变化如下表 x -2 (-2, -√2) (一√2. -√2 √2) √2 (√2,3) 3 f(x) 十 0 0 十 f(x) 8 极大值 8√2 极小值 -8√2 18 所以当x=√2时，f(x)取得最小值一8√2; 当x=3时，f(x)取得最大值18. (2)f(x)=2+cos x,令f(m)=0, a=3π或x=4π.又 x∈[0,2π],解得 c 0 (0, 23 23 受喻 43 (4, 2π2π) 32f(x) 十 0 0 十 32 f(x) 0 3+ s-5 π 所以当x=0时，f(x)有最小值，f(0)=0; 当x=2π时，f(x)有最大值，f(2π)=π. 31 [跟踪训练] 1.解 f(w)=1+a-2x, 令f(x)=0,即1+x-2x=0, 得x=-2或x=1. 又∵x+1>0,即x>-1,∴x=-2舍去. 当∈[0,2]时，f(x),f(x)变化情况如下表： x 0 (0,1) (1,2) 2 f'(x) 十 0 f(x) 0 极大值 In2-4 In 3-1 2该函数在区间[0,2]上的最大值为1n2-4,最小值为0. 探究二 [例2] [解](1)∵f(x)=(ax-2)e,∴f(x)=ae?+(ax -2)e"=(ax+a-2)e". 由已知得f'(1)=0,即(2a-2)e=0,解得a=1. 当a=1时，f(x)在x=1处取得极小值，所以a=1. (2)由(1)得f(x)=(x—2)e*, 则f(x)=e“+(x-2)e”=(x—1)e". 令f(x)>0得x>1,令f(x)<0得x<1, 所以函数 f(x)在(-o,1)上单调递减，在(1,十)上单调 递增。 ①当m≥1时，f(x)在[m,m+1]上单调递增， f(x)=f(m)=(m-2)e; ②当0<m<1时，m<1<m+1,f(x)在[m,1]上单调递减， 在(1,m+1)上单调递增， f(x)=f(1)=—e; ③当m≤0时，m+1≤1,f(x)在[m,m+1]上单调递减， f(x)=f(m+1)=(m—1)e"+1. 综上，f(x)在[m,m+1]上的最小值r- [跟踪训练] 2.解(1)因为a=1,所以g(x)=In x+x2-3x, 所以g(x)=1+2x-3=2m2-3x+1. 因为x∈[1,e],所以g'(x)≥0, 所以g(x)在[1,e]上单调递增， 所以g(x)=g(e)=e2-3e+1. (2)g(x)的定义域为(0,+0), g(a)=a+2z-(a+2)=222-(a+2)a+ta =(2a-a)(a-1). ①当2≤1,即a≤2时，g(x)在[1,e]上单调递增， h(a)=g(1)=-a-1; [1)上②当1<2<e,即2<a<2e时，g(x)在 单调递 减，在(号，)上单调递增， ha)=g(号)=ang-4a2-a; ③当2≥e,即a≥2e时，g(x)在[1,e]上单调递减，h(a)= g(e)=(1—e)a+e2-2e 探究三 [例3] [解] 存在.依题意，显然a≠0,f(x)=3ax2-12ax =3ax(x-4). 令f(x)=0,解得x?=0,x?=4(舍去)。 ①若a>0,则当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 十 0 f(x) —7a+b 极大值 —16a+b 所以当x=0时，f(x)取得最大值， 所以 f(0)=b=3. 因为f(2)=—16a+3,f(-1)=—7a+3, 所以f(一1)>f(2), 所以当x=2时，f(x)取得最小值， 即—16a+3=-29,解得a=2. ②若a<0,则当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 十 f(x) —7a+b 极小值 —16a+b 所以当x=0时，f(x)取得最小值， 所以f(0)=b=—29. 因为 f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29, 所以f(2)>f(一1),所以当x=2时，f(x)取得最大值. 即—16a-29=3,解得a=-2. 综上所述，存在符合条件的a,b,且a=2,b=3或a=-2,b =-29. [跟踪训练] 3.解析(1)由题意得f(x)=e2+3x2+a-3, 易知f(x)在区间(0,1)上单调递增， 若f(x)在区间(0,1)上有最小值， (a)>8,(e-a>0则 解得-e<a<2. 这时存在x?∈(0,1),使得f(x)在(0,x?)上单调递减，在 (x。,1)上单调递增， 即函数 f(x)在(0,1)上有极小值，也是最小值， 所以a的取值范围是(-e,2)。故选A. (2)易得f(x)=3x2+6x-9. 令f(x)=3x2+6x-9=0, 得x=-3或x=1, 所以当x∈(-0,-3)U(1,+一)时，f(x)>0, 当x∈(-3,1)时，f(x)<0, 所以函数 f(x)在(-oo,-3)和(1,+0)上单调递增，在 (-3,1)上单调递减， 所以当x∈(-c,1)时，f(x)mx=f(-3)=28; 当x∈[1,2]时，f(x)m=f(2)=3, 所以若f(x)在区间(k,2)上的最大值为28, 则实数k的取值范围为k<-3.故选 A. 答案(1)A (2)A 探究四 [例4] [解](1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, 32 得f(x)=3x2+2ax+b, 因为f(1)=3+2a+b=0, f(-3)=4-4a+b=0,解得a=-1,b=-2, 所以f(x)=3x2—x-2=(3x+2)(x—1), 令f(x)=0,解得x=--或x=1, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表： x (-,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+0) f(x) 十 0 0 十 f(x) 极大值 极小 值 (-o,-3)所以函数 f(x)的单调递增区间为 和(1, (-3,1).十);单调递减区间为 (2)由(1)知，f(x)=a3-2a2-2c+c,xe[-1,2], 当x=-3时，(-3)=2+c为极大值， 因为 f(2)=2+c,所以 f(2)=2+c为最大值。 要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立，只需c2>f(2)=2+c, 解得c<-1或c>2.故c的取值范围为(一0,-1)U (2,+0). [跟踪训练] 4.解(1)当a=1时，f(x)=x3-3x2,x∈R,则f(x)= 3x2—6x. 由f'(x)>0,得x<0或x>2, 由f'(x)<0,得0<x<2, 所以f(x)的单调递增区间为(-0,0),(2,+一);单调 递减区间为(0,2). (2)依题意，对任意的x∈[1,3],f(x)+f(x)=ax3— 3x2+3ax2-6x≤0恒成立， a≤32+36-3+36这等价于不等式 对任意的x∈ [1,3]恒成立. 令h(a)=3+6(aE[1,3]), 则h(m)=-3a2+43z+6)=-3[(a+232+2<0, 所以h(x)在区间[1,3]上单调递减， h(3)=6,所以h(x)的最小值为 所以a≤5, [-,6].,即实数a的取值范围是 【随堂巩固促应用】 1.B 令f(x)=e”—x-a,则f(x)>0恒成立，∴f(x)in >0.∵f(x)=e?-1,∴当x∈(-0,0)时，f(x)<0; 当x∈(0,+○)时，f'(x)>0,∴f(x)在(-0,0)上单 调递减，在(0,+0)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=1 -a>0,解得a<1,即实数a的取值范围为(-o,1)。故 选B. 2.解(1)f(x)=In x+3.令In x+3=0,解得 x=e-. 当x>e?3时，f'(x)>0;当0<x<e-3时，f'(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间为(e-3,+○),单调递减区间 为(0.e3) (2)证明：要证 f(x)<g(x), In x-1+2<e2.即证xln x+2x<xe?+1,即证 令函数h(z)=In a-1+2-2x,z>0, 则h(m)=1+1-2=-2a2+a+1. 令-2a2+a+1=0, 解得x=-一或x=1. 当x>1时，h'(x)<0; 当0<x<1时，h'(x)>0, 所以h(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为 (1,+一), 则h(x)≤h(1)=-1<0, 所以In x-1+2<2x. 令函数 u(x)=e?—2x,x>0, 则 v(x)=e?—2 当x>In 2时，u'(x)>0; 当0<x<In 2时，u'(x)<0, 所以 u(x)的单调递增区间为(In 2,十0),单调递减区 间为(0,In 2), 则u(x)≥u(In 2)=2-2In 2>0, 所以e2>2x, 故Ina-1+2<e2, 即当x∈(0,+一)时，f(x)<g(x)得证. 专题3 利用导数研究函数的零点 题型一 1.B f(x)=e2+ze-1-1=e(x+1)-z+1=(z+ 1)(e-1)=(a+1)(ae-1).令h(x)=ae2-1,x∈ (0,+一),则 h(x)= e2+ xe">0,故 h(x)在 (0,+一)上单调递增.因为h(0)=-1<0,h(1)=e-1 >0,所以存在唯一的x?∈(0,1),使得 h(x?)=0,即 xoe-1=0,即e?=1,?=-In x。,所以当O<a<a。 时，h(x)<0,f(x)<0,f(x)单调递减；当x>x。时， h(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)= f(x?)=x?e3—x?-1n x?-1=1-x+x?-1=0,所以 函数f(x)=xe—x—ln x-1的零点个数为1. 2.解(1)f(x)=x3—3x2+3bx+c, 则f(x)=3x2-6x+3b f(0)=36=0,由题意可得 6=1,解得 即 f(x)=x3-3x2+1,f(x)=3x2—6x. 令f(x)>0,解得x>2或x<0, 故 f(x)在(-o,0),(2,+00)上单调递增，在(0,2)上 单调递减， 则 f(x)在x=0处取得极大值1,即b=0,c=1 符合 题意. 因为 f(1)=-1,f'(1)=-3, 则切点坐标为(1,-1),切线斜率k=-3, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 33 ?高中数学·选择性必修 第二册 规律方法|Ⅱ 已知函数极值求参数的方法步骤 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题 的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0, 极值点两侧的导数值异号. (2)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导函数f'(x); ②由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解 参数。 [注意]求出参数后，一定要验证是否满足题目的 条件。 (3)对可导函数来说，极值点必是导数为0的点. 若函数 y=f(x)在(a,b)上有极值，则f(x)=0在(a, b)上有根；若f(x)在(a,b)上是单调函数，则f(x)在 (a,b)上无极值点。 跟踪训练 3.(1)(四川师大附中高二期中)已知f(x)= 2ln x+ax2—3x在x=2处取得极小值，则 a 的值为 ( ) B. D.-A.2 C.-2 (2)(江苏连云港高二上调研)设函数 f(x) =a+a,,若f(x)的极小值为√e,则a= ( ) A.-2 B. c. D.2 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(多选)(广东东莞高二下月考)已知函数 与x轴平行，求实数 a的值； f(w)=s3-a2-3x+1,则 ( ) (2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的 取值范围. A.f(x)有两个极值点 B.f(x)的极大值点为-1 C.f(x)的极小值为一9 613D.f(x)的极大值为 2.(多选)下列函数中，存在极值点的是( ) A.y=a- B.y=2lxl C.y=—2x3—x D.y=xln x 3.函数 f(x)=e?—x2-2x的极值点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(山东济南黄河双语实验学校月考)设函数 提示、请完成《素能提升训练》训练十九 f(x)=[ax2—(4a+1)x+4a+3]e". (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 AI律学助手 在画答社 第 2 课时 函数的最大(小)值 配套答宴 漂韩缺 [学习任务] 1.理解函数的最值的概念.(难点) 2.了解函数的最值与极值的区别与联系. 3.会用导数求在给定区间上函数的最值.(重点) 66 第五章 一元函数的导数及其应用 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 函数的最大(小)值 1.函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的 条件 一般地，如果在区间[a,b]上函数 y= f(x)的图象是 的曲线，那么它必 有最大值和最小值. 2.求函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与 最小值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在区间 上的极值； (2)将函数 y=f(x)的 与端点处的 函数值 比较，其中 的一个 是最大值， 的一个是最小值. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求不含参函数的最值 [例1] 求下列函数的最值： (1)f(x)=2x3—12x,x∈[-2,3]; (2)f(x)=_a+sin x,x∈[0,2π]. 跟踪训练 1.求函数f(x)=In(1+x)-4a2在区间[0,2] 上的最值. Ⅱ规律方法|Ⅱ 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y= f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，在区间(a,b)内只有一个导数值为0的点，且在这 一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点。 (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出 该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还 是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的 函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小 的就是函数的最小值。 67 ?高中数学·选择性必修 第二册 探究二 求含参函数的最值 [例2] 已知函数 f(x)=(ax—2)e2在x=1 处取得极值. (1)求a的值； (2)求函数 f(x)在[m,m+1]上的最小值. 规律方法|Ⅱ 求解含参函数的最大值和最小值的步骤 (1)求函数的导函数f'(x); (2)求方程f(x)=0的全部实根，同时，根据参数 的范围，判断f(x)=0的根是否在区间[a,b]内； (3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极 小值； (4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求 出函数的最大值、最小值. 跟踪训练 2.已知函数 g(x)=aln x+x2—(a+2)x(a∈R). (1)若 a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最 大值； (2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a). 探究三 已知函数的最值求参数的值或范围 [例3] 已知函数 f(x)=ax3—6ax2+b,则是 否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得 最大值3,最小值-29?若存在，求出a,b的 值；若不存在，请说明理由. 规律方法IⅡ 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导 数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是： (1)求导数f(x),并求极值. (2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比 较，确定函数的最值.若参数的变化影响着函数的单调 性，要对参数进行分类讨论。 (3)利用最值列关于参数的方程(组),解方程(组) 即可. 68 第五章 一元函数的导数及其应用 □跟踪训练 3.(1)已知函数 f(x)=e“+x3+(a-3)x+1 在区间(0,1)上有最小值，则实数 a的取值 范围为 ( ) A.(—e,2) B.(—e,1—e) C.(1,2) D.(—0,1—e) (2)(天津武清三校联考)已知函数f(x)= x3+3x2—9x+1在区间(k,2)上的最大值 ( )为28,则实数 k的值可以是 A.—4 B.—3 C.—2 D.—1 探究四 与最值有关的恒成立问题 [例4] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c在 x=-3与x=1处都取得极值. (1)求 a,b的值及函数f(x)的单调区间； (2)若对x∈[-1,2],不等式 f(x)<c2恒 成立，求c的取值范围. 规律方法|l- 恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式 f(x)<h在区间[m,n]上恒成立， 可先在区间[m,n]上求出函数的最大值f(x)m,只要 h>f(x),则上面的不等式恒成立. (2)要使不等式f(x)>h在区间[m,n]上恒成立， 可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x), 只要f(x)mim>h,则不等式 f(x)>h恒成立. 跟踪训练 4.设a∈R,已知函数 f(x)=ax3—3x2. (1)当a=1时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[1,3],都有f(x)十 f'(x)≤0恒成立，求实数 a的取值范围. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(河南南阳高二月考)若关于x的不等式 e“ 一x—a>0恒成立，则实数 a的取值范围为 ( ) A.(e,十○) B.(—0,1) C.(1,十一) D.(一0,0) 2.已知函数f(x)=xln x+2x,g(x)=xe2 +1. (1)求 f(x)的单调区间； (2)证明：当x∈(0,十一)时，f(x)<g(x). 提示请完成《素能提升训练》训练二十 69