4.4 数学归纳法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

?高中数学·选择性必修 第二册 4.4 数学归纳法 AI伴学助手 在既答 配套答高 全重梳理 查漏补缺 [学习任务] 1.了解数学归纳法的原理.(难点、易混点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n有关的命 题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n=n?(n?∈N*)时命 题成立； (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n?) 时命题成立”为条件，推出“当_ 时命 题也成立.” 只要完成这两个步骤，就可以断定命题 对 的所有正整数 n都成立，这种证 明方法称为数学归纳法. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 用数学归纳法证明等式 [例1] 用数学归纳法证明：1×4+2×7+3 ×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)2(其中 n∈ N*). 规律方法|l- 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键 在于先“看项”,弄清等式两边的构成规律，等式的两边 各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由 n=k 到n=k+1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”,将 n =k+1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形 式———凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得 到结论所需的形式——凑结论. 跟踪训练 1.用数学归纳法证明：1×22+2×32+3×42 +⋯+n(n+1)2=m(n+1)(3n2+11n+ 10),其中 n∈N*. 30 第四章 数 列 探究二 用数学归纳法证明不等式 n+1+[例2](链接教材第 49 页例4)求证： n+2+⋯+3>5(n≥2,n∈N*). 探究三 用数学归纳法证明整除等数学命题 [例 3] 用数学归纳法证明：42n+1+3n+2能被 13 整除，其中 n∈N*. 规律方法Ⅱ--⋯ 用数学归纳法证明整除问题的一般步骤 规律方法l⋯ 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他 方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用 数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要 运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他 方法(如拆、添、并、放、缩),对所要证明的不等式加以 变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 计算 假设 凑假设 计算n取的第一个值no时，命题成立 假设当n=k(k≥n,k∈N)时，命题成立 将n=k+1时，对所得的代数式进行转 化，以假设为公因式提出，然后验证 剩余部分是否满足条件 ?跟踪训练 1+2≤1+2+3+⋯2.用数学归纳法证明： +1<2+n(n∈N*). 跟踪训练 3.证明：当 n∈N*时，f(n)=32n+2—8n—9 能 被64 整除. 31 ?高中数学·选择性必修 第二册 探究四 归纳—猜想—证明 [例4] 已知数列{a,}的首项a?=1,且an+1 =1+a(n=1,2,3,⋯),试猜想出这个数列 的通项公式，并用数学归纳法证明. I规律方法|l “归纳—猜想—证明”的一般步骤 (计算) 根据条件，准确计算出前若干项，这是 归纳、猜想的基础 归纳) (猜想) 通过观察、分析、比较、综合、联想， 猜想出一般的结论 (证明 对一般结论用数学归纳法进行证明 跟踪训练 4.(山西晋城一中期末)已知数列{a,}满足a? =-3,a,=-a,1+2(n≥2,n∈N"). (1)求a?,a?; (2)猜想数列{a,}的通项公式，并用数学归 纳法给出证明. 易错 未应用归纳假设致错警示 [典例] 求证：12-22+32-42+⋯+(2n— 1)2—(2n)2=—n(2n+1)(n∈N*). [错解] 当 n=1时，左边=12—22=—3, 右边=—1×3=—3,等式成立. 假设当 n=k(k∈N*)时，等式成立， 即12—22+32-42+⋯+(2k—1)2—(2k)2 =—k(2k+1). 当 n=k+1时，12-22+32-42+⋯+(2k —1)2—(2k)2+(2k+1)2—(2k+2)2=(12 —22)+(32-42)十⋯+[(2k—1)2—(2k)2] +[(2k+1)2—(2k+2)2]=—1-2—3— 4—⋯—(2k—1)-2k—(2k+1)—(2k+2) =_(2k+2)(2k+2+1)=-(k+1)[2(k+ 1)+1],等式成立. 综上所述，等式对任意 n∈N*都成立. [错解分析] 造成错误的原因在第二步，它 直接求出了当n=k+1时式子的和，而没有 利用“归纳假设”,这是在用数学归纳法证明 时极易犯的错误。 [正解] 当n=1时，左边=12—22=—1× 3=—3,右边=—3,等式成立. 假设当 n=k(k∈N*)时，等式成立，即12— 22+32-42+⋯+(2k—1)2—(2k)2=—k (2k+1). 当 n=k+1时，12-22+32-42+⋯+(2k— 1)2—(2k)2+(2k+1)2—(2k+2)2=—k(2k +1)+(2k+1)2—(2k+2)2=—k(2k+1) 一(4k+3)=—(2k2+5k+3)=—(k+1)[2 (k+1)+1],所以当 n=k+1 时，等式也 成立. 综上所述，等式对任意 n∈N*都成立. |误区警示||-⋯ 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系，即 当 n=k时成立，n=k+1也成立，因此在证明 n=k+1 成立时，要用上归纳假设才能说明“若n=k成立，则有 n=k+1也成立”. 32 第四章 数 列 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.用数学归纳法证明3”≥n3(n≥3,n∈N*), 第一步应验证 ( ) A.当 n=1时，不等式成立 B.当 n=2时，不等式成立 3.(浙江杭州第二中学期末)已知数列{a,}满 足a?=1,an+1+a,an+1—an=0(n∈N*). (1)求a?,a?,a?; (2)试猜想数列{a,}的通项公式，并用数学 归纳法证明. C.当 n=3时，不等式成立 D.当 n=4时，不等式成立 1+1+g+⋯+2-12.用数学归纳法证明1 <n(n∈N*且 n>1),第一步要证明的不等 式是 ,从 n=k到n=k+ 1时，左端增加了 项. 提示请完成《素能提升训练》训练十一 专题1 数列中的奇偶项问题 题型一 等差数列及等比数列中的奇偶项 问题 1.已知等差数列{a,}的公差为4,其项数为偶 数，所有奇数项的和为15,所有偶数项的和 为55,则这个数列的项数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 2.等比数列{a,}的首项为1,项数为偶数，且奇 数项和为85,偶数项和为170,则数列的项 数为 3.已知等差数列{a,}的项数为奇数，且奇数项 和为44,偶数项和为33,则数列的中间项为 ;项数为 . 题型二 已知条件中明确奇偶项问题 4.(全国新课标Ⅱ)已知{a,}为等差数列，bn= a,-6,n为奇数， 记 S,,T,分别为 数列 2a,n为偶数. {a,},{b,}的前 n项和，S?=32,T?=16. (1)求{a,}的通项公式； (2)证明：当 n>5时，T,>S,. 33 同.所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列 {a},其中a?=5 000,q=1+10?.1,S,=30 000.于 是得到50001-1.1=3000 整理，得1.1"=1.6.两边取对数，得nlg 1.1=lg 1.6. n=1g1.6~0.04~5(年).根据提示算得 即大约5年可以使总销售量达到30 000部。 2.解(1)由an+1=2a,+3×2"-1, 得2=2+4,即2-2=4. =2, }是以为首项，4∴数列 为公差的等差数列。 2=2+4×(n-1)=3m-1,(2)由(1)可得 则a。=3m-1·2”=(3n-1)·2-22, 故S=a?+a?+a?+⋯+a,=2×2-1+5×2°+8×21+ ⋯+(3n-1)×2"-2, 2S,=2×2°+5×21+⋯+(3n—4)×2"-2+(3n—1) ×2"-1, 两式相减可得一S,=2×2-1+3×2°+3×21+⋯+3× 2"~2—(3n-1)×2"1 =1+3×(2°+21+⋯+2”-2)—(3n-1)×2”-1 =1+3×41-2)-(3n-1)×2=1=(4-3m)·2=1-2, S,=2-(4-3n)·2”-1. 4.4 数学归纳法 【自主学习探新知】 知识点 n=k+1 从n?开始 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [证明](1)当n=1时，左边=1×4=4,右边=1 ×22=4,左边=右边，等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N”)时等式成立，即1×4+2×7+ 3×10+⋯+k(3k+1)=k(k+1)2. 那么,当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+⋯+k(3k+ 1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+ 1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当 n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立. 「跟踪训练 1.证明(1)当 n=1时，左边=1×22=4, 右边=1×(1+1×(3×12+11×1+10)=4, 所以左边=右边，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，等式成立，即1×22+ 2×32+3×4+⋯+k(k+1)2=(k+1)(3k2+11k+ 10), 那么当n=k+1时， 1×22+2×32+3×42+⋯+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 =ka+1(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2==(+1 (3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=(k+1(k+2)(3k2+ 5k+12k+24)=(k+1(k+2)[3(k+1)2+11(k+1)+ 10].即当 n=k+1时，等式也成立.综上，对任何 n∈ N*,等式都成立. 探究二 [例2] [证明](1)当 n=2时， 左边=3+4+号+?>5,,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N“)时不等式成立， 即+1+k+2+⋯+k>5, 则当 n=k+1时， a+1)+1+k+1)+2+⋯++3++3+2+3k+)= 1+42+⋯++(3+1+3+2+3+34)>6+ (3k+1+3k+2+3k+3-k+1)>?+(3×3k+3- k+1)=6, 所以当n=k+1时不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切 n≥2,n∈N”均成立. [跟踪训练] 2.证明(1)当 n=1时，显然成立。 (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时，命题成立， 即1+e≤1+1+3+⋯+1<1+k, 则当n=k+1时， 1+1+g+⋯+2+2+1+z+2+⋯+2+2>1 +冬+2·2+2=1+去1, 1+2+3+⋯+2+2+1+2+2+⋯+z+2< +k+2·1=2+(k+1), 即当 n=k+1时，命题成立. 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立. 探究三 [例3] [证明](1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被 13整除。 (2)假设当n=k(k∈N*)时，42+1+3k+2能被13 整除， 则当 n=k+1时， 42(A+1)+1+32+3=4+1·42+3*+2·3-42+1·3+42+1. 3=42h+1·13+3·(42k+1+3*+2). ∵4*+1·13能被13 整除，42??+3*+2能被13 整除， ∴当 n=k+1时，42(k+1)+1+3?+3也能被13 整除。 由(1)(2)知，42m+1+3*+2能被13 整除对任何 n∈N*都 成立. [跟踪训练] 3.证明 (1)当n=1时，f(1)=3?-8-9=64,能被 64 整除。 14 (2)假设当n=k(k≥1,k∈N”)时，f(k)=32k+2—8k—9 能被64 整除， 则当 n=k+1时，f(k+1)=32(k+1)+2—8(k+1)-9 =9×32k+2—8k—17=9×(32*+2—8k—9)+64k+64, 故 f(k+1)也能被64 整除. 由(1)(2)可知，当 n∈N*时，f(n)=32m+2—8n-9能被 64 整除。 探究四 a?=1,a?=2,a=g,a=4,⋯,[例4] [解] 猜想：a.=1. 证明如下： (1)当n=1时，a?=1,猜想成立；(归纳奠基) (2)假设当 n=k(k∈N*)时，猜想成立， 即a=k,(归纳假设) 高-则当n=k+1时， 归纳递推) ;0+=+1,所以当 n=k+1时 猜想也成立。 a.=n综合(1)(2),可知猜想 对于任意n∈N°都成立. [跟踪训练] (1)a?=-a+2=-4,a=-a+2=-44.解 a.=-n+2(2)猜想数列{a,}的通项公式为 证明如下： ?=-3,-n+2=-3,,所以a?=-”+2当 n=1时， 成立； a=-+2,假设当 n=k(k∈N*)时，猜想成立，即 =-4+2-2-一则当 n=k+1时 =-(k+1)+2, ∴n=k+1时，猜想也成立. 综上，a,=-n+2(n∈N*). 【随堂巩固促应用】 1.C 由题意知 n的最小值为3,所以第一步应验证当n= 3时，不等式成立，故选C. 1+2+3<22.解析 当n=2时，1 当n=k 时到第 2*-1 项，当n=k+1时到第 2*+1-1项，所以2*+1-1-(2*—1) =2k+1-2“=2·2*—2“=2*. 1+1+3<2 2*答案 a.=1+a3.解(1)由an+1+a,a+1-aa=0可得 当n=1时，a?=1fa=2; 当n=2时，a?=1+a,=3; a=1+a=4当n=3时 a.=1.(2)猜想数列{a,}的通项公式为 用数学归纳法证明如下： ①当 n=1时，a?=1,猜想成立. a=k,②假设当n=k(k∈N”)时，猜想成立，即 则当n=k+1时，有 即当n=k+1时，猜想也成立。 由①②可知，对任意n∈N*,a= 专题1 数列中的奇偶项问题 题型一 1.B 设等差数列{a,}的公差为d,项数为 n,前 n项和为 S.因为d=4,S=15,SM=55,所以Sm-Sa=2d= 2n=40,所以n=20,即这个数列的项数为20. 2.解析 设等比数列项数为 2n 项，所有奇数项之和为 S,所有偶数项之和为 S属，根据题意，得Sg=85,S偶= 170,3g=s=2.又a?=1,∴S=91-=85,,整 理得1-4"=-3×85,即4"=256,解得 n=4,则这个等 比数列的项数为8. 答案 8 3.解析 设等差数列{a,}的项数为2n+1,则 S?=q?+a?+as+⋯+a=n+1)a+a)=(n +1)a.,S=a?+a,+aa+⋯+a=7(a,ta= ma+,s=n+1==售，解得 n=3,∴项数为2n +1=7.∵S-Sm=a,+1=aφ,∴a?=44-33=11,为 所求中间项. 答案 11 7 题型二 4.解(1)设等差数列{a,}的公差为d. b.=(2-m为偶数数因为 所以b?=a?-6,b?=2a?=2a?+2d, b?=a?-6=a?+2d-6. 因为 S?=32,T?=16, (a?-6)+(2a,+2d)+(a+2d-6)=16,所以 2+4-716, 4=2,整理得 解得 所以{a,}的通项公式为a=2n+3. (2)证明：由(1)知a=2n+3, s.=”[5+(2n+3)]=n2+4n所以 b.=4+6,为偶数， 15