4.3.2 第1课时 等比数列的前项和-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

?高中数学·选择性必修 第二册 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知等比数列{a,}中，a?=7,a?=21,则 a? 的值为 ( ) A.35 B.63 C.21√3 D.±21√3 2.(江苏省常熟中学高二调研)已知各项均为 正数的等比数列{a,}中，a?a?a?=5,a?aga? =10,则a?a?a?= ( ) A.5√2 D.4√2B.7 C.6 3.标准对数视力表(如图)采用的 “五分记录法”是中国独创的视 力记录法，此表中各行均为正方 标准对数视力表 Em 形“E”形视标，且从视力5.2的山 E 视标所在行开始往上，每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边 长的010倍.若视力4.2 的视标 边长为 a,则视力 5.1 的视标边 长为 ( ) ·m习山 E m 3 W习m习 习m EⅢ4 u日日m目47 98 W E 4 4. A.10-m。 B.10-*a 3. C.10*a D.10*a 4.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们 的乘积为 216,后三个数成等差数列，且它 们之和为12,求这四个数. 提示请完成《素能提升训练》训练八 4.3.2 等比数列的前 n项和公式 第1课时 等比数列的前 n项和 [学习任务] 1.掌握等比数列的前 n项和公式及其应用.(重点) 2.会用错位相减法求数列的和.(重点) AI伴学助手 在既答社 配套答宴 善 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 等比数列的前 n项和公式 已知量 首项a?与公比q 首项a?,末项a与公比q s.={ na,(q=1) 公式 (q≠1) s.={ na?(q=1), (q≠1) 24 第四章 数 列 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等比数列的前 n项和公式的基本 运算 [例1] 在等比数列{a,}中， (1)若a?=1,a?=16,且q>0,求S?; (2)若S,=189,q=2,a,=96,求a?和 n; (3)若a?=3,ss=9,,求a?和公比q. 探究二 等比数列的前 n项和的性质 [例2] 等比数列{a}的前 n项和S,=48,前 2n项和S2m=60,则前3n项和 S?m=_ |Ⅱ规律方法|l--- 运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质 成立的条件.否则会出现失误.如 S,S2-S,,Sm一 S2,⋯成等比数列的前提是S,,S2-S,,S?m-S2均不 为0. Ⅱ规律方法|Ⅱ⋯ 等比数列前 n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中，共 涉及五个量a?,a,,n,q,S,,其中首项a?和公比q为基 本量，且“知三求二”,常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方 法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用 到整体代换，如q”,-g都可看作一个整体 跟踪训练 1.在等比数列{a,}中，公比为 q,前 n项和 为S,. (1)a?=8,a?=4,s,=63,,求n; (2)S.=2,s=3,,求a,及S, 跟踪训练 2.已知等比数列{a,}中，若前10项的和是10, 前20 项的和是 30,则前 30项的和是 探究三 与等比数列有关的数列求和问题 1.错位相减法 [例3] 已知正项等比数列{a,}的前 n项和为 Sa-?=7,a5=32.S,,且 (1)求数列{a,}的通项公式； (2)求数列{na,}的前 n项和Tn. 25 ?高中数学·选择性必修 第二册 -Ⅱ规律方法|l 错位相减法的步骤、注意事项 1.错位相减法适用于数列{a,b,}(其中{a,}为等差 数列，{b。}为等比数列)的前 n项和的求解。 2.用错位相减法求数列前 n项和的五个步骤： (1)乘公比；(2)错位相减；(3)求和；(4)整理；(5) 除以系数。 3.用错位相减法的注意事项： (1)注意解题“三关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为 负数的情形： ②在写出“S,”与“qS,”的式子时可将两式“错项对 齐”以便下一步准确写出“S,-qS,”的式子； ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 为参数，应分公比q=1和q≠1两种情况讨论. (2)谨防解题“两失误” ①两式相减时最后一项因没有对应项而忘记变号； ②对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n-1项和当作 n项和. 跟踪训练 3.已知数列{a,}满足a?=1,an+an+1=λn,n∈ N*,λ≠0,且a?是a?,a?的等比中项. (1)求λ的值； (2)求数列{a,}的前 n项和S,. 2.分组求和法 [例4](合肥高二期末)已知数列{a,}满足u2 +2+2+⋯+20=3n. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)求数列{a,+2n-1}的前 n项和S,. a?=2,4.已知数列{a,}的首项 ,且满足an+1= 3-2a(n∈N“). {d-1}(1)证明 是等比数列，并求数列{a,} 的通项公式； (2)记b,=n(1-1),求{b.}的前 n项和S,. Ⅱ规律方法|Ⅱ- 分组求和法的常见类型及解法 a=b±c,,{b},{c,}为等差 或等比数列 分组b?为奇数，a.=求{a,}的前 c,n为偶数， 求和n项和 {b.},{c}为等差或等比数列 a=b?±c,,数列{b,},{c,}易 于求得前 n项和 26 第四章 数 列 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(山西大同期末)已知等比数列{a,}的前 n (a+1)+ (a2+1)+⋯ +4.求 和： (z2+1)(ay≠0,x≠1,y≠1). 项和为S,a=8,a=言，公比q=3,,则 15g= ( ) A.8 B.15 C.3 D.6 2.设等比数列{a,}中，前 n项和为S,,已知 S? =8,S?=7,则a?+ag+a?等于 ( ) A.3 B.-8 c.58 D.55 提示、请完成《素能提升训练》训练九3.(湖南怀化期末)已知等比数列{a,}的前 n 项和为S,=3”-1+r,则r的值为 AI伴学助手 在战答计 第2课时 等比数列前 n项和的综合应用 配套答宴 善漂体 [学习任务] 1.能用等比数列前 n项和解决简单的数列应用问题.(重点) 2.掌握等比数列及其前 n项和的综合应用问题的解法.(难点) 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等比数列前 n项和的实际应用 [例1] 新能源汽车技术的发展有着诸多的 作用，它不仅能够帮助国家减少对石油的依 赖，还能够减轻对环境的污染.为了加强环 保建设，提高社会效益和经济效益，某市计 划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车， 每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为 电力型和混合动力型公交车.今年年初投入 了电力型公交车128辆，混合动力型公交车 400辆，计划以后电力型公交车每年的投入 量比上一年增加 50混合动力型公交车 每年比上一年多投入 a(a∈N*)辆. (1)求经过n年，该市被更换的公交车总辆 数 S(n);(不必写出 n的取值范围) (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值. 27 4.3.2 等比数列的前 n项和公式 第1课时 等比数列的前 n项和 【自主学习探新知】 aI-q?-知识点 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)∵{a,}为等比数列且a?=1,a?=16, ∴a?=a?q?,∴16=q?,∴q=2(负的舍去). :s,=9(1-)=1=2=127. s.=9(1-,0,=aq-(2)方法一：由公式 以及已知条件得 ia?·2"=192,∴2=192 .189=a(2”-1)=a(192-1),ia?=3. 又*21=96=32,∴n=6 s=9-4及已知条件得18=-9622,方法二：由公式 解得a?=3,又由a,=a?·q-1, 得96=3×2"-1,解得 n=6. ,s,=9(1-=号，(3)①当q≠1时 又a?=a?·q2=3, a+g+0)-是ia(1+q+4)=是，即 q=-2(q=1解得 舍去), ∴a?=6. ②当q=1时，S?=3q,sa?=2.一综上得 [跟踪训练] 8-9-s.=1-9,即1.解(1)显然q≠1,由 ∴g=2.又∵a,=aq“1,1 8×(1)?=4,∴n=6. (2)方法一：由S?≠2S?知q≠1,由题意得 ②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2. ① ② a?=2,ta,=a?q?1=1×2=1=202,代入①得 s.=(1-g)=2-1-2. 方法二：由 S?=a?+a?+ag,S?=S?+a?+a?+a?=Sg+ q3(a?+a?+a?)=S?+q3S?=(1+q3)S?. .1+a2=S=9,∴g2=8,即q=2. a(1-)=2,,得a=2,代入 ∴a,=a?q-1=1×2=1=2-2, s.=(1-g)=2-1-2. 探究二 [例2] [解析] 方法一：设公比为q,由已知易知q≠1, 可 得由 所 以 Sm= a,1-9=1=y[1-(q)]=64×(1-6)=63. 方法二：由S,Sn-S。,S3-S2成等比数列，得(S2- S,)2=S,(S-S?),即(60-48)2=48(Ss-60),解得 S3m=63. [答案] 63 [跟踪训练] 2.解析 方法一：因为数列{a,}是等比数列，所以有S1, S?-S?,Sso-S?o成等比数列，所以(S?-S??)2= S?(S??-S?0),即(30-10)2=10×(S??-30),即 S0一 30=40,即Sg=70. 方法二：由等比数列前 n项和的性质Sm+n=S,+q"Sm, 得S?=S??+q1°S??,即30=10+10q°,所以q?=2.所 以S?o=S?o+q2?S??=30+40=70. 答案 70 探究三 [例3] [解](1)设数列{a,}的公比是 q. ∵a,>0,S-S-a.+a+a=1+q+a2=7, ∴q=2或q=-3(舍去). 又a?=32,∴a=9=2, ∴数列{a,}的通项公式为a=a?·q”1=2”. (2)由(1)知 na=n·2”, ∴T,=2+2×22+3×23+⋯+n·2", ∴2T,=22+2×23+⋯+(n-1)·2”+n·2”+1, ①一②,得一T=2+22+2?+⋯+2”—n·2"+1 =2-2-22-n·2*+ ① ② =2+1-2—n·2”+1=(1-n)2”+1-2, ∴T,=(n-1)2*+1+2. 11 2+2+2+⋯+=3n,「例4][解](1)因为 ① ,2=3,所以a?=6.所以当 n=1 时 ,2+2+2+⋯+2==3(n-1),当n≥2时， ② ①-②,得2=3,所以a=3·2"(n≥2). 显然当n=1时也满足上式， 所以a=3·2". (2)由(1)知a=3·2”,则a+2n-1=3·2”+2n-1, 也可看成3·2",2n和-1的组合，则 S,=3(2+22+⋯+2”)+2(1+2+⋯+n)—n. 所以S,=(3·2+1)+(3·22+3)+(3·23+5)+⋯十 (3·2”+2n-1) =3(2+22+⋯+2”)+[1+3+5+⋯+(2n-1)] =3·2(1-22+n(1+2m-1)=3·2+1+n2-6 [跟踪训练] 3.解(1)由a+am+1=λn(n∈N*,λ≠0), 得a?+a?=λ,a?+a?=2λ,a?+a?=3λ,a?+a?=4λ, 所以a?=λ-1,a?=λ+1,a?=2λ-1,a?=2λ+1. 因为a?是a?,a?的等比中项， 所以a2=a?a?,则λ2=4λ.又λ≠0,所以λ=4. (2)由(1)知 am+am+1=4n(n∈N*). 当n为偶数时，S=(a?+a?)+(a?+a?)+(a?+a?)十 ⋯+(ai+a.)=4+12+20+⋯+4(n-1)=m× =n2; 当 n为奇数时，S,=a?+(a?+a?)+(a?+a?)+(ag+a?) 十⋯+(a_1+a?)=1+8+16+24+⋯+4(n-1)=1+ (a+4x2 综上所述，S,=n2,n∈N'. a.=3-2a>1--2,4.解(1)由题意得 -1=3(-1),所以 则{1-1}; -1=1,公比为3的等比数列，是首项为 所以。-1=3-,所以a.=g+1 b,=n(1-1)=n·3-,(2)由(1)得 所以S,=1+2×3+3×32+⋯+n×3”-1 ①, 3S=3+2×32+⋯+(n-1)×3"1+n×3" ②, ①-②得-2S。=1+3+32+⋯+3°-1-n·3”=1-3 —n·3", s.=2n-1)·3"+1.所以 【随堂巩固促应用】 3=g×1.B 由{a,}为等比数列可知a?=a?·q"1,即 =4_号×[1-(3)]_(号) 1-3-245,则 故选B. 2.A 因为a,+ag+a,=S,-S?,且S,,S?-S,,S?-S成 等比数列，即8,-1,S?-S?成等比数列，所以8(S,一 S,-s.=8.所以a,+ag+a?=g.Sg)=1,即 3.解析 设等比数列{a}的公比为q,易知 q≠1. S.=1-q--q·q,由于等比数列的前 n项和 且S,=3-1+r=r+g·3”,故r+g=0,得r=-3 -3答案 4.解 ∵xy≠0,x≠1,y≠1, :(a+1)+(z2+1)+⋯+(z2+y) =(z+a2+⋯+a2)+(1+1+⋯+-) (-)- 第2课时 等比数列前 n项和的综合应用 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)设a,b,分别为第n年投入的电力型公 交车、混合动力型公交车的辆数， 1+50?的依题意，数列{a}是首项为128,公比为 等比数列，{b.}是首项为400,公差为a的等差数列， 128×[1-(2)"]_6 故数列{a,}的前 n项和为 1-3 [(2)"-1],(6.3 400n+7n-1)a,的前 n项和为 所以经过n年，该市被更换的公交车总辆数 S(n)=256[(吾)"-1]+40m+nn-12a (2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000, 即256[(号)-1]+400×7+?×?a≥10000, 即21a≥3082,解得a≥14616 又 a∈N*,所以a的最小值为147. [跟踪训练] 1.解(1)由题意知，第1年投入为800万元， 800(1-号)万元，⋯第 2年投入为 800(1--)万元，第 n年投入为 12