4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

第四章 数 列 所以an+1+(λ—μ)a,-μλan-1=0.-解得λ=-3或λ=-3.所以 当λ=-3 时，a?-3a?=0,{an+1-3a,}不是 等比数列，故舍去，所以λ=- -3[答案] |误区警示|I- 在等比数列中，项和公比均不能为0.特别是在 求参数或等比数列的判定中，这是一个易忽视的地 方.故在求解参数时，应在求得参数后对结果进行 验证。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可 以为0;②等比数列的公比的取值范围是R; ③若一个非零的常数列是等比数列，则这个 常数列的公比为1;④22,42,62,82,⋯成等 比数列.其中正确说法的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设a?,a?,a?,a?成等比数列，其公比为2,则 2g+a的值为 ( ) A.4 B. c.g D.1 3.已知等比数列{a,}的前三项依次为 a-1, a+1,a+4,则an= 4.已知数列{a,}满足a?=2,nan+1=3(n十 1)a,,b?=n(n∈N*) (1)求b?,b?,b?; (2)判断数列{b,}是否为等比数列，并说明 理由. 提示、请完成《素能提升训练》训练七 第 2 课时 等比数列的性质及应用 AI作学助手 在纸答看 配套答案 善彝 [学习任务] 1.在理解等比数列定义和通项公式的基础上，探索并发现等比数列的性质.(重点) 2.理解等比数列的性质并能简单应用.(重点) 3.掌握等比数列的性质并能综合应用.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 常用等比数列的性质 1.如果 m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有 2.如果m+n=2k(m,n,k∈N“),则有am·an 三 . 3.若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则am, an,a,成等比数列. 4.在等比数列{a,}中，每隔k项(k∈N*)取出 一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍 为等比数列. 21 ?高中数学·选择性必修 第二册 5.如果{a,},{b,}均为等比数列，且公比分别为q, (3},a,·b.),},1a,I}仍是等q?,那么数列 ,94,4,1al.比数列，且公比分别为 6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列 中，与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的积，即a?an= =⋯= 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等比数列性质的应用 [例1] 已知{a,}为等比数列. (1)若a,>0,a?a?+2a?a?+a?a?=25,求a? +a?; (2)若a,>0,a?a?=9,求 log?a?+log?a?十 ⋯+log?a?o的值. □跟踪训练 1.(1)等比数列{a,}中，已知 a?+a?=8,a?+ a?=4,则a??+a??= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 (2)(江苏南京金陵中学河西分校检测)已知 数列{a,}是等差数列，{b,}是等比数列，a?+a? a?fas+qs=-4且bb6b=8,则 ( ) D.23mA.4 B.3 c.2 探究二 等差、等比数列的综合应用 [例2] 数列{a,}的前 n项和记为S,,a?=1, an+1=2S,+1(n≥1). (1)求{a,}的通项公式； (2)等差数列{b,}的各项为正，其前 n项和 为T》,且 T?=15,又 a?+b?,a?+b?,a?+b? 成等比数列，求T,. Ⅱ规律方法|l 巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法———基本量法. ①基本思路：运用方程思想列出基本量a?与q的 方程组，解出a?和q,然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时 运算稍繁。 (2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分 析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； ②优缺点：简单快捷，但是适用面窄，有一定的思 维含量。 22 第四章 数 列 规律方法|Ⅱ 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前 一项的差； (2)a?和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)强调每一项与前 一项的比； (2)a?与q均不为零； (3)等比中项有两 个值 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)公差与公比都必须是常数； (3)数列都可以由a?,d或a?,q确定 联系 (1)若{a}为正项等比数列，则{log a,}为 等差数列； (2){a}为等差数列，则{6}为等比数列 跟踪训练 2.(山东烟台期末)已知等差数列{a,}的前 n 项和为S,,a?=—5,a?,a?-1,a?+1成等比 数列，数列{b,}的前 n项和为Tn,且 T,+2 =2b,(n∈N*). (1)求数列{a,},{b,}的通项公式； (2)记[x]表示不超过x 的最大整数，例如 ca=[96],求[-2.1]=-3,[1.2]=1,设 数列{b,cn}的前 7项和. 探究三 等比数列的实际应用问题 [例3](福建莆田八中期中)“绿水青山就是 金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理， 已知该地区有土地1万平方千米，其中70% 是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每 年把原有沙漠的16??造为绿洲，同时原 有绿洲的4??沙漠所侵蚀又变成沙漠，设 从今年起第 n年绿洲面积为a,万平方千米. (1)求a与an-1(n≥2)的关系； (a.-专}(2)判断 是不是等比数列，并说明 理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%? (lg 2≈0.301) 规律方法lⅡ------- 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具 体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心， 常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用 数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结 论，再用数列知识求解. 跟踪训练 3.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家 预测这种车每年按10??速度贬值. (1)用一个式子表示第 n(n∈N*)年这辆车 的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他 大概能得到多少钱? 23 ?高中数学·选择性必修 第二册 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知等比数列{a,}中，a?=7,a?=21,则 a? 的值为 ( ) A.35 B.63 C.21√3 D.±21√3 2.(江苏省常熟中学高二调研)已知各项均为 正数的等比数列{a,}中，a?a?a?=5,a?aga? =10,则a?a?a?= ( ) A.5√2 D.4√2B.7 C.6 3.标准对数视力表(如图)采用的 “五分记录法”是中国独创的视 力记录法，此表中各行均为正方 标准对数视力表 Em 形“E”形视标，且从视力5.2的山 E 视标所在行开始往上，每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边 长的010倍.若视力4.2 的视标 边长为 a,则视力 5.1 的视标边 长为 ( ) ·m习山 E m 3 W习m习 习m EⅢ4 u日日m目47 98 W E 4 4. A.10-m。 B.10-*a 3. C.10*a D.10*a 4.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们 的乘积为 216,后三个数成等差数列，且它 们之和为12,求这四个数. 提示请完成《素能提升训练》训练八 4.3.2 等比数列的前 n项和公式 第1课时 等比数列的前 n项和 [学习任务] 1.掌握等比数列的前 n项和公式及其应用.(重点) 2.会用错位相减法求数列的和.(重点) AI伴学助手 在既答社 配套答宴 善 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 等比数列的前 n项和公式 已知量 首项a?与公比q 首项a?,末项a与公比q s.={ na,(q=1) 公式 (q≠1) s.={ na?(q=1), (q≠1) 24 所以这四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1,则这四个 数的和为28.故选 A. 答案(1)D(2)A 探究三 [例3] [解] a=S,-S。_1=2"+a-2"-1-a=2"-1(n≥ 2). ,a.-2=2当n≥2时， ,a=a=2+a当n=1时， 故当a=—1时，数列{a}成等比数列，其首项为1,公比 为2;当a≠-1时，数列{a,}不是等比数列。 [变式训练] 1.证明 ∵S=2-a, ∴S,+1=2—am+1, ∴an+1=Sa+1-S,=(2-aa+1)-(2-a,)=an—a+1, a,+=2a. 又∵S,=2—a ∴a?=1≠0. 又由a,+=2a.知a。≠0, a=2,∴{a,}是等比数列 2.证明 因为am+1=2a+1, 所以am+1+1=2(a+1). 由a?=1,知a?+1≠0, 从而a+1≠0. 所以.+1=2(n∈N°) 所以{a+1}是以a?+1=2为首项，2 为公比的等比 数列. 所以a+1=2×2”1=2”,即a=2”—1. 【随堂巩固促应用】 1.B 由等比数列的定义可知，等比数列是根据比值来定 义的，故等比数列的每一项和公比都不能为零，故①② 错误；一个非零的常数列，一定是等比数列，其公比为 于≠,1,故③正确；由子 ,故不成等比数列，故④错误。 故选 B. (2a4+a?=1=42.A 原式 3.解析 由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, q=a=4=3,所以a?=4,a?=6,所以 所以a,= 4×(章) 4×(章)答案 a.+=3(n+12a4.解(1)由题可得 ,将n=1代入，得 a a?=2a?=6a?.又a?=2,∴a?=12,将 n=2代入，得 ∴ag=54,∴b?=9=2,b=6,b?==18. (2){b,}是首项为2,公比为3的等比数列.理由如下：由 已知可得牛1=3×,即b,+=3b,.又∵b?=2,∴{b,} 是首项为2,公比为3的等比数列。 第 2 课时 等比数列的性质及应用 【自主学习探新知】 知识点 1.am·a=aA·a, 2.a2 6.aza-1 aan一k+1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a?a?+2aga?+a?a?=a3+2aga?+a2=(a?+ a?)2=25, ∵a>0,∴a?+a?>0,∴a?+a?=5. (2)根据等比数列的性质，得 a?a?=a?a1o=a?ag=a?ag=a?a?=9, ∴a?a?⋯aga?=(a?ag)?=9?, ∴log;a?+log?a?+⋯+log?a? =log,(a,a?⋯a,a10 =log?9?=10. [跟踪训练] 1.解析(1)方法一(性质法):因为数列{a}是等比数列， 所以a?+a?,ay+a,ag+an,a??+a?s成等比数列，且公 a+a,=2,,所以ag+a?=(a?+a)(去)=1.比为 方法二(通项公式法):设等比数列{a,}的公比为q,则a? =a?q,a?=agq3,所以q=a+a=2,,所以a??+a?= a,q°+a,g”=(a,+a,)g=8×(去)=1 a,+a,=2a?=4,(2)因为数列{a。}是等差数列，所以 所以a?=g,,所以ag+ag+a??=3ag=2π.因为数列{b,} 是等比数列，所以b?b?b??=b?=8,所以b?=2,所以b?b? 以b,6-1s--1=b2-1=4-1=3,所 故选D. 答案(1)A (2)D 探究二 [例 2] [解](1)由a,+1=2S,+1,可得a,=2S。_1+1(n ≥2), 两式相减，得a+1-a,=2a,即aa+1=3a(n≥2). 又∵a?=2S?+1=3,∴a?=3a?. 故{a,}是首项为1,公比为3的等比数列， ∴a=3”-1. (2)设{b,}的公差为d, 由 T,=15,得b?+b?+b?=15,可得b?=5, 故可设b?=5-d,b?=5+d. 又a?=1,a?=3,ag=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2. 解得d?=2,d?=-10. ∵等比数列{b,}的各项为正， ∴d>0,∴d=2. T?=3n+n(n-1×2=n2+2n. 9 [跟踪训练] 2.解(1)设等差数列{a,}的公差为d, 因为ag,a?-1,a?+1成等比数列， 所以(a?-1)2=a?(a?+1), 即(3d-6)2=(2d-5)(4d-4), 整理可得d2-8d+16=0,所以d=4, 故a=a?+(n-1)d=-5+4(n-1)=4n-9. 由已知得T,=2b,-2 ①, 当n≥2时，T_1=26_1-2 ②, ①-②可得b?=2b-2b-1,即b=2b。-1(n≥2). 当 n=1时，b?+2=2b?,所以b?=2, 所以数列{b,}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故b=2·2"-1=2". c.=[4”09],(2)由(1)知 a?=4n-9,则 易得c?=c?=-1,cg=c?=0,c?=c?=c,=1, 则数列{b,c}的前 7项和为—1×(21+22)+0×(23+ 2?)+1×(2?+2?+2?)=218. 探究三 [例3] [解](1)由题意得a,=(1-4?a_1+(1- a-1)×16?.96a-1+0.16—0.16a-1=0.8a-1+ 0.16=4a-1+2, ∴a=4a-1+2(n≥2). {a-专}(2)数列 是等比数列.理由如下： a.=4a-1+4(n≥2),由(1)得 ∴a-号=4(a-1-号)(m≥2), :{a.-专}是等比数列. (3)由(2)可知a-4=车(a-1-号)(n≥2). 又a?=3, ∴a-4=-2,:a,-4=-2×(告)", 即a,=-2×(4)?+4. 令a,=-1×(号)?+4>号，得(号)?<号， 两边取常用对数，得(n-1)lg4<1g5 -1>-聚=-聚=8=- 31g2-1~3×0.301-1==0.097≈4.1, ∴n>5.1, ∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 「跟踪训练 3.解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a?, a?,a?,⋯,a,,由题意，得 a?=13.5. a?=13.5(1-10? a,=13.5(1-10?⋯⋯ 由等比数列定义，知数列{a,}是等比数列， 首项a?=13.5,公比q=(1-10?0.9, ∴a=a?q°-1=13.5×0.9”-1. ∴第 n年车的价值为a,=13.5×0.9"-1万元. (2)当他用满4年时，车的价值为 a?=13.5×0.9?-1≈8.857. ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元. 【随堂巩固促应用】 1.B ∵{a,}成等比数列.∴a,ag,ag成等比数列.∴a2= a,ag,即a。=2=63. 2.A 方法一：因为数列{a,}是等比数列， 所以(a?a?ag)(a?agag)=(a?a?)(a?ag)(agag)=a2aga2= (a?asa?)2.又a?a?ag=5,a?aga?=10,且数列{a,}的各项 均为正数，所以a?a?ag=5√2. 方法二：因为数列{a,}是等比数列，所以a?a?a?=a2=5, a?aga,=a3=10,aa?a?=a3.由等比数列的性质，得a3 as,ag构成等比数列，所以(as)2=a2ag.又数列{a,}的各 项均为正数，所以a3=5√2,即a?asa?=5√2. 方法三：因为数列{a,}是等比数列，所以a?a?as,aqa?ag, 以40a00,即g5=a?aga。构成等比数列，所 .10,即(a?asag)2=50.又数列{a,}的各项均为正数， 所以a?a?ag=5√2. 3.A 从上往下数，设第 n行的视标边长为an,第 n+1行 的视标边长为a,.由题意可得a.=V10a.,所以 =10-*,所以数列{a,}是公比为10-*的等比数列，由题 意知 a?=a,所以a??=a(10-*)12-3=10-*a,即视力 5.1的视标边长为10-*a.故选A. 4.解 方法一：设前三个数为一，a,ag, 则·a·aq=216 所以a3=216.所以a=6. ,6,6g.因此前三个数为 由题意知第4个数为12q-6. q=3.所以6+6q+12q-6=12,解得 故所求的四个数为 9,6,4,2. 方法二：设后三个数为4-d,4,4+d, (4-d)2,则第一个数为 4(4-)2×(4-d)×4=216,解得4-d=6.由题意知 所以d=-2.故所求得的四个数为9,6,4,2. 10