4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

?高中数学·选择性必修 第二册 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,若a?= 知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问 长儿多少岁，各儿岁数要详推.”大致意思 是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年 是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后 面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿 子共207岁，问老大是多少岁? (( ) -11,a?+a?=—6,则当 S,取最小值时，n 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.已 知 数列{a,}的 通项公式为 a,= n+√n+I(n∈N*),若其前n项和为9, 则项数 n为 ( ) A.38 B.35 C.32 D.29 4.设等差数列{a,}的前 n项和为S,,a?=25, S?7=S?.若Sm=S14,则m的值为 .A.99 B.100 C.101 D.102 3.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如 下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不 提示、请完成《素能提升训练》训练六 AI作学助手 4.3 等比数列 在战答量 配套答案 善濡彝 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念与通项公式 [学习任务] 1.理解等比数列的定义.(重点) 2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重点、难点) 3.熟练掌握等比数列的判定方法.(易错点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 等比数列的定义 知识点二 等比中项 一般地，如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 公比通常用字母 表示(显 然 q≠0). 如果在 a与b中间插入一个数G,使a, G,b成 ,那么G叫做a与b的等比 中项.此时，G2= 知识点三 等比数列的通项公式 设等比数列{a,}的首项为a?,公比为q (q≠0),则通项公式为a= 18 第四章 数 列 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等比数列的通项公式 [例1] 在等比数列{a,}中： (1)已知 a?=3,q=-2,求a?; (2)已知 a?=20,a?=160,求a,. 探究二 等比中项 [例2](1)在等比数列{a,}中，a?=g,q=2, 则a?与ag的等比中项a?= ( ) c.±4 D.4A.±4 B.4 (2)已知b是a,c的等比中项，求证：ab+bc 是a2+b2与b2+c2的等比中项. |Ⅱ规律方法|l⋯------------- 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a?,q的方程组，求出 a?,q后再求a,,这是常规方法 (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求 a?,最后求 a,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 跟踪训练 1.在等比数列{a,}中： (1)a?=2,a?=8,求an; (2)a?+a?=18,a?+a?=9,a,=1,求 n. 规律方法|l (1)首项a?和公比q是构成等比数列的基本量，从 基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法。 (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两 个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项。 跟踪训练 2.(1)(陕西汉中高二期末)在等比数列{an} 中，a?=4,9=2,则a?与a的等比中项是 ( ) A.—1 B.1 C.2 D.±1 (2)(山东青岛高二期末)有四个数，其中前 三个数成等差数列，后三个数成等比数列， 并且第一个数与第四个数的和是16,第二 个数与第三个数的和是12,则这四个数的 和为 ( ) A.28 B.26 C.24 D.20 19 ?高中数学·选择性必修 第二册 探究三 等比数列的判定与证明 [例3] 已知数列的前 n项和为S,=2”+a, 试判断{a,}是否是等比数列. 规律方法l- 判断一个数列{a,}是等比数列的方法 =q(q为常数且(1)定义法：若数列{a,}满足 不为零)或。=q(n≥2,g为常数且不为零),则数列 {a,}是等比数列. (2)等比中项法：对于数列{a,},若aa+1=aa+2且 a≠0,则数列{a,}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{a}的通项公式为a= a?q°1(a?≠0,q≠0),则数列{a,}是等比数列。 □变式训练 1.(变条件)将例题中的条件“S,=2”+a”变为 “S,=2—a,”,求证数列{a,}是等比数列. 2.(变条件)将例题中的条件“S,=2"+a”变为 “a?=1,an+1=2a,+1”,证明数列{a,+1}是 等比数列，并求出数列{a,}的通项公式. 易错在等比数列的判定中忽略等比 警示 数列的项不为0致错 [典例] 在数列{a,}中，q?=1,a?=3,a,+-3a +a_1=0(n≥2且n∈N*).若数列{a,+1+λa,} 是等比数列，则实数λ= [错解] 设an+1+λan=μ(a,+λan-1)(n≥2 且 n∈N*). 所以an+1+(λ—μ)a,-μλan-1=0.-解得λ=-3或λ=-3所以 [错解分析] 上述解法看似没有问题，但实 际上，当λ=-3 时，a?—3a?=0,不能构成 等比数列，错解的原因在于误认为只要a= qa,_1(n≥2),数列{a,}就是等比数列，而忽 略了等比数列中的项都不能为 0. [正解] 设an+1+λa,=μ(a,+λan-1)(n≥2 且 n∈N*) 20 第四章 数 列 所以an+1+(λ—μ)a,-μλan-1=0.-解得λ=-3或λ=-3.所以 当λ=-3 时，a?-3a?=0,{an+1-3a,}不是 等比数列，故舍去，所以λ=- -3[答案] |误区警示|I- 在等比数列中，项和公比均不能为0.特别是在 求参数或等比数列的判定中，这是一个易忽视的地 方.故在求解参数时，应在求得参数后对结果进行 验证。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可 以为0;②等比数列的公比的取值范围是R; ③若一个非零的常数列是等比数列，则这个 常数列的公比为1;④22,42,62,82,⋯成等 比数列.其中正确说法的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设a?,a?,a?,a?成等比数列，其公比为2,则 2g+a的值为 ( ) A.4 B. c.g D.1 3.已知等比数列{a,}的前三项依次为 a-1, a+1,a+4,则an= 4.已知数列{a,}满足a?=2,nan+1=3(n十 1)a,,b?=n(n∈N*) (1)求b?,b?,b?; (2)判断数列{b,}是否为等比数列，并说明 理由. 提示、请完成《素能提升训练》训练七 第 2 课时 等比数列的性质及应用 AI作学助手 在纸答看 配套答案 善彝 [学习任务] 1.在理解等比数列定义和通项公式的基础上，探索并发现等比数列的性质.(重点) 2.理解等比数列的性质并能简单应用.(重点) 3.掌握等比数列的性质并能综合应用.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 常用等比数列的性质 1.如果 m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有 2.如果m+n=2k(m,n,k∈N“),则有am·an 三 . 3.若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则am, an,a,成等比数列. 4.在等比数列{a,}中，每隔k项(k∈N*)取出 一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍 为等比数列. 21 ∴T,=b?+b?+⋯+b= 2[(1-3)+(3-号)+⋯+(2-1 2n+)] =1(1-2n+1)=2n+1 [跟踪训练] 3.解析(1)由已知得f(1-x)=1-a+3sin(1-x)+2, ∴.f(x)+f(1-x)=2.#a,+apm-=2023+2223” =1,∴f(a)+f(a2023-m)=2.令S=f(a?)+f(a?)+⋯ +f(a2022),则 S=f(a2022)+f(a2o21)+⋯+f(a?),两式 相加得2S=2×2 022,∴S=2 022.故选 A. (2)①当n=1时，S?+S?=2a?,解得a?=2a?=6. 当 n≥2 时，由 S+1+S,=(n+1)am+1,得S,+S。-1= na,两式相减得am+x+a=(n+1)am+— na,即a= n+1, aa⋯=2×利用累乘法可得 2×4×⋯×n一1,即a=n.1因为a?=3,所以a=3n, 所以{a,}的通项公式为am=3n. ②由①可知b=3n·3(n+1)=gn(n+1)=1(1- n+1),则T.=g(1-1+1-3+⋯+n-n+1) =9(1-n+1)=9n+9 所以数列{b.}的前n项和T,=gn+9 答案(1)A (2)见解析 【随堂巩固促应用】 1.A 由a?+a?=2a?=-6,解得a;=-3,又a?=-11, 所以a?=a?+4d=-11+4d=-3,解得d=2,则a= s,=ma,+a.)=n3--11+2(n-1)=2n-13,所以 12n=(n-6)2-36,所以当 n=6时，S。取最小值. 0.n+√n2.A 设数列{a,}的前 n项和为S,.因为 =√n+1-√n,所以数列{a}的前n项和S,=a?+a?+ ⋯+a,=√2-√I+√3-√2+⋯+ √n+1-√n= √n+1-1.令S=√n+1-1=9,解得n=99.故选A. 3.B 由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年 龄a,为首项，-3为公差的等差数列，所以9a?+?×8 ×(-3)=207,解得a?=35. s.=2n2+4.解析 设等差数列{a,}的公差为d,则 (a-2)n, y=号a2+所以 S,可看成二次函数 (a?-2)x当x=n时的函数值，由二次函数图象的对 17+?=m+14,称性及S??=S,,S=S??可得 ,解得 m =12. 答案 12 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念与通项公式 【自主学习探新知】 知识点一 同一个常数 公比 q 知识点二 等比数列 ab 知识点三 a?q" 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)由等比数列的通项公式得 a?=3×(-2)?-1=-96. (2)设等比数列的公比为q, as=160那么 1a=.解得 所以a=a?q”?1=5×20-1. [跟踪训练] GF4-3, ①1.解(1)因为 ② 由鲁得q3=4,从而q=√4,而a?q3=2, 于是a?=2=2,所以a,=a,g"-1=2 +a-4g+ad=8, ③(2)方法一：因为 ④ 由鲁得q=去，从而a?=32. 32×(1)?1=1,又因为a=1,所 即 2?-“=2°,所以 n=6. 方法二：因为a?+a。=q(a?+a?),所以q=2. 由a?q+a?q?=18,得a?=32. 由a=a?q"1=1,得n=6. 探究二 a,=g×2-1=2?知，a?=1,[例 2] [解析] (1)由 ag=2?,所以a?与ag的等比中项为±4,又a?>0,q>0, ∴a?>0,故a?与ag的等比中项为a?=4. [答案] B (2)证明：因为b是a,c的等比中项， 所以b2=ac,且a,b,c均不为零， 又因为(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b?+b2c2 =a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c =a2b2+2a2c2+b2c2, 所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2), 即 ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项。 [跟踪训练] a?a?=(q,q)(a?q2)=1×2=1,所以a?2.解析 (1)因为a 与a?的等比中项是±1.故选D. (2)依题意，设这四个数依次为x,y,12-y,16—x, 316-2)=(2- =41或(=95,解得则 8 所以这四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1,则这四个 数的和为28.故选 A. 答案(1)D(2)A 探究三 [例3] [解] a=S,-S。_1=2"+a-2"-1-a=2"-1(n≥ 2). ,a.-2=2当n≥2时， ,a=a=2+a当n=1时， 故当a=—1时，数列{a}成等比数列，其首项为1,公比 为2;当a≠-1时，数列{a,}不是等比数列。 [变式训练] 1.证明 ∵S=2-a, ∴S,+1=2—am+1, ∴an+1=Sa+1-S,=(2-aa+1)-(2-a,)=an—a+1, a,+=2a. 又∵S,=2—a ∴a?=1≠0. 又由a,+=2a.知a。≠0, a=2,∴{a,}是等比数列 2.证明 因为am+1=2a+1, 所以am+1+1=2(a+1). 由a?=1,知a?+1≠0, 从而a+1≠0. 所以.+1=2(n∈N°) 所以{a+1}是以a?+1=2为首项，2 为公比的等比 数列. 所以a+1=2×2”1=2”,即a=2”—1. 【随堂巩固促应用】 1.B 由等比数列的定义可知，等比数列是根据比值来定 义的，故等比数列的每一项和公比都不能为零，故①② 错误；一个非零的常数列，一定是等比数列，其公比为 于≠,1,故③正确；由子 ,故不成等比数列，故④错误。 故选 B. (2a4+a?=1=42.A 原式 3.解析 由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, q=a=4=3,所以a?=4,a?=6,所以 所以a,= 4×(章) 4×(章)答案 a.+=3(n+12a4.解(1)由题可得 ,将n=1代入，得 a a?=2a?=6a?.又a?=2,∴a?=12,将 n=2代入，得 ∴ag=54,∴b?=9=2,b=6,b?==18. (2){b,}是首项为2,公比为3的等比数列.理由如下：由 已知可得牛1=3×,即b,+=3b,.又∵b?=2,∴{b,} 是首项为2,公比为3的等比数列。 第 2 课时 等比数列的性质及应用 【自主学习探新知】 知识点 1.am·a=aA·a, 2.a2 6.aza-1 aan一k+1 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a?a?+2aga?+a?a?=a3+2aga?+a2=(a?+ a?)2=25, ∵a>0,∴a?+a?>0,∴a?+a?=5. (2)根据等比数列的性质，得 a?a?=a?a1o=a?ag=a?ag=a?a?=9, ∴a?a?⋯aga?=(a?ag)?=9?, ∴log;a?+log?a?+⋯+log?a? =log,(a,a?⋯a,a10 =log?9?=10. [跟踪训练] 1.解析(1)方法一(性质法):因为数列{a}是等比数列， 所以a?+a?,ay+a,ag+an,a??+a?s成等比数列，且公 a+a,=2,,所以ag+a?=(a?+a)(去)=1.比为 方法二(通项公式法):设等比数列{a,}的公比为q,则a? =a?q,a?=agq3,所以q=a+a=2,,所以a??+a?= a,q°+a,g”=(a,+a,)g=8×(去)=1 a,+a,=2a?=4,(2)因为数列{a。}是等差数列，所以 所以a?=g,,所以ag+ag+a??=3ag=2π.因为数列{b,} 是等比数列，所以b?b?b??=b?=8,所以b?=2,所以b?b? 以b,6-1s--1=b2-1=4-1=3,所 故选D. 答案(1)A (2)D 探究二 [例 2] [解](1)由a,+1=2S,+1,可得a,=2S。_1+1(n ≥2), 两式相减，得a+1-a,=2a,即aa+1=3a(n≥2). 又∵a?=2S?+1=3,∴a?=3a?. 故{a,}是首项为1,公比为3的等比数列， ∴a=3”-1. (2)设{b,}的公差为d, 由 T,=15,得b?+b?+b?=15,可得b?=5, 故可设b?=5-d,b?=5+d. 又a?=1,a?=3,ag=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2. 解得d?=2,d?=-10. ∵等比数列{b,}的各项为正， ∴d>0,∴d=2. T?=3n+n(n-1×2=n2+2n. 9