4.2.1 第2课时 等差数列的性质-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

第四章 数 列 第2课时 等差数列的性质 AI律学助手 在战答位 配套答案 善漂缺 [学习任务] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.(重点) 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 等差数列的性质 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 a,=a?+(n—1)d (揭示首末两项的关系) a,=a,十(n—m)d (揭示任意两项之间的关系) 2.等差数列的性质 若数列{a,}是公差为d的等差数列，正 整数 m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an (1)特别地，当m+n=2k(m,n,k∈N*)时， am+a,= . (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离” 的两项之和等于首末两项的和，即 a?+a,= a?+an-1=⋯=a,+an-k+1=⋯. (3)若数列{a,}是公差为d的等差数列，则 ①数列{c+a,}(c为任一常数)是公差为_ 的等差数列； ②数列{ca,}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； ③数列{a,+an+k}(k为常数，k∈N*)是公 差为 的等差数列 (4)若{a,},{b,}分别是公差为d?,d?的等 差数列，则数列{pa,+qb,}(p,q是常数)是 公差为 的等差数列. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等差数列的性质应用 [例1](链接教材第17 页例5)(1)已知等差 数列{a,}中，a?+a?=6,则a?+a?+a?+a? 十a?= ( ) A.30 B.15 C.5√6 D.10√6 (2)设数列{a,},{b,}都是等差数列，且a?= 25,b?=75,a?+b?=100,则a37+b?7= ( ) A.0 B.37 C.100 D.—37 规律方法|Ⅱ 本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若数列 m+n=p+q,则am+a=a,+ag. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相 加，否则不一定成立.例如，a??≠a?+ag,但a?+a,=a? +ag;a?+a??≠a?,但a?+a?=2a1. 本例(2)应用了等差数列的性质：若数列{a,},{b,} 是等差数列，则{a+b,}也是等差数列.灵活运用等差 数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问 题的能力，应注意加强这方面的训练。 跟踪训练 1.(1)(山西大学附属中学高二期中)在等差数 列{a,}中，a?+a?+a?+ag+a?=450,则a? +a?1的值为 ( ) A.45 B.75 C.180 D.300 11 ?高中数学·选择性必修 第二册 (2)(重庆七中高二期末)已知{a,}是等差数 列，且a?+a?+a?=15,a?+a?+ag=24,则 a?+a?+a?的值为 ( ) A.24 B.27 C.30 D.33 探究二 灵活设元求解等差数列 [例2](1)三个数成等差数列，其和为9,前 两项之积为后一项的6倍，求这三个数. (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和 为2,首末两项的积为一8,求这四个数. 规律方法|l 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其 和，可设这两个数为a—d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a —d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d,a —d,a+d,a+3d,公差为2d. 】跟踪训练 2.已知四个数依次成等差数列且是递增数列， 四个数的平方和为 94,首尾两数之积比中 间两数之积少18,求此等差数列. 探究三 等差数列的实际应用 [例 3] 甲、乙两人连续6年对某县养鸡业规 模进行调查，提供两个不同的信息图如图. 甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万 只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2 万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数 30个减少到第6年10个. 平均只数/万只 2.0 .8 .6 .4 1.2 1.0 o 23 养鸡场个数1个 30 26 22 18 10 0| 23 6年份 甲 乙 请你根据提供的信息回答问题. (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总 只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年 是扩大了还是缩小了?请说明理由. Ⅱ规律方法|Ⅱ 解答数列实际应用问题的基本步骤 审题 仔细阅读材料，认真理解题意 建模 将己知条件翻译成数学(数列)语言，将实 际问题转化成数列问题 判型 判断该数列是否为等差数列 求解 求出该问题的数学解 还原 将所求结果还原到实际问题中 □跟踪训练 3.(多选)《周髀算经》是中国古代的天文学和 数学著作.其中有一句关于二十四节气的记 载，大意为：一年有二十四个节气，每个节气 的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的 仪器，晷长即所测量影子的长度).二十四节 气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长 减少或增加的量相同，周而复始.已知每年 冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为 一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸), 则 ( ) 12 第四章 数 列 长遥渐变 春分 雨水 惊盐0 清明 谷雨 立春 立夏 60个 芒种 冬至 夏至 小暑 大暑 立秋 处 秋分 长逐渐长 A.小寒比大寒的晷长长一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长长 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知数列{a,}为等差数列，且a?+a?+a?= π,则 cos(a?+a?)= ( ) A.- B.-2 c. D.3 2.在等差数列{a,}中，已知a?=10,ag=—20, 则公差d等于 ( ) A.3 B.—6 C.4 D.—3 3.(河北邯郸期末)已知等差数列{a,}为递增 数列，若a2+a2o=101,a?+a?=11,则数列 {a,}的公差d为 4.已知成等差数列的四个数，四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为40,求这个 等差数列. 提示、请完成《素能提升训练》训练四 4.2.2 等差数列的前 n项和公式 AI伴学助手 在阀答登 配套答真 第1课时 等差数列的前 n项和 漂韩缺 [学习任务] 1.了解等差数列前 n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量 a?,n,d,a,,S,之间的关 系.(重点) 2.掌握等差数列前 n项和公式、性质及其应用.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 1.等差数列的前 n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 S,= S= 2.等差数列前 n项和的性质 (1)若数列{a,}是公差为d的等差数列，则 }数列 也是等差数列，且公差为p2 (2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{a,}的前 m项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2m一 S,Sm-Sm也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{a,},{b,}的前 n项和 =S分别为S,T,则 (4)若等差数列的项数为2n,则S2m=n(a,+ an+1), Sa-Sa=nd,S-(Sa≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则 S2n+1= (2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶一 S=-a+,s5 =n7i(SA≠0). 13 (2)因为a,b,c成等差数列，√a,√b,√c也成等差数列，所 {25=+g+回，则2(a+c)=(√a+√c)2,即a+c= 2√ac,所以(√a-√c)2=0,故 a=c=b,所以△ABC为 等边三角形. 答案(1)B (2)等边三角形 探究三 [例3] [证明] 方法一(定义法): b+-b=。-2-a-2 4-1--。2-a-2-2 又b=a--1 ,公差为云∴数列{b,}是首项为 的等差数列. 方法二(等差中项法): b=a,-2, m--2-(-2)-22a-2---- ∴b,+b+2-26=a-2+a,-2-2×2a2-2)=0, ∴b,+ba+2=2b+1(n∈N*), ∴数列{b,}是等差数列. [例4] [解](1)∵a?=2,a?=-1,a?=(λ-3)a?+2, ∴x=2,∴a=-2a?+22=. (2)不存在.理由如下： ∵a?=2,a,+1=(λ-3)a+2”, ∴a?=(a-3)a?+2=2λ-4, a?=(λ-3)a?+22=2x2-10λ+16. 若数列{a,}为等差数列，则a?+ag=2a?, 即2+2x2-10λ+16=2(2λ-4),即λ2-7λ+13=0. ∵△=49-4×13<0,∴方程无实数解。 ∴λ的值不存在。 ∴不存在λ的值使数列{a,}为等差数列. [跟踪训练] ---3.解 (1)证明：由 =(6.-4)-2(a,+2) =4a,28=4(a--2)4=a-2+4, 1-2-a2=4,neN*,又a-2=1,得 {a-2}以1为首项，以)故数列 为公差的等差数列. (2)由(1)知。-2=a-?+(n-1×4=”+3 a,=2n+30,n∈n*.所以 【随堂巩固促应用】 1.B 由3a+1=3a+1,得3am+1-3a=1,即aa+1-a,= 3,,所以数列{a,}是公差为 的等差数列. 2.C 3.B 因为a?+ag=a3,所以a?+3d+a?+7d=(a?+ d=2或d=0(舍去).2d)2.又a?=2,所以 4.解 设首项为a?,公差为d,则a,=a?+(n-1)d, a+(61-1)d=217, a=4-23由已知 解得 所以a=-23+(n-1)×4=4n-27, 令a=153,即4n-27=153,解得 n=45∈N*,所以153 是所给数列的第 45项. 第 2课时 等差数列的性质 【自主学习探新知】 知识点 2.a,+a?(1)2a?(3)d cd 2d (4)pd? +qd? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)∵数列{a,}为等差数列， ∴a?+a?=2a?=6,∴a?=3. ∴a?+a?+a?+a?+a?=5a?=15. (2)设cn=a+b,,由于{a,},{b,}都是等差数列， 则{c,}也是等差数列，且c?=a?+b?=25+75=100, C?=a?+b?=100, ∴{c,}的公差d=c?-c?=0. Cg=100,即a,+b=100. [答案](1)B(2)C [跟踪训练] 1.解析(1)由a?+a?+a?+ag+a?=(a?+a?)+(a?+ag) +a?=5a?=450,得a,=90,则a?+an=2a,=180.故 选C. (2)因为{a,}是等差数列，设公差为d,则a?+a?+a?— (a?+a?+a?)=3d,ag+a?+a?—(a?+a?+ag)=3d,所 以a?+a?+a?,a?+ag+ag,a?+a?+a,也成等差数列， 所以a?+ag+a?=2(a?+ag+ag)—(a?+a?+a?)=2× 24-15=33.故选D. 答案(1)C(2)D 探究二 [例2] [解](1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, a-d)a=6a+d)=9'解得{a=31.则 这三个数为4,3,2. (2)方法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公 差为2d), 依题意，2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=—1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为—2,0,2,4. 方法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-2a代入a(a+3d)=-8, 4 得(1-3a)(1+2a)=-8,即1-4a2=-8, 化简得d2=4,所以d=2或-2. 又四个数成递增等差数列， 所以d>0,所以d=2,a=-2. 故所求的四个数为一2,0,2,4. [跟踪训练] 2.解 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 (a-3d)(a+34)+18=a4-)(+t3d)2=94, 又因为是递增数列，所以d>0, 所以解得a=±2,a=3, 此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 探究三 [例3] [解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个 养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a,},公差为d?,且 a?=1,ag=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差 数列，记为{b,},公差为d?,且b?=30,b?=10;从第 1年 到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{ca},则ca= a,b a+56,=2,(1)由a?=1,a?=2,得 {a,=0.2,得a?=1.2. b+54=10,由b?=30,b?=10,得 b-3-04,得b?=26. ∴c?=a?b?=1.2×26=31.2, 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)∵c?=a?b?=2×10=20<c?=a?b?=30, ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. [跟踪训练] 3.ABD 由题意可知，夏至到冬至的晷长(单位：寸)构成 等差数列{a},其中a?=15,a?=135,公差为d?,则135 =15+12d?,解得d?=10.同理可知，由冬至到夏至的晷 长(单位：寸)构成等差数列{b,},b?=135,b=15,公差 d?=-10.又小寒与大寒相邻，所以小寒比大寒的晷长 长10寸，即一尺，A正确；因为春分的晷长为b?=b?+ 6d?=135-60=75,秋分的晷长为a?=a?+6d?=15+ 60=75,所以春分和秋分两个节气的晷长相同，B正确； 因为小雪的晷长为an=a?+10d?=15+100=115,115 寸即一丈一尺五寸，所以小雪的晷长为一丈一尺五寸， C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b?,a?,a? =a?+3d?=15+30=45,b?=b?+3d?=135-30=105, b?>a?,所以立春的晷长比立秋的晷长长，D正确。 【随堂巩固促应用】 1.A 由等差数列的性质知a?+ag=a?+a,=2a?,所以 30,=m,得a。=零，所以cos(Ca?+a?)=cos 2a?=cos2 =-2. 2.B 由等差数列的性质得ag—a?=(8-3)d=5d,所以d =-20-1?=-6. 3.解析 由a2+a2o=101,得(a?+a??)2—2a?a10=(a?+ a?)2-2a?ao=121-2a?a??=101,所以a?a1o=10.又a +a?=a?+a?=11,a?<a?,所以a?=1,a?o=10,所以d =10-1=1. 答案 1 4.解 设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差 为 2d). (a-)at+a)-=4ota+aO+(at3)=26,由题设知 解得 ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 4.2.2 等差数列的前 n项和公式 第1课时 等差数列的前 n项和 【自主学习探新知】 1.na,+a,) na?+nn-1a 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)方法一：∵a?=10,S?=5, 56,+10d-5, a=3-5,a=a?+2d=16.解得 方法二：∵S,=S?+a?=15, ∴.15=6(a+a),,即3(a?+10)=15. :a=-5,d=5a1=3.3a,=a?+2d=16. (2)方法一：a?+a?=a?+d+a?+3d=4号， 所以a?+2d=34. 所以S?=5a?+1×5×(5-1)d=5a+2×5d =5(a?+2d)=5×24=24. a?+a?=号方法二：a?+a?=a?+as,所以 因为s=n(a,ta), 所以S.=5×(a+a)=5×粤=24. [跟踪训练] 1.解析 (1)设等差数列{a,}的公差为d, 解得 所以S。=20a?+20×1?×d=20×号+190×号=100. 故选D. (2)设该等差数列为{a,},其前 n项和为S,, 则由题意可知a?=-20,a?o=40, 所以S=10×(-20+40)=100. 答案(1)D (2)B 5