4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教版2019）

第四章 数 列 易错 因忽略数列中n∈N*而致错警示 [典例] 已知数列{a,}的通项公式为a,=3n2 -16n+1,求数列{a,}中的最小项. [正解] aa=3n2-16n+1=3(n-3) -6 813∵n∈N*,∴当 n取与 相差最小的正整数 3 时，a,取得最小值—20, ∴数列{a,}中的最小项为-20. 误区警示l 数列是特殊的函数，定义域为N*或它的有限子集 {1,2,3,⋯,n},解决数列问题首先要注意 n的取值，这 是一个易错点。 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(河南创新发展联盟高二联考)已知数列 {a,}的前 n项和为S,,且 S,=n2+2”,则a? ( )= A.4 B.8 C.9 D.12 2.已知数列{a,}的首项a?=1,且满足an+1= 2a,+2n,,则此数列的第3项是( ) 4.设S,为数列{a,}的前 n项和，S,=n2— 10n.求a?及an. B. C. D.5314A.1 3.设数列{an}满足a?=1,且an+1—a,= 1(n∈N*),则数列{a,}的通项公式为a = 提示、请完成《素能提升训练》训练二 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 AI伴学助手 在战答计 起套答宴 善彝 第1课时 等差数列的概念及通项公式 [学习任务] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法.(重点) 3.掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用.(难点) 4.掌握等差数列的判定方法.(重点) 7 ?高中数学·选择性必修 第二册 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的差都等于 常数，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的 ,公差通常用字母 表示. 知识点二 等差中项 由三个数 a,A,b组成的等差数列可以 看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a 与b的等差中项.根据等差数列的定义可以 知道， =a+b. 知识点三 等差数列的通项公式 已知等差数列{a,}的首项为a?,公差 为d. 递推公式 通项公式 a一a.=d(n∈N) a=_ (n∈N*) 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 等差数列的通项公式及相关计算 [例1] 在等差数列{a,}中， (1)已知a?=2,d=3,n=10,求an; (2)已知 a?=3,a,=21,d=2,求n; (3)已知 a?=12,a?=27,求d; (4)已知d=-3,a,=8,求a,和a,. Ⅱ规律方法IⅡ 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式 am=a?+(n-1)d 四个参数 a?,d,n,a “知三求_” 知a?,d,n求a 知a?,d,a 求n 知a?,n.a 求d 知 d,n,a 求a? 跟踪训练 1.在等差数列{a,}中， (1)已知a?=-1,a?=2,求a?与d; (2)已知a?+a?=12,a?=7,求a?. 8 第四章 数 列 探究二 等差中项的应用 [例2] 已知等差数列{a,},满足a?+a?+a? =18,a?a?a?=66.求数列{a,}的通项公式. 规律方法|l-- 三数a,b,c成等差数列的条件是b=at(或2b= a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的 计算问题.如若证{a,}为等差数列，可证 2aa+1=a,+ a,(n∈N”) 跟踪训练 2.(1)已知等差数列{a,}的前3项分别为 a— 1,2a+1,a+7,则 a的值为 ( ) A.0 B.2 C.4 D.9 (2)已知△ABC中三边a,b,c成等差数列， √a,b,c也成等差数列，则△ABC的形状 为 . 探究三 等差数列的判定或证明 1.不含参数的等差数列的判定或证明 [例3] 已知数列{a,}满足a?=4,a,=4— a4(n>1),记 b=a1-2求证：数列{b,} 是等差数列. |规律方法|I --------⋯ 等差数列的判定方法 (1)定义法：an+1-a=d(常数)(n∈N*)?{a}为 等差数列。 (2)中项法：2aa+1=a,+ax+2(n∈N*)?{a,}为等 差数列。 (3)通项法：a=pn+q(p,q为常数，n∈N*)→ {a}为等差数列. 若要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法 或中项法。 2.含参数的等差数列的判定或证明 [例4] 数列{a,}满足 a?=2,an+1=(λ-3)a +2”(n∈N*). (1)当a?=—1时，求λ及a?; (2)是否存在λ的值，使数列{a,}为等差数 列?若存在，求其通项公式；若不存在，请说 明理由. I规律方法|Ⅱ 含参数的等差数列的判定或证明方法 方法一：判定或证明递推关系式或通项公式中含 参数的等差数列问题，可先假设参数存在，利用数列的 特殊项(一般选择下标数较小的项，如a?,a?,a?等)成 等差数列，构造关于参数的方程.若关于参数的方程无 解，则不存在参数使数列成等差数列；若参数的值存 在，则将参数值求出后再代入递推关系式中证明. 方法二：根据定义法、等差中项或通项公式法转化 为关于n的等式的恒成立问题，通过对应系数相等建 立方程，若方程有解，则存在参数使数列成等差数列； 若方程无解，则不存在参数使数列成等差数列. 9 ?高中数学·选择性必修 第二册 跟踪训练 a+=6a+2,3.已知数列{a,}满足 ,且a?=3 (n∈N*). {,-2)(1)证明：数列 是等差数列； (2)求数列{a,}的通项公式. 易错 对隐含条件挖掘不透致错 警示 25,[典例] 一个等差数列的首项为 ,从第10 项起各项都比1大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是 () A.(号，+0) B.(-,2) c.(号，25) D.(号，23) 25+9d>1,解得d>[错解一] 由a??>1,得 ,故选 A.87 a<1[错解二] 由题意可得 <a<2,解得； 故选C. [错解分析] 在求解本题时，必须深刻理解 “从第 10项起各项都比1大”的含义，它不 仅表明了 a1?>1,而且隐含了 a?≤1这一条 件，若不从题目中挖掘出隐含条件，易产生 上述两种错误. ≤1,[正解] 由题意可得 <a<2,解得； ,故选 D. [答案] D Ⅱ误区警示|Ⅱ- 在解题时，必须深刻理解题意，挖掘出其中的隐含 条件，避免错解、漏解. 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.(江西余干高二月考)若数列{a,}满足3an+1 =3a,+1,则数列{a,} ( ) A.是公差为1的等差数列 13B.是公差为 的等差数列 -3C.是公差为- 的等差数列 D.不是等差数列 2.已知实数 m是1和5的等差中项，则m= ( ) A.√5 B.±√5 C.3 D.±3 3.已知等差数列{a,}中各项都不相等，a?=2, 且a?+ag=a3,则公差d= ( ) B. 12D.2或A.1 C.2 4.已知等差数列{a,}中，a?5=33,a??=217,试 判断153是不是这个数列的项?如果是，是 第几项? 提示请完成《素能提升训练》训练三 10 故a=2,a2=3,a=4,⋯,4-=n=2a= n-i(n≥2), ∴a。=n-1×”二2×⋯×4×2×2×1=n(n≥2) ∵a?=1也符合上式，∴a=n. [跟踪训练] a.=n+1a--(n≥2),2.解 因 ,=n+1,所以当n≥2时， =n+1,a-1=”n2,⋯,a=4,a?=3,所以 以上n-1个式子相乘得 .⋯·a=n二1.”-2.⋯2.3, 即a=+×1×2×1,所以a,=n(n+1 ,a?=1文2=2,,也与已知a?=2当n=1时 相符， a=nn+1所以数列{a,}的通项公式为 探究三 [例4] [解](1)∵S,=2n2-3n,∴当n=1时， a?=S,=2—3=-1. 当n≥2时，a,=S,-S,-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3 (n-1)]=4n-5, 当 n=1时，a?=4×1-5=-1,符合上式， ∴{a}的通项公式是a=4n-5. (2)∵S,=3”+b,∴当n=1时， a?=S?=3+b, 当 n≥2 时，a=S,-S。_1=(3"+b)一(3°-1+b)=2 ×3”-1, 当 n=1时，若b=-1,则a?=3-1=2=2×31-1,符合 上式；若b≠-1,则a?=3+b≠2×31-1,不符合上式. ∴当b=-1时，{a,}的通项公式是a,=2×3"-1; a.=(2×3-122当b≠-1时，{a,}的通项公式是 [跟踪训练] 3.解析(1)根据题意，数列{a,}满足 S,=2°+2—3,当n≥ 2时，有a=S,-S。1=(2”+2—3)-(2"+1-3)=2"+1;当 n=1时，有a?=S?=8-3=5,不符合a=2"+1,故a= 5,m-,2. (2)当n=1时，a?=S?=-10;当n≥2时，a=S,-Sa1 =n2—11n—[(n-1)2-11(n-1)]=n2—11n—(n2— 13n+12)=2n—12.又a?=—10也符合上式，所以a,= 2?<k<11.又k∈n*,2n-12.由7<2k—12<10,解得 所以k=10. (1{2-1二答案 (2)B 【随堂巩固促应用】 1.C a?=S?-S?=32+23-(22+22)=9. 2.C a?=1,a?=2a?+1=1,a=2a?+2×2=3. 3.解析 由题意知a?-a?=1,a?—a?=1,⋯,an—a-1=1 (n≥2), 以上各式相加，得a,-a?=1+1+⋯+1=n-1.又a?= (n-1)个 1,所以a=n(n≥2).因为当n=1时也满足上式，所以 数列{a,}的通项公式为a。=n. 答案 n 4.解 因为 S=n2—10n,所以当 n=1时， a?=S?=12—10×1=-9, 当n≥2时，a=S,-S,_1=n2—10n-[(n-1)2-10(n —1)]=2n-11. 经验证当n=1时上式成立， 所以a,=2n—11. 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 【自主学习探新知】 知识点一 同一个 公差 d 知识点二 2A 知识点三 a?+(n-1)d 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)a=a??=a?+(10-1)d=2+9×3 =29. (2)由a=a?+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得 n =10. (3)由ag=a?+5d得12+5d=27,解得d=3. (4)由a?=a?+6d得a?-2=8,解得a?=10,所以a= a?+(n-1)d=10-3(n-1)=-3n+3. [跟踪训练] 1.解(1)∵a?=-1,ag=2, a=-5,:{a4+4d=2,,解得 (2)设数列{a,}的公差为d. a+34=57,=12, (4=2.,由已知得 解得 ∴a=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a,=2×9-1=17. 探究二 [例2] [解]∵a?+a?+a?=18,∴3a?=18,a?=6. :{at,-112 a,=1(2=11.解得 当{2=1,时，a?=16,d=-5, ∴a=a?+(n-1)d=16+(n-1)(-5)=—5n+21. 当{2=时，a?=—4,d=5, ∴a,=a?+(n-1)d=-4+5(n-1)=5n-9. [跟踪训练] 2.解析(1)由题得2(2a+1)=(a-1)+(a+7),解得a =2. 3 (2)因为a,b,c成等差数列，√a,√b,√c也成等差数列，所 {25=+g+回，则2(a+c)=(√a+√c)2,即a+c= 2√ac,所以(√a-√c)2=0,故 a=c=b,所以△ABC为 等边三角形. 答案(1)B (2)等边三角形 探究三 [例3] [证明] 方法一(定义法): b+-b=。-2-a-2 4-1--。2-a-2-2 又b=a--1 ,公差为云∴数列{b,}是首项为 的等差数列. 方法二(等差中项法): b=a,-2, m--2-(-2)-22a-2---- ∴b,+b+2-26=a-2+a,-2-2×2a2-2)=0, ∴b,+ba+2=2b+1(n∈N*), ∴数列{b,}是等差数列. [例4] [解](1)∵a?=2,a?=-1,a?=(λ-3)a?+2, ∴x=2,∴a=-2a?+22=. (2)不存在.理由如下： ∵a?=2,a,+1=(λ-3)a+2”, ∴a?=(a-3)a?+2=2λ-4, a?=(λ-3)a?+22=2x2-10λ+16. 若数列{a,}为等差数列，则a?+ag=2a?, 即2+2x2-10λ+16=2(2λ-4),即λ2-7λ+13=0. ∵△=49-4×13<0,∴方程无实数解。 ∴λ的值不存在。 ∴不存在λ的值使数列{a,}为等差数列. [跟踪训练] ---3.解 (1)证明：由 =(6.-4)-2(a,+2) =4a,28=4(a--2)4=a-2+4, 1-2-a2=4,neN*,又a-2=1,得 {a-2}以1为首项，以)故数列 为公差的等差数列. (2)由(1)知。-2=a-?+(n-1×4=”+3 a,=2n+30,n∈n*.所以 【随堂巩固促应用】 1.B 由3a+1=3a+1,得3am+1-3a=1,即aa+1-a,= 3,,所以数列{a,}是公差为 的等差数列. 2.C 3.B 因为a?+ag=a3,所以a?+3d+a?+7d=(a?+ d=2或d=0(舍去).2d)2.又a?=2,所以 4.解 设首项为a?,公差为d,则a,=a?+(n-1)d, a+(61-1)d=217, a=4-23由已知 解得 所以a=-23+(n-1)×4=4n-27, 令a=153,即4n-27=153,解得 n=45∈N*,所以153 是所给数列的第 45项. 第 2课时 等差数列的性质 【自主学习探新知】 知识点 2.a,+a?(1)2a?(3)d cd 2d (4)pd? +qd? 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)∵数列{a,}为等差数列， ∴a?+a?=2a?=6,∴a?=3. ∴a?+a?+a?+a?+a?=5a?=15. (2)设cn=a+b,,由于{a,},{b,}都是等差数列， 则{c,}也是等差数列，且c?=a?+b?=25+75=100, C?=a?+b?=100, ∴{c,}的公差d=c?-c?=0. Cg=100,即a,+b=100. [答案](1)B(2)C [跟踪训练] 1.解析(1)由a?+a?+a?+ag+a?=(a?+a?)+(a?+ag) +a?=5a?=450,得a,=90,则a?+an=2a,=180.故 选C. (2)因为{a,}是等差数列，设公差为d,则a?+a?+a?— (a?+a?+a?)=3d,ag+a?+a?—(a?+a?+ag)=3d,所 以a?+a?+a?,a?+ag+ag,a?+a?+a,也成等差数列， 所以a?+ag+a?=2(a?+ag+ag)—(a?+a?+a?)=2× 24-15=33.故选D. 答案(1)C(2)D 探究二 [例2] [解](1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, a-d)a=6a+d)=9'解得{a=31.则 这三个数为4,3,2. (2)方法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公 差为2d), 依题意，2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=—1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为—2,0,2,4. 方法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-2a代入a(a+3d)=-8, 4