专题二 波的图像和多解问题（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

专题二　波的图像和多解问题 学习目标 1．能根据某一时刻波的图像和波的传播方向，画出下一时刻和前一时刻波的图像。 2．会用公式v＝λf解答实际的波动问题。 3．掌握波在传播过程中的周期性和双向性。 一、波的图像的理解和画法 1．波的图像是机械波中的一个重要内容，以机械波的图像为载体，考查波动这一“群体效应”与振动这一“个体运动”的内在联系的试题，常是高考命题的热点之一。常见问题一般包含如下几种类型：根据波的传播方向确定各质点振动方向；画出经过t时间后的波形；利用波动图像的周期性解决波的问题。 2．在解决关于波的图像问题时，应注意以下几点： （1）波的传播方向的双向性：在题目未给出传播方向时，要考虑到波沿x轴的正方向和沿x轴的负方向传播的两种可能性。 （2）波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，也就是说，每经过一个周期波形重复出现一次。从而使题目的解答出现多解的可能，即存在系列解。 [例1]　如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形。已知波速v＝0．5 m/s，画出该时刻7 s前及7 s后的瞬时波形（至少要画一个波长）。 [解析]　λ＝2 m，v＝0．5 m/s，T＝＝4 s。所以波在7 s内传播的距离为x＝vt＝3．5 m＝（1＋）λ，将现有波形向右平移λ可得7 s后的波形（粗实线）；将现有波形向左平移λ可得7 s前的波形（虚线），如图所示。 [答案]　见解析图 根据某时刻的波形，画出另一时刻的波形的方法 （1）波形平移法：当波传播距离x＝nλ＋Δx时，波形平移Δx即可。 （2）特殊质点振动法：当波传播时间t＝nT＋Δt时，根据振动方向判断相邻特殊点（波峰处质点，波谷处质点，平衡位置处质点）振动Δt后的位置进而确定波形。应用波形平移法时一定要注意平移的是波的形状而不是质点的位置，每个质点都是在各自的平衡位置附近上下振动，并不随波形迁移。从这个角度说，用特殊质点振动法更能体现各个质点的振动和所有质点波动的关系。 1．一列简谐波在t时刻的波形图如图所示，波沿x轴正方向传播，且波速为2 m/s，在图中分别画出（t＋3） s和（t－3） s两个时刻波的图像。 答案　（t＋3） s和（t－3） s两时刻的波形分别如图中实线和虚线所示。 二、波的多解问题 　　由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题。 1．造成波的多解的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。 ②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 2．波动问题的几种可能性 （1）质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 （2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下（或向左、向右）两种可能。 （3）只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。 （4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。 [例2]　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0．5 s，问： （1）这列波的可能波速的表达式； （2）若波向左传播，且3T＜Δt＜4T，波速是多大？ （3）若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？ [解析]　（1）未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解。 当波向右传播时： v右＝ m/s＝4（4n＋1） m/s（n＝0，1，2，…） ① 当波向左传播时： v左＝ m/s＝4（4n＋3） m/s（n＝0，1，2，…）。 ② （2）明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T， 设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ， 即n＝3，代入②式 v左＝4（4n＋3） m/s＝4×（4×3＋3） m/s＝60 m/s。 （3）给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0．5 m＝34 m＝λ，故波向右传播。 [答案]　见解析 2．如图所示，实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形图，虚线是在t2＝0．2 s时刻的波形图。 （1）若波速为55 m/s，求x＝5 m处的质点M在t1时刻的振动方向。 （2）在t1到t2时间内，x＝5 m处的质点M通过的路程为1．8 m，求波的传播速度。 解析　（1）从波的图像可以看出，波长为λ＝4 m， 若波沿x轴正方向传播，波传播的距离为x1＝λ（n＝0，1，2，3，…）， 波传播的速度为v1＝＝5（4n＋1）m/s（n＝0，1，2，3，…）， 无论n取值多少都不能求出波速为55 m/s， 若波沿x轴负方向传播，波传播的距离为x2＝λ（n＝0，1，2，3，…）， 波传播的速度为v2＝＝5（4n＋3）m/s（n＝0，1，2，3，…）， 当n＝2，解得v2＝55 m/s， 则波沿x轴负方向传播，根据波速与质点的振动方向的关系，则质点M沿y轴负方向振动。 （2）从波的图像可以看出振幅为A＝20 cm＝0．2 m，M通过的路程为1．8 m，则经历的时间是两个周期再加四分之一周期，波传播的距离为x3＝2λ＋λ＝9 m， 波速大小为v3＝＝45 m/s。 答案　见解析 1．（波的图像）如图所示，一根弹性绳沿x轴方向放置，左端在原点O，用手握住绳的左端使其沿y轴方向做周期为1 s的简谐运动，于是在绳上形成一列简谐波。 （1）若从波传到平衡位置在x＝1 m处的M质点时开始计时，则经过的时间Δt等于多少时，平衡位置在x＝4．5 m处的N质点恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置？ （2）在图中准确画出当时弹性绳上的波形。 （3）从绳的左端点O开始做简谐运动起，当它通过的总路程为120 cm时，N质点振动通过的总路程是多少？ 解析　（1）由波的传播特性和波动图像知，波长λ＝2 m。波从x＝1 m传至x＝4．5 m处的N质点需要的时间t＝T，且此时x＝4．5 m处的N质点正向y轴负方向运动；N质点恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置还需，因此Δt＝T＝2．25 s。 （2）此时N质点振动了半个周期，波形传过N质点半个波长，故波形如图所示。 （3）由题图知，振幅A＝8 cm，质点在一个周期内通过的路程为4A＝32 cm，O质点通过120 cm的路程共经过的时间为T；波从x＝0传至x＝4．5 m处的N质点需要时间t1为T，故N质点运动的时间为T，所以N质点振动通过的总路程为4A×＝6A＝48 cm。 答案　（1）2．25 s　（2）见解析图　（3）48 cm 2．（波传播的多解问题）一列横波如图所示，波长λ＝8 m，实线表示t1＝0时刻的波形图，虚线表示t2＝0．005 s时刻的波形图，则： （1）波速可能为多大？ （2）若波沿x轴负方向传播且2T＞t2－t1＞T，波速又为多大？ 解析　（1）若波沿x轴正方向传播，则有 t2－t1＝＋nT， 得T＝ s， 则波速v＝＝400（4n＋1） m/s（n＝0，1，2，…）， 若波沿x轴负方向传播，则有t2－t1＝T＋nT， 得T＝ s， 则波速v＝＝400（4n＋3） m/s（n＝0，1，2，…）。 （2）若波沿x轴负方向传播且2T＞t2－t1＞T， 则有t2－t1＝＋T， 解得T＝ s， 所以速度v＝＝2 800 m/s。 答案　（1）若波沿x轴正方向传播，v＝400（4n＋1） m/s（n＝0，1，2，…）；若波沿x轴负方向传播，v＝400（4n＋3） m/s（n＝0，1，2，…）　（2）2 800 m/s 1．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为 （　　） A．4 m、6 m和8 m B．6 m、8 m和12 m C．4 m、6 m和12 m D．4 m、8 m和12 m 解析　由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三种可能：λ＝6 m，＝6 m，λ＝6 m，故波长的可能值为6 m，12 m，4 m，选项C正确。 答案　C 2．（多选）如图所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方与a点相距0．15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是 （　　） A．0．6 m B．0．3 m C．0．2 m D．0．1 m 解析　由题意可知，a、b间的距离为半波长的奇数倍，即：xab＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），解得λ＝ m（n＝0，1，2，…），当n＝0时，λ＝0．3 m，选项B正确；当n＝1时，λ＝0．1 m，选项D正确；波长不可能等于0．6 m和0．2 m，选项AC错误。 答案　BD 3．（多选）如图甲所示，一列机械波沿直线ab向右传播，ab＝2 m，a、b两点的振动情况如图乙所示，下列说法中正确的是 （　　） A．波速可能是 m/s B．波长可能是 m C．波速可能是 m/s D．波速可能是 m/s 解析　由振动图像得，质点振动周期T＝4 s，在t＝0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形得2＝λ，则λ＝ m，则波速v＝ m/s（n＝0，1，2，…）。当n＝0时，波长λ＝ m，波速v＝ m/s；当n＝1时，波长λ＝ m，波速v＝ m/s；当n＝2时，波长λ＝ m，波速v＝ m/s；当n＝10时，波长λ＝ m，波速v＝ m/s。 答案　ABD 4．（多选）一列横波在t＝0时刻的波形如图中实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示。由此可以判定此波的 （　　） A．波长一定是4 cm B．周期一定是4 s C．振幅一定是2 cm D．传播速度一定是1 cm/s 解析　解波形的题目，一般可分为两类：一类是读图，可以直接从图上读出振幅和波长，此题便可读出波长是4 cm，振幅是2 cm，故选项AC正确；另一类是根据图像给定的条件，去计算波速和周期，判定波传播的方向，判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形。解决这类问题是建立在正确读图和对波动的正确理解上的，是较深层次的考查。此题表示出在1 s时间内图像的变化，若波沿x轴正方向传播这1 s时间与周期的关系为nT＋T＝1 s（n＝0，1，2，3，…）是不确定解，因此选项B错误；同理，传播速度也不确定，选项D错误。 答案　AC 5．战斗绳是目前非常流行的一种高效锻炼全身的健身器材，在某次训练中，运动员手持绳的一端甩动形成的绳波可简化为简谐波，图甲是t＝0.3 s时的波形图，x＝0处质点的振动图像如图乙所示，质点A的平衡位置在x＝2.5 m处，则(　　) A．这列波向x轴负方向传播 B．这列波的传播速度为1 m/s C．t＝0.6 s时质点A的加速度沿y轴负方向 D．t＝0.3 s至t＝0.55 s时间内，质点A通过的路程为3 cm 解析　由图乙，t＝0.3 s时，x＝0处的质点在平衡位置，将沿y轴负方向运动，对照图甲，由带动法可知，该波沿x轴正方向传播，A错误；由图甲知波长为λ＝6 m，由乙图知周期为T＝0.6 s，波速v＝＝10 m/s，B错误；t＝0.3 s到t＝0.6 s，经过半个周期，质点A运动到平衡位置下方，加速度沿y轴正方向，C错误；ω＝＝ rad/s，x＝0处质点的振动方程为y＝2sin t cm，A质点比x＝0处质点晚振动的时间是0.25 s，所以A质点的振动方程为yA＝2sin (t－0.25) cm＝2sin cm，在t＝0.3 s时，A质点的位移y1＝2sin cm＝1 cm，在t＝0.55 s时，A质点的位移y2＝2sin cm＝0，即t＝0.55 s时，A质点恰好回到平衡位置，由于t＝0.3 s至t＝0.55 s的时间间隔大于T小于T，质点A先到波峰再到平衡位置，通过的路程为1 cm＋2 cm＝3 cm，D正确。 答案　D 6．一列简谐横波在一均匀介质中传播的速度v＝10 m/s，P、Q是该波传播过程中的两个质点，它们的平衡位置相距x＝4 m，这列波的波长大于2 m而小于20 m。如图所示是波的传播过程中P、Q两质点的振动图像。求： （1）波的能量在P、Q间传播所需要的时间Δt； （2）该波的振动周期T。 解析　（1）已知该波在一均匀介质中传播，则Δs＝vΔt，解得Δt＝0．4 s。 （2）若波从P向Q传播，x＝λ（n＝0，1，2，3，…） 由公式v＝得T＝ s＝ s（n＝0，1，2，3，…） 因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0和1，故周期为T＝ s或T＝ s， 同理，若波从Q向P传播，x＝λ（n＝0，1，2，3，…） 则T＝ s（n＝0，1，2，3，…） 因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0和1，故周期为 T＝1．6 s或T＝0．32 s。 答案　（1）0．4 s　（2） s或 s，1．6 s或0．32 s 7．一列简谐横波向右传播，波速为v，沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图所示，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　由题中条件可知，P、Q两质点间的波形有如图所示的四种。 对于图（1），λ＝2L，Q质点振动到波谷需时间t＝T＝××；对于图（2），λ＝L，Q质点振动到波谷需时间t＝T＝×；对于图（3），λ＝L，Q质点振动到波谷需时间t＝T＝×；对于图（4），λ＝L，Q质点振动到波谷需时间t＝T＝××。综上可知t的可能值有4个。 答案　D 8．（多选）如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0．2 s时刻的波形图。则 （　　） A．这列波的周期可能是1．2 s B．这列波的波长为12 m C．这列波可能向左传播4 m D．这列波的波速可能是40 m/s 解析　由题图可知，该波的波长为λ＝12 m，设波的周期为T。若波向右传播，则有：t＝（n＋）T1，得T1＝ s（n＝0，1，2，…），波速为v＝＝20（3n＋2） m/s（n＝0，1，2，…），当n＝0时，波速v＝40 m/s；若波向左传播，则t＝（n＋）T2，得T2＝ s（n＝0，1，2，…），波速为v＝20（3n＋1） m/s（n＝0，1，2，…）。由以上公式可知，周期不可能为1．2 s，波速可能为40 m/s，故A错误，BD正确；根据波形的平移法可知，这列波可能向左传播4 m，故C正确。 答案　BCD 9．(多选)简谐横波某时刻波形如图所示。a为介质中的一个质点，由图像可知(　　) A．此时质点a的加速度方向一定沿y轴负方向 B．此时质点a的速度方向一定沿y轴负方向 C．经过半个周期，质点a的位移一定为负值 D．经过半个周期，质点a通过的路程一定为2A 解析　质点a做简谐运动，其回复力指向平衡位置，故此时其加速度一定沿y轴负方向。速度方向与波的传播方向有关，若波向右传播，则此时质点a向y轴正方向运动；若波向左传播，则此时质点a向y轴负方向运动。经半个周期后，质点a到了x轴下方的对称点，通过的路程为2A。 答案　ACD 10．浅层水波可视作简谐横波，如图所示，A、B为沿波源向外的一条直线上相距d＝0.15 m的两点，已知波源的振动周期为0.2 s，A点在振动的最高点，B点在平衡位置。下列判断正确的是(　　) A．水波的波长最大为0.2 m B．若B点向上振动，则水波传播的最大速度为3 m/s C．若B点向下振动，则水波传播的最小速度为1 m/s D．质点B刚振动时，速度向右 解析　由题意可知，A点在振动的最高点，B点在平衡位置，则d＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)，整理得λ＝(n＝1，2，3，…)，当n＝1时，波长最大，为λ＝0.6 m，A错误；若B点在平衡位置向上振动，当水波传播方向由A向B时，有d＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，得λ＝(n＝0，1，2，…)，最大波长为0.6 m，最大波速为v＝＝3 m/s，当水波传播方向由B向A时，有d＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，得λ＝(n＝0，1，2，…)，最大波长为0.2 m，最大波速为v＝1 m/s，则B点向上振动，水波传播的最大速度为3 m/s，B正确；由已给信息无法求得最小波速，波速可以无限趋近零，故C错误；质点B刚振动时，速度方向沿上下方向，D错误。 答案　B 11．（多选）地震波既有横波，也有纵波，某监测站截获了一列沿x轴负方向传播的地震横波，在t s与（t＋0．2） s两个时刻，x轴上－3 km～3 km区间内的波形图分别如图中实线和虚线所示，则下列说法正确的是（　　） A．x＝1．5 km处质点离开平衡位置的最大距离是2A B．该地震波的最大周期与摆长为0．16 m的小角度单摆的周期相等（当地重力加速度g＝π2） C．该地震波最小波速为5 km/s D．在t s到（t＋0．2） s的时间内，x＝3 km的质点沿x轴负方向迁移到x＝2 km的位置 解析　机械波在传播时，质点离开平衡位置的最大距离等于振幅，由题图知振幅为A，故A错误；根据题图可知，该地震波的周期为T＝ s，可得Tmax＝0．8 s，摆长为0．16 m的小角度单摆的周期为T'＝2π＝2π× s＝0．8 s，故B正确；由题图知波长λ＝4 km，v＝ km/s，当n＝0时，该地震波最小波速为5 km/s，故C正确；横波波形图上介质中所有质点都不随波向x轴负方向迁移，故D错误。 答案　BC 12．如图所示，实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0和t'＝0．06 s时刻的波形。已知在t＝0时刻，x＝0．3 m处的质点向y轴正方向运动。 （1）判断该波的传播方向； （2）求该波的最小频率； （3）若3T＜0．06 s＜4T，求该波的波速。 解析　（1）由波形和质点的振动方向关系可知，0．3 m处质点向上运动，经达到最高点，所以波峰向右移动，则该波沿x轴正方向传播。 （2）通过图像可知，在0．06 s时间里，波向右传播， x1＝nλ＋λ， 所以有0．06 s＝nT＋T， 则有Tmax＝0．06 s， 所以该波的最小频率fmin＝＝12．5 Hz。 （3）若3T＜0．06 s＜4T，则有0．06 s＝T， 可得T＝ s， 该波的波速为v＝×15 m/s＝75 m/s。 答案　（1）沿x轴正方向传播　（2）12．5 Hz （3）75 m/s 学科网（北京）股份有限公司 $$