6．受迫振动 共振（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

6．受迫振动　共振 学习目标 核心素养 1．知道阻尼振动和阻尼振动能量的转化情况。 2．知道什么是受迫振动及产生条件，掌握物体做受迫振动的特点。 3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道共振常见的应用和危害。 一、振动中的能量损失 1．固有频率 在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定，我们把这种振动称为固有振动。 2．阻尼振动 （1）阻尼振动：振幅随时间逐渐减小的振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快。 （2）阻尼振动的图像：如图，振幅减小，最后停止振动。 （3）实际振动的理想化：当阻尼很小时，在不太长的时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作无阻尼振动来处理。 二、受迫振动 1．驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，叫作驱动力。 2．受迫振动：系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。 3．受迫振动的频率：做受迫振动的物体振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 三、共振现象及其应用 1．条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。 2．特征：在无阻尼受迫振动中，共振时受迫振动的振幅最大。 3．共振曲线：如图所示。 1．判断下列说法的正误。 （1）受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关。 （√） （2）驱动力频率越大，振幅越大。 （×） （3）共振只有害处没有好处。 （×） （4）做受迫振动的物体一定会发生共振。（×） （5）阻尼振动的频率随振幅的减小而不断减小。 （×） 2．A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为f的驱动力作用下做受迫振动，则　　　　的振幅较大，A的振动频率是　　　　，B的振动频率是　　　　。  答案　A　f　f 要点一　比较简谐运动、阻尼振动和受迫振动 “余音绕梁，三日不绝。”形容歌声或音乐的优美，耐人寻味。但在日常生活中，当弹奏结束后，乐声会越来越弱，并最终消失，这是为什么呢？ 提示：由于乐声受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，因此乐声也就越来越弱了。 比较项目 振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 概述 振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线 振幅逐渐减小的振动 振动系统在驱动力作用下的振动 产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 续表 比较项目 振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 频率 固有频率 频率不变 驱动力频率 振幅 不变 减小 大小变化不确定 振动图像 形状不确定 振动能量 振动物体的机械能不变 能量逐渐减小 由产生驱动力的物体提供 实例 弹簧振子振动、单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动 [例1]　（多选）单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是（　　） A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能 B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能 C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能 D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能 [解析]　在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使动能逐渐转化为内能，故选项C错误，选项D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和 重力势能仍在不断地相互转化，由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以重力势能相等，但动能不相等，故选项A错误，选项B正确。 [答案]　BD 1．如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定后，它的振动周期为 （　　） A． s B． s C．2 s D．4 s 解析　受迫振动的周期等于驱动力的周期，故T＝ s＝ s。 答案　B 要点二　对共振的理解 唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声，和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。那么，磬为什么会不敲自鸣呢？和尚的朋友又是如何治好和尚的“心病”的呢？ 提示：磬不敲自鸣是因为其固有频率和寺里的钟声频率相同引起了共振；和尚的朋友用钢锉在磬上锉了几处，就改变了磬的固有频率，从而破坏了磬和寺里钟声的共振条件，磬也就不会不敲自鸣了。 共振及其应用与防止 1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。 2．共振曲线 如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动系统的振幅。 （1）从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。 （2）从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。 （3）f0的意义：表示固有频率。 （4）认识曲线的形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小。f与f0相差越大，振幅越小。 3．共振的利用与防止 （1）利用：由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如共振筛、荡秋千、共振转速计等。 （2）防止：由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好，如：部队过桥应便步走。 [例2]　如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是 （　　） A．甲的振幅较大，且振动频率为18 Hz B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz [解析]　根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，因为甲的固有频率等于驱动力的频率，做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以B选项正确。 [答案]　B 　　分析解决有关受迫振动、共振问题的方法 （1）受迫振动的周期和频率由外界驱动力的周期和频率决定，与振动物体自身的固有周期和固有频率无关。 （2）受迫振动的振幅大小与外界驱动力的周期和频率有关。 （3）在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大。 （4）在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。 2．某种减噪装置的结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则(　　) A．系统振动频率为200 Hz B．系统振动频率为300 Hz C．为获得更好的减噪效果，可仅增大L的大小 D．为获得更好的减噪效果，可仅换用σ更大的薄板 解析　系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确。由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好的减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝(SI制)可知，应减小σ或L，故C、D错误。 答案　B 1．（阻尼振动）（多选）对于阻尼振动，下列说法正确的是 （　　） A．阻尼振动就是减幅振动，其振动的能量不断减少 B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用 C．阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小 D．对做阻尼振动的振子来说，其机械能逐渐转化为内能 解析　振动系统的振动频率与本身的结构有关，为固有频率，所以在阻尼振动中，振幅减小，振动能量减少，最终转化为内能，但周期不变，故AD正确，C错误。实际的振动系统都要受到摩擦或空气阻力等阻尼作用，故B正确。 答案　ABD 2．（共振现象）（多选）在喜剧电影《功夫》中，包租婆的“狮子吼”可以将酒杯震碎，若我们用手指轻弹同样的酒杯，听到清脆的声音，并测得该声音的频率为f。下列说法正确的是（　　） A．包租婆震碎酒杯是声波的共振现象 B．震碎的酒杯发生了阻尼振动 C．包租婆发出的震碎酒杯的“狮子吼”的频率接近f D．包租婆发出的震碎酒杯的“狮子吼”的频率一定远大于f 解析　根据共振的条件与共振的特点可知，当物体发生共振时，物体的振幅最大，甚至可能造成物体解体，故用“狮子吼”将酒杯震碎是共振现象，而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，酒杯的固有频率为f，故“狮子吼”的频率接近f。故AC正确。 答案　AC 3．(受迫振动)飞力士棒(Flexi-bar)是德国物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根PVC软杆、两个负重头和两个握柄组成，如图所示。棒的固有频率为4.5 Hz，下列说法正确的是(　　) A．用力越大，棒振动得越快 B．增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大 C．增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小 D．双手驱动该棒每分钟振动270 次，则棒的振幅最大 解析　使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A错误；增大手驱动的频率，飞力士棒振动的频率随之增大，但是振幅不一定越来越大，故B、C错误；双手驱动该飞力士棒每分钟振动270 次，则驱动力的频率f＝ Hz＝4.5 Hz，驱动力的频率与飞力士棒的固有频率相等，会产生共振，故D正确。 答案　D 1．下列振动中属于受迫振动的是 （　　） A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动 B．打点计时器接通电源后，振针的振动 C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动 D．弹簧振子在竖直方向上下振动 解析　受迫振动是振动物体在驱动力作用下的运动，故只有B对。AC是阻尼振动，D是简谐运动。 答案　B 2．（多选）如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知（　　） A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态 B．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3 C．假如让振子自由振动，它的频率为f2 D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3 解析　由题图可知当驱动力的频率为f2时，振子的振幅最大，即振子发生共振现象，故A正确；由共振条件知振子的固有频率为f2，所以C正确，D错误；振子做受迫振动时，振动频率由驱动力的频率决定，故B正确。 答案　ABC 3．（多选）如图所示为实验室中一单摆的共振曲线，由共振曲线可知（　　） A．该单摆的摆长约为1 m B．共振时单摆的振幅为12 cm C．若增大摆球的质量，则单摆的固有频率将增大 D．若增大摆球的质量，则单摆的固有频率将减小 解析　由共振曲线可知，单摆的固有频率为0．5 Hz，则固有周期为T＝＝2 s。代入单摆周期公式T＝2π，解得l＝1 m，故A正确；共振时，单摆振幅最大，为12 cm，故B正确；单摆周期公式为T＝2π，与摆球质量无关，改变摆球质量，周期不变，故CD错误。 答案　AB 4．(多选)据古书记载，古时京城有户人家挂着的铜盘每天早晚轻轻自鸣两次，人们十分惊恐。一学者判断，这是铜盘与皇宫早晚的钟声共鸣所致。后来把铜盘磨薄一些，它就不再自鸣了。关于这个现象，下列说法中正确的是(　　) A．共鸣是一种共振 B．铜盘共鸣时的振动频率等于皇宫钟声的频率 C．把铜盘磨薄改变了驱动力的频率 D．把铜盘磨薄使铜盘的固有频率不等于驱动力的频率 解析　共鸣是可发声的物体之间的共振，故A正确；发生共鸣的条件是频率相等，故B正确；把铜盘磨薄改变了铜盘的固有频率，故C错误；把铜盘磨薄使铜盘的固有频率不等于驱动力的频率，这样就不会发生共鸣了，故D正确。 答案　ABD 5．（多选）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长L为12．6 m，列车固有振动周期T为0．315 s。下列说法正确的是（　　） A．列车的危险速率为40 m/s B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象 C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行 解析　对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率为v＝＝40 m/s，A正确。为了防止共振现象发生，列车过桥时需要减速，B正确。列车运行的振动频率等于驱动力的频率，C错误。由v＝可知，L增大，T不变，v变大，D正确。 答案　ABD 6．如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问： （1）开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？ （2）在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？ 解析　（1）用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反（F＝－kx），所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期（T固）和固有频率（f固），根据题意T固＝ s＝0．5 s，f固＝ Hz＝2 Hz。由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动。 （2）由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0．25 s，故振子做受迫振动。振动达稳定状态后，其频率（或周期）等于驱动力的频率（或周期），而跟固有频率（或周期）无关。即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0．25 s。 答案　（1）简谐运动　0．5 s　2 Hz　阻尼振动　（2）受迫振动　0．25 s 7．(多选)如图所示，某儿童玩具由卡通人物、具有一定质量的弹簧和小球三部分组成，这三部分自上而下紧密连接在一起，手握卡通人物并保持静止，将小球下拉一定距离后由静止释放(弹簧在弹性限度内)，可以观察到小球在上下振动过程中其振幅快速减小，依据上述现象，下列说法正确的是(　　) A．小球在运动过程中动能一直在减小 B．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变 C．小球向上运动时，小球的机械能可能减小 D．小球每次经过同一位置时，弹簧的机械能都相等 解析　小球在从最低点向平衡位置运动过程中做加速运动，动能增大，A错误；小球在上下振动过程中其振幅快速减小，在做阻尼运动，即小球和弹簧组成的系统受到阻力做功，机械能不守恒，B错误；小球在从平衡位置向最高点运动过程中，弹力和阻力同时对小球做负功，小球的机械能减小，C正确；由于手握卡通人物并保持静止，所以小球每次经过同一位置时，弹簧的形变量都相同，弹性势能都相等，即弹簧的机械能都相等，D正确。 答案　CD 8．（多选）如图所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根张紧的水平细线上，当质量为M的小球在垂直于水平细线的平面内无外力地摆动时，下列说法正确的是（　　） A．稳定后两摆的振动周期是相同的 B．当两摆的摆长相等时，A摆的振幅最大 C．悬挂质量为M的小球的竖直细线长度变化时，A摆的振幅不变 D．A摆的振幅可能超过B摆的振幅 解析　B摆摆动时，A摆做受迫振动，稳定后，A摆的振动周期应等于驱动力的周期，即等于B摆的周期，故选项A正确；当A摆的摆长与B摆的摆长相等时，两者的固有周期相等，而B摆的固有周期就是使A摆做受迫振动的驱动力的周期，可见A摆会处于共振状态，振幅最大，选项B正确；B摆的摆长发生变化，就是使A摆做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于A摆的固有周期不变，这样周期差便发生了变化，因而A摆的振幅也发生了变化，选项C错误；振动系统的能量不仅与振幅有关，还与振动系统的质量有关，如果质量M比m大得多，从B摆向A摆传递的能量有可能使A摆的振幅大于B摆的振幅，选项D正确。 答案　ABD 9．（多选）如图所示为路面共振破碎机，用于旧水泥路面破碎。破碎机工作锺头上装有专用传感器，感应路面的振动反馈，由电脑自动调节振动频率，激发锤头下水泥路面局部范围产生共振，使路面内部颗粒间的摩擦阻力迅速减小而崩溃，从而将水泥路面击碎。结合你所学的知识判断以下说法正确的是（　　） A．锤头周期性击打路面过程中，传感器接收到的频率就是锺头击打路面的频率 B．锤头周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率随着振幅减小而减小 C．调节振动锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振 D．水泥路面发生共振时，水泥的内部颗粒所做的运动一定是简谐振动 解析　不管系统的固有频率如何，它做受迫振动的频率总等于周期性驱动力的频率，所以传感器接收到的频率是锤头击打路面的频率，故A正确；系统的固有频率与是否受到外力作用无关，锤头周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率不变，故B错误；根据共振发生的条件可知当振动锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振，故C正确；做简谐运动的物体受到的回复力是振动系统内部的相互作用力，水泥路面发生共振时，其受到外力作用，所以此时水泥的内部颗粒所做的运动不是简谐振动，故D错误。 答案　AC 10．（多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是 （　　） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s 解析　若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，故A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确；O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则振动周期为3 s，故D正确。 答案　CD 11．（多选）蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到落在丝网上的昆虫对丝网造成的振动。当丝网的振动频率为f＝200 Hz左右时，丝网的振幅最大，最大振幅为0．5 cm。已知该丝网共振时，蜘蛛能立即捕捉到丝网上的昆虫。则对于落在丝网上的昆虫（　　） A．当其翅膀振动的频率为200 Hz左右时，蜘蛛能立即捕捉到它 B．当其翅膀振动的周期为0．05 s左右时，蜘蛛能立即捕捉到它 C．当其翅膀振动的频率为300 Hz左右时，蜘蛛能立即捕捉到它 D．当其翅膀振动的频率为250 Hz时，该丝网的振幅一定小于0．5 cm 解析　当昆虫翅膀振动的频率与丝网的振动频率相等时，即翅膀振动的频率f'＝f＝200 Hz时，蜘蛛能立即捕捉到它，故A正确，C错误；根据周期与频率之间的关系得T＝ s＝0．005 s，当昆虫翅膀振动的周期为0．005 s左右时，蜘蛛能立即捕捉到它，故B错误；当昆虫翅膀振动的频率为250 Hz左右时，没有发生共振，故该丝网的振幅小于0．5 cm，故D正确。 答案　AD 12．在本校实验室中有个实验仪器如图甲所示，五个摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上。如图乙所示是E单摆做受迫振动时的共振曲线，它表示振幅与驱动力的频率的关系。问：（摆角不超过5°，重力加速度g取π2） （1）先让A、B、C、D其中的哪一个单摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈？ （2）E单摆的摆长大小？ （3）若将E单摆从本地移至北京某高中的实验室中，共振曲线的“峰”将怎样移动？（当地的重力加速度比北京的小） 解析　（1）由图甲可知，E与A的摆长是相等的，根据共振的条件可知，让A单摆摆动起来，E单摆的振动最为剧烈。 （2）由图乙可知，当驱动力的频率等于0．5 Hz时，E的振幅最大，所以E单摆的固有频率为0．5 Hz，固有周期T＝2 s，根据单摆的周期公式T＝2π，代入数据得l＝1 m。 （3）若将E单摆从本地移至北京某高中的实验室中，因重力加速度变大，故固有周期减小，固有频率变大，共振曲线的“峰”将向右移动。 答案　见解析 学科网（北京）股份有限公司 $$