5．实验：用单摆测量重力加速度（教师用书）-【勤径学升】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

5．实验：用单摆测量重力加速度 学习目标 1．会制订科学探究方案，会使用实验器材操作实验，获取数据。 2．能根据数据形成结论，会分析导致实验误差的原因。 3．熟练应用图像法和公式法处理实验数据。 一、实验思路 由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长和周期，即可求出当地的重力加速度。 二、实验装置 带孔小钢球一个（直径不大于2 cm）、细线一根（长度不短于1 m）、刻度尺、秒表、游标卡尺、铁架台及铁夹。 三、进行实验 1．做单摆 （1）让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结。 （2）把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记。 2．测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l'，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l'＋，即为单摆的摆长。 3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30次～50次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。 4．变摆长：将单摆的摆长变短（或变长），重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。 四、数据处理 1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。设计如下表所示的实验表格： 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 1．本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；是单摆还是复摆；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而忽略不计的程度。 2．本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。因此要注意测准时间（周期），要从摆球通过平衡位置开始计时，不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 3．本实验中在测量长度（摆线长、摆球的直径）时，读数读到毫米即可（即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米）。 六、注意事项 1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝等，长度一般不短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低点时计数，要测多次（如30次或50次）全振动的时间，用取平均值的方法求周期。 一、实验原理和实验操作 [例1]　某实验小组在利用如图装置测定当地重力加速度的实验中： （1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为　　　　 cm。  （2）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是　　　　。（填选项前的字母）  A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大 D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 [解析]　（1）主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，9 mm＋7× mm＝9．7 mm＝0．97 cm，不需要估读。 （2）单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置开始计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大、体积较小的摆球，故D错误。 [答案]　（1）0．97　（2）C 二、实验数据处理 [例2]　将一单摆装置竖直挂于某一深度h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。 （1）利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为　　　　。  A．天平　B．毫米刻度尺　C．螺旋测微器 （2）如果实验中所得到的T2－l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的　　　　。  （3）由图像可知，小筒的深度h＝　 m，  当地的重力加速度g≈　　　　 m/s2。  [解析]　（1）本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。 （2）由单摆周期公式得：T＝2π， 得到：T2＝， 当l＝0时，T2＝＞0，则真正的图像是a。 （3）当T2＝0时，l＝－h，即图像与l轴交点坐标， 故h＝－l＝30 cm＝0．30 m，图线的斜率大小k＝， 由图并结合数学知识得到k＝4 s2/m， 解得g＝π2 m/s2≈9．86 m/s2。 [答案]　（1）B　（2）a　（3）0．30　9．86 三、创新型实验 [例3]　在暗室中用如图甲所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：铁架台、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、带荧光刻度的毫米刻度尺、频闪仪。实验步骤如下： ①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴落下。 ②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴。 ③用竖直放置的毫米刻度尺测得各个水滴所对应的刻度。 ④处理实验数据。 （1）实验中第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴时，频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为　　　　　　。  （2）实验中第一次观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较圆的水滴到第一个水滴O的距离如图乙所示，根据数据测得当地重力加速度应为g≈　　　　 m/s2，水滴C此时的速度vC≈　　　　 m/s。（结果都保留三位有效数字）  [解析]　（1）频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为f1＝f2。 （2）根据匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，有： 两水滴之间的时间为 T＝ s， vC＝≈2．28 m/s， 选择图中的后四段位移，根据逐差法有： sCD－sAB＝2a1T2， sDE－sBC＝2a2T2， g＝≈9．72 m/s2。 [答案]　（1）f1＝f2　（2）9．72　2．28 1．在“用单摆测量重力加速度”实验中： （1）除长约1 m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要　　　　。  A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 （2）用游标卡尺测小球的直径，如图所示，则小球的直径是　　　　mm。  （3）下列做法正确的是　　　　。  A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度不超过5° D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长 解析　（1）在实验中，需要测量单摆的周期，所以需要秒表，需要测量摆线的长度，所以需要米尺，摆球的质量不需要测量，所以不需要天平或弹簧测力计，AB正确。 （2）游标卡尺的主尺读数为12 mm，游标读数为0．1×5 mm＝0．5 mm，所以最终读数为：12 mm＋0．5 mm＝12．5 mm。 （3）摆球经过平衡位置时速度最大，在该处计时测量误差较小，A错误；测量n次全振动的时间t，通过T＝求解周期，只测量一次误差较大，B错误；摆球在同一竖直面内摆动，不能做圆锥摆，当摆角不超过5°时其摆动可视为简谐振动，C正确；选用的细线应细、质量小，且不易伸长，D正确。 答案　（1）AB　（2）12．5　（3）CD 2．在做“用单摆测量重力加速度”的实验时。 （1）下列给出的材料中应选择　　　　作为摆球与摆线，组成单摆。  A．木球 B．铁球 C．柔软不易伸长的丝线 D．粗棉线 （2）在测定单摆摆长时，下列的各项操作正确的是　　　　。  A．装好单摆，抓住摆球，用力拉紧，测出摆线悬点到摆球球心之间的距离 B．让单摆自由下垂，测出摆线长度再加上摆球直径 C．取下摆线，测出摆线长度后再加上摆球半径 D．测出小球直径，把单摆固定后，让小球自然下垂，用刻度尺量出摆线的长度，再加上小球的半径 （3）实验测得重力加速度的值较当地重力加速度的值偏大，可能的原因是　　　　。  A．摆球的质量偏大 B．单摆的振幅偏小 C．计算摆长时没有加上摆球的半径值 D．将实际振动次数n次误记成（n＋1）次 （4）用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝　　　　。  解析　（1）为减小空气阻力对实验的影响，应选用密度大而体积小的球作为摆球，A错误，B正确；摆线应选长度不易发生变化的线作为摆线，D错误，C正确。 （2）单摆摆长等于摆球半径与摆线长度之和，应先测出摆球直径，然后把单摆悬挂好，再测出摆线长度，摆球半径与摆线长度之和是单摆摆长，D正确。 （3）由单摆周期公式T＝2π解得g＝，重力加速度与摆球质量无关，A错误；重力加速度与振幅无关，B错误；算摆长时没有加上摆球的半径值，摆长偏小，重力加速度的测量值偏小，C错误；将实际振动次数n次误记成（n＋1）次，根据T＝所测周期T偏小，重力加速度的测量值偏大，D正确。 （4）由单摆周期公式T＝2π，解得g＝ 答案　（1）BC　（2）D　（3）D　（4） 3．小雷在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97．20 cm；用20分度的游标卡尺测得小球直径如图所示，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间。则： （1）小球直径为　　　　 cm。  （2）如果他在实验中误将49次全振动数记为50次，测得的g值　　　　（选填“偏大”“偏小”或“准确”）。  （3）他以摆长（l）为横坐标、周期的二次方（T2）为纵坐标作出了T2－l图线，测得图线的斜率为k，则测得的重力加速度g＝　　　　（用题目中给定的字母表示）。  （4）小雷根据实验数据作出的图像如图所示，造成图像不过坐标原点的原因可能是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。  解析　（1）由题图可知，小球的直径 D＝29 mm＋0．05 mm×18＝29．90 mm＝2．990 cm。 （2）实验中将49次全振动数记为50次，会导致测得的周期偏小，根据g＝知，测得的重力加速度偏大。 （3）根据单摆的周期公式T＝2π得T2＝l， 可知斜率k＝，则重力加速度g＝。 （4）图像不通过坐标原点，将图像向右平移1 cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1 cm，故可能是测摆长时漏掉了摆球的半径。 答案　（1）2．990　（2）偏大　（3）　（4）测量摆长时未计入摆球的半径 4．某同学在“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97．50 cm，摆球直径为2．00 cm，然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间，如图甲所示，则： （1）该单摆摆长为　　　　cm，停表所示读数为　　　　s。  （2）如果他测得的g值偏小，可能的原因是　　　　。  A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了 C．开始计时时，停表按下过迟 D．实验中误将49次全振动次数记为50次 （3）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出几组对应的l与T的数据，然后建立以l为横坐标、以T2为纵坐标的直角坐标系，根据数据描点并连成直线，如图乙所示。求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝　。  （用k表示） 解析　（1）摆长l＝l'＋＝98．50 cm，t＝99．8 s。 （2）由单摆周期公式T＝2π，得g＝，所以l偏大，则g偏大；t偏大，则g偏小；t偏小，则g偏大；n偏大，则g偏大。故选项B正确。 （3）由单摆周期公式可得T2＝，那么图中直线斜率k＝，所以g＝。 答案　（1）98．50　99．8　（2）B　（3） 5．某智能手机中有一款软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 根据以上实验过程，回答下列问题： (1)图乙中的a、b分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，图a测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为________。图b中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是________________。 (2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g＝________，小球的半径R＝________。 (3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果________(选填“会”或“不会”)影响实验结果。地磁场对该实验结果________(选填“会”或“不会”)产生影响。 解析　(1)图a测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为，则(N－1)＝t，得T＝。图b中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆。小球与手机距离不变，磁感应强度几乎不变。 (2)单摆摆长l＝L＋R，由单摆周期公式T＝2π得T2＝L＋R，图线的斜率为k＝，纵轴上的截距为c＝R，当地重力加速度g＝，小球的半径R＝。 (3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，手机测得的磁感应强度变化的周期不变，由此计算出的单摆周期不变，则测量结果不会影响实验结果。地磁场对磁化小球的合力为零，故地磁场不会影响磁化小球做简谐运动的周期；地磁场不变，手机测量的是小球产生的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的矢量和，则地磁场不影响对磁感应强度变化周期的测量，即不影响对简谐运动周期的测量。可知地磁场对该实验结果不会产生影响。 答案　(1)　形成了圆锥摆　(2)　 (3)不会　不会 学科网（北京）股份有限公司 $$