专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．      (1)画出中边上的高； (2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； (3)画一个格点三角形，使之与全等． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为，，点P为坐标轴上一点（P点异于O点），若以A、B、P为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．    3．（20-21八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求、OB的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围； (3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，平面上有与，其中与相交于P点，如图，若，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，E在边上，，，，若，则 ， ．    3．（23-24八年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于（    ）    A．10 B．20 C．30 D．40 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．    【问题解决】（1）试说明：； 【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 2．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得旗杆与楼之间距离米，楼高 米． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】在中，，，点为边上的动点，连接，作且，过点作于点． 【问题探究】 （1）如图1，试说明； （2）如图2，连接交于点，若，试说明点是的中点． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（20-21八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，在上取一点G，使，过点G作，连接，使，若，则下列结论不正确的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点在上，交于点，的周长为的周长为，则边的长为 ．    3．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 1．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 ? 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 2．（2024七年级下·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是： ； (2)证明： 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）    A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，作，使与全等且不重合，则点C的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）与按如图所示方式放置，点、、、在同一条直线上，，，若要使得，则需要补充的条件可以是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 6．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ． 7．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 8．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 9．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    10．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，，则的长度为 ． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接． 试说明： (1)； (2)． 12．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 13．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，和的平分线交于点D，延长交于点E，点G、F分别在上，连接，其中，，在上取点M，使． 【问题提出】（1）当时，求的度数； 【问题解决】（2）试说明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．设，，求得，由的面积为整数，推出和是整数，即可判断矩形的面积为整数． 【详解】解：设，， ∵矩形矩形矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵的面积为整数， ∴和是整数， ∴为整数， ∴为整数， 故选：D． 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【答案】(1) (2)四边形全等四边形；（答案不唯一）； 【分析】（1）根据，求出，根据，得出； （2）根据全等三角形的判定和全等图形的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：图中全等的四边形有：四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形； 全等三角形有：；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可. 【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误； B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误； C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确； D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误. 故选：C 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．      (1)画出中边上的高； (2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； (3)画一个格点三角形，使之与全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （2）根据三角形中线的性质求解即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求；      （2）如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；      （3）如图所示，      【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 则． ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为，，点P为坐标轴上一点（P点异于O点），若以A、B、P为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况：当时，点在y轴上；当时，点在x轴上；分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 有两种情况：如图，    当时，点在y轴上， ∴ ∴； 当时，点在x轴上， ∴ ∴ ∴； 综上，点P的坐标为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可得，，由点，，在一条直线上，可求，则．．，进而可得． （2）由，可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵点，，在一条直线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，， ∴，，又， ∴． ∴． ∴的长为7． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．    【答案】7 【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据平移的性质可得，，从而可得，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积即可得． 【详解】解：由题意得：，， ，， 四边形是直角梯形， 由平移的性质得：，， ， ， 则阴影部分面积为 ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． 3．（20-21八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求、OB的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围； (3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)且 (3)3或9 【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求． 【详解】证明：， ． 在与中， ， ． ， ． 故选：C． 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，平面上有与，其中与相交于P点，如图，若，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易证，由全等三角形的性质可知：，再根据已知条件和四边形的内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出． 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，E在边上，，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，进而根据三角形内角和即可求出结果． 【详解】解：如图，    在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期末）【教材呈现】 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析 〖概念理解〗（1）见解析 〖性质探究〗（2）见解析 （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析 〖拓展应用〗（4）或 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗 （2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：A． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于（    ）    A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、垂线的性质等，解题的关键是作出恰当的辅助线，使求四边形的面积转换为求直角的面积． 延长到K使，构造，先证得是直角三角形并求此三角形的面积即等于所求四边形的面积． 【详解】如图，延长到K使，连接，    ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ 由知：， ∴ 即： ∴． ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．    【问题解决】（1）试说明：； 【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）与垂直，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理． （1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据垂直的定义得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴，则， 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（    ） A．10 B．14 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：， ； ， ； ，， ； ，， ， ， ； 故选：A． 2．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得旗杆与楼之间距离米，楼高 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】在中，，，点为边上的动点，连接，作且，过点作于点． 【问题探究】 （1）如图1，试说明； （2）如图2，连接交于点，若，试说明点是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理确定两个三角形全等的条件是解题的关键． （1）根据余角的关系推出，由此证明，得到结论； （2）证明（AAS），得到，推出，即点是的中点．由（1）可知，得，则，进而推出点是的中点． 【详解】解：（1）因为，所以． 因为，， 所以，， 所以． 在和中， 所以， 所以． （2）因为，， 所以． 在和中， 所以（AAS）， 所以， 所以． 因为， 所以，即点是的中点． 由（1）可知， 所以，则， 所以点是的中点． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． ．（20-21八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，在上取一点G，使，过点G作，连接，使，若，则下列结论不正确的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义即平行线的判定及性质即可判断A选项；利用证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可判断B选项和C选项；根据全等三角形的性质及平行线的性质得出，，，再根据同角的余角相等及等量代换即可判断D选项． 【详解】解：， ，选项A说法正确，不符合题意； 在和中 ，故选项C说法正确，不符合题意； 垂直不平分，故B选项说法错误，符合题意； 上面已证， ，， ，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点在上，交于点，的周长为的周长为，则边的长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，连接，可证，推出，进而可得与的周长之差等于的2倍，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ， ， ， 的周长为的周长为， ，， ， ， ， 故答案为：7． 3．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键． 根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断． 【详解】A．， 不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形； B．，，， 这里，不符合三角形三边关系，不能作出三角形； C．，，， 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形； D．，，， 两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形． 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 ? 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：①若第3轮甲添加，根据“边边边”即可判定，乙获胜，符合题意； ②若第3轮甲添加条件，由于含的直角三角形直角边等于斜边的一半，能判定，乙获胜，不符合题意； ③若乙第2轮添加条件为，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都可以判定，则甲失败，故说法正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，利用三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 添加①，由， 可得； 添加②，不能证明； 添加③，由，不能得到； 添加④， ， ， 由， 可得． 能判断全等的条件是①④． 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误； ②若第3轮甲添加， 如图，当，时，以B为圆心，为半径画弧，与射线相交于点C， ， 此时交点C是唯一的， 故甲添加时，与全等， 故甲获胜，故本说法正确； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等， 第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜， 此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确． 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． (1)你添加的条件是： ； (2)证明： 【答案】(1)①（或点D是线段的中点）或②或③ (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）由已知可得，，根据三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：（或点D是线段的中点），②，③ ； （2）以为例进行证明，由已知可得，，可根据判定． 【详解】（1）解：∵ ，   ∴， ， 故添加的条件是：①（或点D是线段的中点），②，③ ，中任选一个即可， 故答案为：①（或点D是线段的中点）或②或③（人选一个）． （2）选择， 证明：∵ ，   ∴， 在与中， ， ∴． 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）    A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用基本作图，作一个角等于已知角可对各选项进行判断． 【详解】弧②的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，但弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长， 所以A选项、B选项、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，作，使与全等且不重合，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定与性质作全等三角形，点的坐标，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的性质和已知点的坐标画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 有三个点符合， 点，， ，， 与全等， ，， ，，． 故答案为：或或． 3．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；    角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； ， 和互余，和互余， ， ，故③正确； 和不一定全等，故和不一定相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）与按如图所示方式放置，点、、、在同一条直线上，，，若要使得，则需要补充的条件可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴若补充，可由判定； 若补充，可由判定； 若补充，可由判定； 若补充，不能判定， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，点的坐标等知识，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点． 故选：B． 4．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解: ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件的确定方法是解题的关键：延长交的延长线于F，证明，推出，再证明，得到，由此得到． 【详解】解：延长交的延长线于F，如下图所示： ∵平分交的延长线于E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，当时，有最小值，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接， ，，， ，， ， 当，且点在上时，有最小值， ， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 8．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图所示，延长交于，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于，   为的角平分线，， ，， 又， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：16 10．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，过点C作于M，先证明得到，，进而证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接． 试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由证明即可． 【详解】（1）解：因为， 即， 所以， 因为． 所以， 在和中， 所以， 所以，， 所以． （2）解：因为， 所以， 在和中， 所以， 所以． 12．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形全等： （1）证明，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果； （3）同法（1）得到，进而得到，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 又因为，， 所以 所以． 又因为， 所以． 所以． （2）同（1）可得：， ∴， ∵， ∴． （3）由（2），知． 同理（1），得． 所以． 又因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，和的平分线交于点D，延长交于点E，点G、F分别在上，连接，其中，，在上取点M，使． 【问题提出】（1）当时，求的度数； 【问题解决】（2）试说明：． 【答案】（1） （2）详见解析 【分析】（1）先求和的和为，再根据角平分线求，再根据三角形的内角和性质列式计算，即可解决问题； （2）证明，可得，，，然后证明，可得，进而可以解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是证明． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， （2）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$