第4节 函数的奇偶性（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第4节 函数的奇偶性 1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南开封·二模）若函数是奇函数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·云南大理·期末）若为奇函数，则（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 7．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D．以上都不对 8．（23-24高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 9．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数为偶函数，则 . 10．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 11．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 12．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 13．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 14．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数为奇函数，且当时，，则 ，当时， . 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 17．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 18．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 19．（2024·全国·三模）（多选题）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 20．（23-24高一下·湖北·阶段练习）（多选题）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 21．（23-24高一上·青海海东·期中）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 22．（2024·广东佛山·二模）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 . 23．（2024·宁夏银川·一模）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 . 24．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 25．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 26．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 28．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最小值和最大值． 29．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 30．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 31．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)解不等式． 32．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4节 函数的奇偶性 1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC，根据时可排除D. 【详解】，所以为奇函数，此时可排除AC, 由于当时，，故此时可排除D， 故选：B 2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出对应选项中常见函数的图象，即可数形结合判断函数奇偶性和单调性. 【详解】对于选项A: 数形结合可知：是奇函数，且在单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 数形结合可知：是偶函数，且在单调递增，在单调递减，故选项B错误； 对于选项C: 数形结合可知：是奇函数，且在,单调递减，故选项C错误； 对于选项D: 数形结合可知：该函数在是奇函数，在上是减函数，符合题意，故选项D正确； 故选：D. 3．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 4．（2024·河南开封·二模）若函数是奇函数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】当时，则， 则，解得， 此时， 当时，所以，符合题意. 所以. 故选：C 5．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，. 【详解】由题意是定义在上的奇函数， 则由奇函数的性质可得， 解得， 所以，从而. 故选：C. 6．（22-23高一下·云南大理·期末）若为奇函数，则（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义得出参数值. 【详解】为奇函数，， . 故选：D 7．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可. 【详解】设，则，又. 故选：A 8．（23-24高二下·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【详解】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 9．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数为偶函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】先提取公因式后将原函数为偶函数转化为为奇函数，利用求得的值，再利用奇函数定义进行验证即得. 【详解】因函数在R上为偶函数，且是奇函数， 故在R上为奇函数，则，解得； 验证：当时，，， 由可得为奇函数， 故是偶函数. 故答案为：． 10．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若是偶函数，则 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性以及二次函数对称性分析求解. 【详解】因为，则， 若是偶函数，可知关于y轴对称， 则，解得. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海杨浦·期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】因为为奇函数，故， 即，即，解得. 故答案为： 12．（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 13．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 【答案】 2 【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可． 【详解】是定义在上的奇函数，则， 则， 令，则， 故， 故当时，，又，故时也成立， 所以当时，. 故答案为：2；． 14．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数为奇函数，且当时，，则 ，当时， . 【答案】 【分析】根据奇函数性质确定，计算即可，设，则，根据计算得到答案. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，. 故答案为：； 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定值及性质求出，再验证得解. （2）利用增函数的定义推理即得. （3）由（2）的结论及已知脱去法则，再解一元二次不等式组得解. 【详解】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 17．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. （2）解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. （3）解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 18．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上的单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法先求出，再找到的关系，进而可证奇偶性; （2）借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【详解】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 19．（2024·全国·三模）（多选题）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 故选：BCD. 20．（23-24高一下·湖北·阶段练习）（多选题）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 21．（23-24高一上·青海海东·期中）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确． 故选：ABD 22．（2024·广东佛山·二模）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合偶函数的性质可得，再结合单调性计算即可得. 【详解】由为偶函数且在上单调递减，故在上单调递增， 又，故当，可得， 又，故等价于， 故x的取值范围为. 故答案为：. 23．（2024·宁夏银川·一模）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解. 【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 又，所以， 所以当时，，当时，， 由对称性当时，，当时， 所以的符号随的变化情况如下表： - + + + + + - + - + - + 所以由上表可知不等式的解集为. 故答案为：. 24．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】6 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】解：令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故答案为：6. 25．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【答案】 【分析】根据为R上的奇函数且为减函数，可得出对任意的恒成立，这样求出的最小值，从而可得出的取值范围. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又因在R上单调递减， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 设，对称轴， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 26．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 27．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 28．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）当时，，时，由即可得解； （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. 【详解】（1）依题意，函数是定义在R上的奇函数， 当时，， 当时，， 又是奇函数，， ∴的解析式为． （2）依题意可知当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， ， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和． 29．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 (1)若为偶函数，求在上的值域； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出，再利用二次函数求出值域即可得； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解. 【详解】（1） 函数定义域为R，由是偶函数，得， 即， 整理得，而不恒为0， 因此，函数， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，又，，则， 所以在上的值域是； （2） 不等式， 依题意，，，而对勾函数在上单调递减， 当时，， 即当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 30．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明； （3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. （2）函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. （3）由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 31．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用赋值法求得. （2）根据函数的奇偶性列方程来求得. （3）根据函数的单调性求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，， 令得. （2）由于为奇函数，所以， 所以， 由，令得， 所以， 所以. （3）任取， ， 由于，所以， 所以， 所以在上单调递增， 由，， 令得， 由，得， ，所以， 所以不等式的解集为. 32．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数； （2）利用函数单调性定义由即可得出证明； （3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得. 【详解】（1）由题意， 令得，可得； 再令得， 即对于任意都满足， 所以为奇函数 （2）令，则， 因此， 可得 所以为上的减函数； （3）不等式化为： 即可得， 又为上的减函数，所以， 整理的，又，即， 解得．则不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$