第3节 函数的单调性（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第3节 函数的单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20高一上·云南昭通·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（14-15高一上·广东东莞·开学考试）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 10．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 14．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 15．（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 16．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 17．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选题）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高一上·海南三亚·期中）（多选题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选题）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 21．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 22．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 23．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数在上的最大值为4，求的值． 24．（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 25．（2007高一·全国·竞赛）函数的最小值和最大值分别是，且，求. 26．（19-20高一上·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 27．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 28．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求在区间上的最大值． 29．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3节 函数的单调性 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．（19-20高一上·云南昭通·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性的定义、单调性的性质判断． 【详解】A中函数是减函数，B中函数若，，满足，但，而，，不是增函数， C中函数为，对称轴为，因此在上不是增函数， D中函数，在上，是增函数，是减函数，因此是增函数． 故选：D． 3．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 4．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出在区间上的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于对于任意的，且，都有， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B 5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 7．（14-15高一上·广东东莞·开学考试）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性转化原不等式，可得，从而可得结果. 【详解】因为是上的减函数，且， 所以，解得, 所以满足的实数的取值范围是．故选D. 【点睛】本题主要考查单调性的应用，属于基础题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 8．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 10．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 12．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 13．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得. 【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 14．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 15．（23-24高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 17．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果求函数的值域，讨论和两种情况求函数的值域，转化子集问题，即可求解. 【详解】（1）设， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在单调递增； （2）由于对任意的，总存在，使得成立， 所以函数的值域是的值域的子集， 由（1）知在单调递增，，， 所以的值域为， 当时，在单调递增，，， 所以，由，解得：， 当时，在在单调递减，，， 所以，由，解得：， 综上所述，或 18．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选题）下列函数中，满足“，都有”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合单调性的定义，由题意可得函数在区间上单调递减，结合常见函数单调性即可判断求解. 【详解】，都有， 知是在上单调递减的函数， 对于A，在R上是增函数，不合题意； 对于B，在R上是减函数，符合题意； 对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上单调递减，符合题意； 对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意. 故选：BC 19．（21-22高一上·海南三亚·期中）（多选题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性即可判断. 【详解】一次函数在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 二次函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 反比例函数在和上单调递减，故C错误； 二次函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误； 故选：AB. 20．（23-24高一上·河北承德·期末）（多选题）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 21．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可； （2）根据函数单调性即可得到其值域. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 22．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为8，最小值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 23．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数在上的最大值为4，求的值． 【答案】或. 【分析】先求得其对称轴为，讨论对称轴和区间中点值的大小关系，求得其最大值，由最大值为，可求得的值． 【详解】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 所以或. 24．（2024高三·全国·专题练习）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围. （2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将题目问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然； 若，则，解得． 综上可得：实数的取值范围是． （2）有以下两种方法： 方法一： 由得：，即. 因为， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 则当时，函数在上取得最小值，最小值为， 所以只需即可． 所以的取值范围是． 方法二： 由，得，即. 令， 当时，在上是增函数， 则，解得， 所以； 当时，恒成立； 当时，在上是减函数， 则，解得， 所以． 综上所述，的取值范围是． 25．（2007高一·全国·竞赛）函数的最小值和最大值分别是，且，求. 【答案】不存在满足条件的、n 【分析】分类讨论、n与的大小关系，求解函数的最值发现矛盾，故不存在满足条件的、n. 【详解】（1）若，则， ，解得，矛盾； （2）若，则. ，， ，，这与矛盾； （3）若，则， ， 两式相减得，与①②联立解得 此时，矛盾，不存在满足条件的、n. 26．（19-20高一上·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2) 【分析】（1）分析二次函数在上的单调性，可得出函数在上的最大值和最小值； （2）令，对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，，对称轴为直线，开口向下， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 又因为，，则， 所以在区间上的最大值是，最小值是． （2）解：令， 函数的对称轴是直线，开口向下， 又在上是单调函数， 当函数在上单调递增时，则，解得； 当函数在上单调递减时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 27．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)2 (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式求解； （2）根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. （2）函数在上单调递增，证明如下： 令，则. 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 28．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分和两种情况，结合分段函数单调性分析求解； （2）分类讨论在区间上的单调性，结合单调性求最值. 【详解】（1）因为在R上单调递增，则有： 若，则， 因为在定义域内单调递增， 且，所以符合题意； 若，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围. （2）因为，则， （i）若，可知在上单调递增，最大值为； （ⅱ）若，则开口向上，对称轴， 可知在上单调递增，最大值为； （ⅲ）若，则开口向下，对称轴， ①当，即时，可知在上单调递减，最大值为； ②当，即时，可知在上单调递增，最大值为； ③当，即时，可知在上单调递增，在上单调递减， 所以最大值为； 综上所述：若，在区间上的最大值为； 若，在区间上的最大值为； 若，在区间上的最大值为. 29．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案. （2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】（1）， 当时，解集为； 当时，，当，即时，对应方程的解为， ①当时，解集为； ②时，解集为； ③时，解集为； ④时，解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）的解集为，故，则，， 则，令，则， . 在上单调递减，在上单调递增， 故，， ，，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$