第1节 函数的定义（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1节 函数的定义 【知识点一、函数的概念】 1．函数的概念 设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都 有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 名师解读： （1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的． （2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集． （3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应． （4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象． 2．函数的构成要素 由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系． 辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值． 3．相等函数（同一函数） 对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数． 名师解读： （1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形． 【知识点二、区间及其表示】 1．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： （1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为___________； （2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为___________； （3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________． 其中实数a，b都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点． 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开． 2．无穷大的概念 实数集可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足的实数x的集合分别表示为． 【知识点三、函数的三种表示方法】 1．解析法 用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． 2．图象法 用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． 3．列表法 通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 名师解读： （1）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． （2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． （3）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 【知识点四、分段函数】 1．分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数． 名师解读： （1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数． （2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． （3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点． 名师解读： 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【知识点五、映射】 一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射． 名师解读： （1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射． （2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的． （3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应． （4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”． 知识提升 对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射． 重难点题型突破（一）．函数概念 例1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 【变式训练2】．（22-23高一上·陕西西安·期末）（多选题）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 重难点题型突破（二）．求函数的定义域 例3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）函数的定义域为 （用区间表示）． 例4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（23-24高一上·四川雅安·期中）函数的定义域是 . 【变式训练4】．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（三）．函数相等 例5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练5】．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练6】．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选题）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（四）．函数图象 例7．（2024·广东佛山·校考模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 例8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选题）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【变式训练7】．（2022上·高一课后作业）某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（五）．分段函数 例9．（19-20高二下·辽宁本溪·期末）已知函数，则 . 例10．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练9】．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数，则 . 【变式训练10】．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 重难点题型突破（六）．函数的表示方法 例11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 例12．（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选题）函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练11】．（23-24高一上·广东汕尾·期末）某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【变式训练12】．（23-24高一上·山东·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民本月交纳的水费为69元，则此户居民本月用水量是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 函数的定义 【知识点一、函数的概念】 1．函数的概念 设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都 有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 名师解读： （1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的． （2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集． （3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应． （4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象． 2．函数的构成要素 由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系． 辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值． 3．相等函数（同一函数） 对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数． 名师解读： （1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形． 【知识点二、区间及其表示】 1．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： （1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为___________； （2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为___________； （3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________． 其中实数a，b都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点． 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开． 2．无穷大的概念 实数集可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足的实数x的集合分别表示为． 【知识点三、函数的三种表示方法】 1．解析法 用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． 2．图象法 用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． 3．列表法 通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 名师解读： （1）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． （2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． （3）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 【知识点四、分段函数】 1．分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数． 名师解读： （1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数． （2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． （3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点． 名师解读： 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【知识点五、映射】 一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射． 名师解读： （1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射． （2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的． （3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应． （4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”． 知识提升 对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射． 重难点题型突破（一）．函数概念 例1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 例2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式训练1】．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）（多选题）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义进行判断. 【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确； B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确； C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误； D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确. 故选：ABD 【变式训练2】．（22-23高一上·陕西西安·期末）（多选题）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 由函数定义可知D满足． 故选：BD． 重难点题型突破（二）．求函数的定义域 例3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）函数的定义域为 （用区间表示）． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以的定义域为. 故答案为： 例4．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式训练3】．（23-24高一上·四川雅安·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据分式中分母不为0，二次根式下大于等于0，及函数中，建立不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得或. 所以函数的定义域是. 故答案为： 【变式训练4】．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式的被开方非负得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 重难点题型突破（三）．函数相等 例5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 例6．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 【变式训练5】．（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 【变式训练6】．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选题）下列各组函数中，函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】看对应法则以及定义域是否均相同，逐一判断每一选项即可. 【详解】对于A，的定义域为，为全体实数，故此时函数与不是同一个函数， 对于B，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数， 对于C，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数， 对于D，，对应法则不同，此时函数与不是同一个函数. 故选：BC. 重难点题型突破（四）．函数图象 例7．（2024·广东佛山·校考模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】A 【分析】 求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得. 【详解】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 例8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选题）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 【变式训练7】．（2022上·高一课后作业）某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断这位同学与学校的距离的变化趋势，即可判断出答案. 【详解】因为开始时是匀速行驶，所以这位同学离学校的距离匀速减少， 途中停留一段时间，故此段时间内这位同学与学校的距离不变， 然后加快速度赶到了学校，所以这位同学与学校的距离减少的幅度越来越快， 故符合这一过程的是B中图象. 故选：B. 【变式训练8】．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 重难点题型突破（五）．分段函数 例9．（19-20高二下·辽宁本溪·期末）已知函数，则 . 【答案】6 【分析】由于，代入对应的分段函数的解析式中，重复代入即可得解. 【详解】. 故答案为：6 【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了周期类函数的重复代入，在计算时注意不能遗漏数值，属于简单题. 例10．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 【变式训练9】．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】32 【分析】根据函数的解析式直接代入求解即可 【详解】 . 故答案为：32 【变式训练10】．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】B 【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果. 【详解】由题意可知：， ， 故. 故选：B 重难点题型突破（六）．函数的表示方法 例11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【详解】由表可知：，则. 故选：C. 例12．（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选题）函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据图象一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域不为，故A错误； 对于B：函数的定义域为，值域为，符合题意，故B正确； 对于C：函数的定义域为，值域为，符合题意，故C正确； 对于D：图象不满足函数的定义，故D错误. 故选：BC 【变式训练11】．（23-24高一上·广东汕尾·期末）某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】A 【分析】由表知一月份、二月份用水量和水费，结合分段函数解析式可得，结合三四月份用水量及水费代入分段函数中求出，即可得答案. 【详解】根据一月份用水量，水费4元，根据二月份用水量，水费4元， 可知， ，解得， 所以， 所以令. 故选：A. 【变式训练12】．（23-24高一上·山东·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民本月交纳的水费为69元，则此户居民本月用水量是 . 【答案】17.5/ 【分析】根据表格中的信息，把居民本月交纳的水费为y元关于每户每月用水量为xm3的分段函数关系系求出来，再分别代入到每段的解析式中，求出相应的x的值，进而求解出此户居民本月的用水量 【详解】设每户每月用水量为xm3，居民本月交纳的水费为y元 当时， 当时， 当时， 故 因为某户居民本月交纳的水费为69元，令，解得：，舍去 令，解得：，符合要求 令，解得：，舍去 故答案为：17.5. 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