精品解析：安徽省安庆市桐城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末质量检测试题八年级数学 注意事项： 1.满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 3. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 6，7，8 C. 1，1，3 D. 1，2，3 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 安庆市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占最终成绩的，现场演讲分占最终成绩的.小林参加了该比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得分和分的成绩，则小林的最终成绩为（ ） A 分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 8. 如图，将长为m梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（ ） A. m B. 6m C. 4m D. 2m 9. 如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，在菱形中，，P是菱形内的一点，连接，且，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 一组数据的最大值为35，最小值为13．若取组距为4，则列频数分布表时，应分组数为______． 12. 一元二次方程的根的判别式的值为_____． 13. 如图，在中，，D为边上的一点，且满足．若的面积为，则的长是_____． 14. 如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为______． （2）的值是______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，求该组数据的方差． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在正六边形中，连接，，求的度数． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______，并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求点A到边的距离． 20. 受益于国家对高新技术企业大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． （1）求该企业从一月到三月利润的月平均增长率； （2）若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 六、（本题满分12分） 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形纸片中，，对角线． （1）求的长； （2）在上选取一点E，沿着将剪下后绕的一个顶点转动． ①如图2，当时，将绕点E转动至的位置，此时点G在上，连接，H为的中点，连接，求的长； ②如图3，将绕点A转动至的位置，此时点P在上，连接．当时，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）探究，与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末质量检测试题八年级数学 注意事项： 1.满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 2. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，15 B. ，15 C. 6， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，． 故选D． 3. 下列各组数中，能作为直角三角形的边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 6，7，8 C. 1，1，3 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，是最简二次根式，故符合要求； D中，不最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 5. 安庆市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占最终成绩的，现场演讲分占最终成绩的.小林参加了该比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得分和分的成绩，则小林的最终成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数的计算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小林的最终成绩为（分）， 故选：B． 6. 如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理； 先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， 故选：A． 7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（ ） A. m B. 6m C. 4m D. 2m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 9. 如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ， ，， 是的中位线， ， 故选：D． 10. 如图，在菱形中，，P是菱形内的一点，连接，且，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，根据题意可推出；当的面积最小时，点P到的距离最小，即点P到的距离最大；当是等腰直角三角形时，即点P到的距离最大.据此即可求解. 【详解】解：在菱形中， ∵ ∴. ∴， ∴， ∴． 当的面积最小时，点P到的距离最小，即点P到的距离最大； 当是等腰直角三角形时，即点P到的距离最大. 如图，过点C作于点F，于点E. 在菱形中，， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点P到的距离为， ∴的面积的最小值为. 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 一组数据的最大值为35，最小值为13．若取组距为4，则列频数分布表时，应分组数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了组距与组数，属于基础题，用到的知识点是组数=（最大值-最小值）÷组距，注意要进位．根据最大值为35，最小值为13，求出最大值与最小值的差，再根据组距为4，组数=（最大值最小值）÷组距计算即可． 【详解】解：， ， ∴应分组数为6， 故答案为：6． 12. 一元二次方程的根的判别式的值为_____． 【答案】57 【解析】 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用根的判别式求出答案． 【详解】解：一元二次方程整理成一般形式为： ∴根的判别式的值是：． 故答案为57． 13. 如图，在中，，D为边上的一点，且满足．若的面积为，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，即，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， 解得， 由勾股定理得，， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形面积为______． （2）的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）作于点，于点，由正方形的性质得是角平分线，从而得到，再证明得，最后由正方形的判定得四边形是正方形即可求解； （）由正方形的性质得，，，从而可证，由全等三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，作于点，于点， ∴， ∵为对角线上一点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴正方形的面积； （2）由题意，得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ． 16. 已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，求该组数据的方差． 【答案】该组数据的方差为9 【解析】 【分析】本题考查了方差的求解以及中位数的应用，根据题意得，求出即可求解．掌握方差的求解公式是解题关键. 【详解】解：由题意得， ∴. ， ， ∴该组数据的方差为9. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在正六边形中，连接，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题、三角形的内角和、等腰三角形的性质，根据正六边形的性质及多边形的内角和得，再根据等边对等角及三角形的内角和得，根据角的数量关系即可求解． 【详解】解：六边形为正六边形， ，是正六边形的一条对称轴， ， ， ， ， ． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______，并证明． 【答案】（1） （2）（为正整数） ，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据前面4个等式提供的规律信息可得第5个等式； （2）根据等式左边根号下的第1个加数为一列正整数，第2个数的分子为1，分母为从3开始的正整数，等式右边根号外的数的分子为从2开始的正整数，分母为从3开始的正整数，根号下为从3开始的正整数，再利用字母表示即可，最后利用分式的加减运算与算术平方根的含义进行证明即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； ∴第5个等式：； 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 归纳总结可得：第n个等式： （为正整数） 证明如下： 等式左边 等式的右边， ∴归纳的公式成立． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，算术平方根的含义，实数的运算规律的探究，二次根式的化简，掌握“探究方法并归纳总结规律”是解本题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）判断形状，并说明理由； （2）求点A到边的距离． 【答案】（1）是直角三角形．理由见解析 （2）点A到边的距离为2 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 【小问2详解】 ∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 20. 受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． （1）求该企业从一月到三月利润的月平均增长率； （2）若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 【答案】（1）该企业从一月到三月利润的月平均增长率为 （2）该企业四月份的利润为432亿元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，（1）设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x， 由题意，得， 化简，得， ， 解得，（舍去）， 答：该企业从一月到三月利润的月平均增长率为50%； 【小问2详解】 解：（亿元）， 答：该企业四月份的利润为432亿元． 六、（本题满分12分） 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】（1）20；845；84；87 （2）估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的总人数为140人 （3）八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，理解题意，找到有用信息是解答的关键． （1）求得八年级B等级所占百分比，进而可求得n值；根据中位数和众数的求解方法求解即可； （2）分别用两个年级的参赛总人数乘以其在样本中优秀人数所占的比例求解即可； （3）比较各年级的统计量的大小关系，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，八年级B等级所占的百分比为， ∴，则； ∵八年级A等级人数为（名）， ∴八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为86和88， ∴中位数； 七年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为84和84， ∴中位数， 又数据84出现次数最多，故众数， 故答案为：20；84.5；84；87； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数为140名； 【小问3详解】 解：八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：七八年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级八年级学生的竞赛成绩更好． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形纸片中，，对角线． （1）求的长； （2）在上选取一点E，沿着将剪下后绕的一个顶点转动． ①如图2，当时，将绕点E转动至的位置，此时点G在上，连接，H为的中点，连接，求的长； ②如图3，将绕点A转动至的位置，此时点P在上，连接．当时，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形中线定理、旋转图形与全等三角形等知识点，解题的关键是综合运用相关的性质和定理． (1)利用矩形的对边相等得出的长，在中利用勾股定理求得的长； (2)①先利用旋转的全等性质可知与的长，于是可知的长，再在直角三角形中用勾股定理可求得的长，最后利用直角三角形的中线定理可求得的长； ②先在直角三角形中由勾股定理求得的长，即可知的长，再由，再由与的长度求得的长，于是在直角中，由勾股定理可求得的长． 【小问1详解】 ∵四边形为矩形， ∴，． 在中，，3， 则． 【小问2详解】 ①由题意可知，，，， ∴． 在中，． ∵H为的中点， ∴． ②在中，，，， ∴． ∵， ∴． 由题意可知，，，， ∴在中，． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）探究，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由题意，得，则．根据正方形性质得出，得出．结合，得出，即可证明，即平分． （2）如图1，过点F作于点K，设交于点O．证明四边形是矩形，得出．根据点B与点P关于对称，得出，证明，即可证明． （3）如图，过点B作，垂足为Q．由（1）知，．证明，得出．证出．再证明，得出，即可证明，即． 【小问1详解】 证明：由题意，得， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，即平分． 【小问2详解】 证明：如图1，过点F作于点K，设交于点O． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点B与点P关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：． 理由：如图，过点B作，垂足为Q． 由（1）知，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$