专题04 相似三角形的动点问题（压轴题，20题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题04 相似三角形的动点问题（压轴题，20题） 一、解答题 1．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 3．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N． （1）若BE＝，求这时AM的长； （2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 4．在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图1所示，求证：∽； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求线段AP的长． 5．如图，梯形ABCD中，，，且，，点M为边BC上一动点，联结并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E，交边DC于点N，联结EF (1)当时，求CF的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当与相似时，求CM的长． 6．如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线解析式； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域； (3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由． 7．如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 8．如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 9．如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向向点B运动，速度为，同时点Q从点B出发沿方向向点A运动，速度为，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． (1)求、的长； (2)设点P的运动时间为x（秒），的面积为y，当存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为定点的三角形与是否相似，请说明理由． 10．如图的面积为，点在边上（点与点不重合），连结，作点关于直线的对称点，连结． (1)点到直线的距离是______． (2)设点与点的距离为，则的最小值为______． (3)当为等腰三角形时，求的长． (4)当落在的边所在的直线上时，直接写出的长． 11．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 12．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． ‍ (1)用含的代数式表示； (2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值． 13．如图，在中，，点在线段上，，过点作交线段于，点以每秒1个单位的速度沿折线段运动．设点的运动时间为的面积为． (1)的长为______． (2)当点落在上时，求的值； (3)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 14．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 15．在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为． (1)当点与点重合时，求的值； (2)当为何值时，点，，在一条直线上； (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 17．如图．已知在中，点是边上任意一点．连接，过点作，垂足为点，连接，使得，连接        （1）求证： （2）设，四边形的面积为，求关于的函数解析式及的取值范围 （3）当，求的值． 18．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 19．在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 20．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形的动点问题（压轴题，20题） 一、解答题 1．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）5；（2）或5 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）通过分类讨论，结合等腰三角形的性质的相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵，∠APF＝∠B， ∴可设 ∵AQ//BC ∴ 设 ∵ ∴ ∵△AFQ是等腰三角形，则有 ①若时，则 ∴ ∴内角满足 在中， ∴ ∵点P与点C不重合 ∴此情况不存在，舍去； ②若时，则 ∴ 同理可得， ∴； ③若时，则 ∴是等腰直角三角形， ∴在的垂直平分线上， 过点作于点，过点作于点， 则由三线合一的性质得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，或5 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练应用分类讨论是解答本题的关键． 3．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N． （1）若BE＝，求这时AM的长； （2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），且；（3） 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质和勾股定理可得，根据折叠的性质可证，得到，推出，根据，的取值范围，求出定义域即可； （3）根据等腰三角形和相似三角形的性质，得到，然后求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如下： 由折叠的性质可得 设，则， 由勾股定理得，，即 解得，即 （2）设，则， 由勾股定理得，，即 解得，即 在矩形中， ∴ 由折叠的性质可得，∴ ∴ ∴ ∴，即 解得 ∵， ∴， 化简得，解得 ∴ ∴，且 （3）由题意可得，，∴ 若△AME与△DNE相似，则 由（2）得，∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 由（2）得，化简得 解得或 又∵ ∴，即 【点睛】此题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及一元二次方程的求解，一元二次不等式的求解，解题的关键是灵活运用相关知识和性质进行求解． 4．在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图1所示，求证：∽； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求线段AP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或6． 【分析】（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．证明∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似； （2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=x； （3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再将y=x，BP=4-AP=4-x代入，即可求得AP的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∽； （2）∵，，， ∴AC=5， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵∽， ∴，即， ∴， ∴， ∵OA+OE<AC， ∴x+5，即x， ∴； （3）①当点P在线段AB上时，， ∵∽， ∴， ∵∽， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点P在AB延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点E作，垂足是点G， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．此题还是一个综合性很强的题目，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力． 5．如图，梯形ABCD中，，，且，，点M为边BC上一动点，联结并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E，交边DC于点N，联结EF (1)当时，求CF的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当与相似时，求CM的长． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）如图1中，作于．首先证明四边形是正方形，求出、的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）在中，，由，可得，推出，由此构建函数关系式即可解决问题； （3）分类讨论和即可． 【详解】（1）如图1中，作于． ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ，， ，   ， ． （2）如图1中，在中，， ，， ， ， ， ，   ， ， ． （3）当时，如图2中，作于，联结，在上取一点，使得，联结． 则，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，   ， ，， ， ， ，设，则，， ， ， ． 当时，如图3所示，由题意可得：为等腰直角三角形，即，， 在和中， ，， ， 由，得， ，即为中点，∠CFE=∠DAF=∠AMB ．此时，． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 6．如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线解析式； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域； (3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，根据题意可得当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，然后分四种情况解答，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，点C的纵坐标为4，点B到y轴的距离为10， ∴点C的横坐标为3， ∴点C的坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，过C作于点D， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处， 根据题意得：， 当时，点E在上，点Q在上， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 过点Q作轴于点M，则， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，点E在上，点Q在上，过点Q作轴于点F， 根据题意：， ∴， ∴， ∴； 当点E与点Q相遇时，，解得：， 当时，如图， ， ∴； 当时，如图， ， ∴； 综上所述，S关于t的函数解析式为； （3）解：能，理由如下： 根据题意得：点P的坐标为， 当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， ∵，且， ∴， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，此方程无解； 当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， ∵，且， ∴， 当时，，解得：（舍去）或6（舍去）； 当时，，此方程无解； 当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，， 当时，，解得：； 当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为， 当时，，（舍去）； 综上所述，当时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 7．如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 8．如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 9．如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向向点B运动，速度为，同时点Q从点B出发沿方向向点A运动，速度为，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． (1)求、的长； (2)设点P的运动时间为x（秒），的面积为y，当存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为定点的三角形与是否相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2), (3)不相似，理由见解析 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． （1）由在中，，，，设设，，由勾股定理即可求得、的长； （2）分别从当点Q在边上运动与当点Q在边上运动去分析，首先过点Q作的垂线，利用相似三角形的性质即可求得的底与高，则可求得y与x的函数关系式； （3）由，可得，由相似三角形的对应边成比例，求得各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似． 【详解】（1）， 设，， 在中，，， ， 即， 解得：， ，； （2）分两种情况： ①当点Q在边上运动时，过点Q作于H． ， ，， ， ， 点P的运动时间为x（秒），速度为，点Q速度为， 设，则，， ，， ， ， ； ②当点Q在边上运动时，过点Q作于， ， ， ， ， ，， ， ； ； （3）当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似．理由如下： ， ， ， ， ， ， 即， 解得：，， ， ， ， ， 当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似． 10．如图的面积为，点在边上（点与点不重合），连结，作点关于直线的对称点，连结． (1)点到直线的距离是______． (2)设点与点的距离为，则的最小值为______． (3)当为等腰三角形时，求的长． (4)当落在的边所在的直线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或或 (4)或或 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求出结果； （2）连接，过点作，垂足为点，求出、、，由点和点关于直线对称，得点在以点为圆心，为半径的圆弧上，，从而得到当点、、三点共线时，取得最小值，根据线段长度即可求出的最小值； （3）证明，得当为等腰三角形时，为等腰三角形，分①当时；②当时；③当时三种情况，画出相应的图即可求解的长； （4）分①当点落在所在的直线上；②当点落在所在的直线上；③当点落在所在的直线上三种情况，画出相应的图，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：（1）设点到直线的距离为， 的面积为，， ， ， 点到直线的距离为； 故答案为：； （2）连接，过点作，垂足为点， 由（1）得， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 点和点关于直线对称， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上，， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值， 的最小值为； 故答案为：； （3）点关于直线的对称点， ， 当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当时， 过点作，垂足为点， ，， ， ，， ， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ，， ， ； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或； （4）①当点落在所在的直线上， 点和点关于直线对称， ， ， ， 由（2）得， ； ②当点落在所在的直线上， 过点作，垂足为点， ，， ， ，， ， ， ，， 设， ， 在中， ， ， 解得， ； ③当点落在所在的直线上， ，， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，当落在的边所在的直线上时，的长为或或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆外一点到圆的最值问题，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是本题的关键． 11．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为、10或7 【分析】（1）易证，则有，由可得，从而得到，然后根据相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得，根据可得，从而得到．易证，从而得到，问题得以解决； （3）易证，因而当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况①，②，③，讨论，就可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，    ， ． ∵， ． ，，， ，． ，， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． ∵， ， ， ， 整理得：； （3）解：当是等腰三角形时，的长为、10或7． 解题过程如下： ，， ． ∵，， ， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形． ①当时， 则有， ，， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ； ③当时， 作于，如图2，    则有． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键． 12．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． ‍ (1)用含的代数式表示； (2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）过点作于，得矩形，则，，，由勾股定理可求得的长，从而可得； （2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成； （3）分和两种情况考虑，再由相似三角形的性质即可求得的值． 【详解】（1）解：过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， ， ． （2）①当时，则有， ， 解得． ②当时，则有， ，解得． 综上所述，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似； （3）①当时，为直角三角形，如图， 过点作于，于， ， ， ， ， ， ， ，即， ∵， ， ，， ，， ， 由，得， 解得． ②当时，为直角三角形，如图：则， ， ， ，即， 解得． 综上所述，当或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 13．如图，在中，，点在线段上，，过点作交线段于，点以每秒1个单位的速度沿折线段运动．设点的运动时间为的面积为． (1)的长为______． (2)当点落在上时，求的值； (3)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）勾股定理求得，进而可得，勾股定理，即可求解； （2）当点落在上时，，则，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当时，过点作于，则，证明，求得，然后根据三角形的面积公式，即可求解；当时，过点作于点，过点作于点，证明，，，求得，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ 在中， （2）解：如图所示，当点落在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得 ∴ ∵点以每秒1个单位的速度沿折线段运动． ∴ （3）解：当时，如图所示， 过点作于，则 ∵， ∴， ∴， ∴，即，则 ∵， ∴ ∴，即 ∴ 解得： ∴； 当时，如图所示， 过点作于点，过点作于点， ∵ ∴ ∴，即， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述， 14．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 【答案】(1)点P在上与点B相距的位置 (2) (3)当时，；当时，；时，；当时， (4)14秒 【分析】（1）先分析得到，利用，求解，再进一步可得答案； （2）当点P在上，，得，证明，再进一步可得答案； （3）分情况讨论：①当点P在上时，此时，②当点P在上时，此时，，当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方，再进一步可得答案； （4）根据题意，可对点P的位置进行分析：①若点在上，点与点重合时；②若点在上（不含点），或当点与点重合时，；分别求出答案，然后即可求出总时长． 【详解】（1）解：设的运动速度为， ∴， 当时，，解得， ， ∴点P在上与点B相距的位置； （2）当点P在上，，得， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 解得； （3）①当点P在上时， 此时， 由题意可知，， ； ②当点P在上时，此时，， ， ， 又， ， ， ， 令， 即， 解得（舍去）或， 当时，点Q在点E上方， 此时， ； 当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方， 此时， ； （4）点的运动速度单位长度/秒． ①若点在上，点与点重合时 ． 即． 点到达点时 ，． 当时点在线段上． ②若点在上（不含点），则． 则，即． ． 当时，． 解得：，． 当点与点重合时， 即，解得：． 当或时点在线段上． 综上点在线段上的总时长为秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行分析． 15．在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为． (1)当点与点重合时，求的值； (2)当为何值时，点，，在一条直线上； (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，方程的应用； （1）证明根据求解即可； （2）可证，列比例线段，得到，，再证，列比例线段，列方程求解即可； （3）由可得，由可得，即可得到，，再证明，列比例线段，得到，由得到，由，列比例线段，代入列方程即可． 【详解】（1）由题意得，， ∵矩形中，，． ∴，，，，． ∵当点与点重合时，，， ∴， ∵ ∴， ∴， 即， 解得； （2）如图，若，，在一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∵，， ∴， ∴， 即， 解得，（舍）； （3）若，则，， 由（2）可知，， ∵， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∴， ∵ ， 解得． 16．如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 【答案】(1)3t (2) (3)或6 (4)或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质； （1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作与一点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， 即； （2）解：当点在上时，过点作于点，如图所示： 此时均为等腰直角三角形， 即，， ∴, ∴，即， ∴； 当点在上时，如图所示： 此时，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∴当点落在内部（不包括边界）时，的取值范围； （3）解：可分为两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，如图所示： 此时四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作，如图所示： ， 点是中点， 点也是的中点， ； 当与的一边平行时，线段的长度为或； （4）解：当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，此时点在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即； 当点在中线上时，如图所示：连接，则， 过点作于点，过点作于点，交于点， 在中， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 如图所示，当经过中线时， 同理可得 ∴ ∴即 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述的值为：或或 17．如图．已知在中，点是边上任意一点．连接，过点作，垂足为点，连接，使得，连接        （1）求证： （2）设，四边形的面积为，求关于的函数解析式及的取值范围 （3）当，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；范围见解析；（3）或 【分析】（1）由题意易得△ACB∽△DCE，则有，进而可证△ACD∽△BCE，然后根据相似三角形的性质可求证； （2）由题意易得，过点D作DF⊥AC于点F，则有，进而可得，最后根据割补法进行求解面积即可； （3）由（2）可得：设AD=x，如（2）图，则易得，求出x的值，然后再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∵， ∴△ACB∽△DCE， ∴， ∵∠BCD=∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴， 即； （2）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3， ∴AC=4， ∵△ACD∽△BCE， ∴， 过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：        ∵AD=x， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可得：设AD=x，如（2）图， ∵△ACD∽△BCE， ∴∠A=∠CBE，， ∴∠DBE=90°，， 解得：或， ∴当时，， ∴， 在Rt△DFC中，， 当时，， ∴， 在Rt△DFC中，， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度即可； （2）过点作,垂足为，容易证得,设，根据相似的性质可求出的值即可得出结果； （3）由（2）得，设，根据相似的性质可求出的值，在解题时要注意分类讨论． 【详解】解：（1）∵在直角中，，，， ∴； （2）过点作,垂足为， ∵, ∴, ∴， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 化简，得， 解得：(负值舍去), ∴； （3）由（2）得， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 当和相似时，有两种情况： ①, ∴, 即，解得， ∴； ②, ∴, 即，解得， ∴， 综上： 当和相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 19．在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 20．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)、10或7 【分析】（1）证，则有，由，得到，然后根据相似三角形的性质即可求解； （2）由可得 ，根据可得，从而得到，推出，从而得到 问题得以解决； （3），因而当当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况——，，讨论，就可解决问题． 【详解】（1） （2） 整理得： （3）当是等腰三角形时，长为、10或7 解题过程如下： ∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形 第一种情况：当时，则有 第二种情况：当时，则有 第三种情况：当时，作 于H，如图， 则有 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，解题的关键是面积法、分类讨论的思想的运用． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$