专题03 相似三角形的应用30题-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题03 相似三角形的应用30题 一、单选题 1．如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 2．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 3．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（    ） A． B． C． D． 4．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（    ） A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸 5．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知地面阴影（圆形）的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 二、填空题 7．冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米． 8．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 9．如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    10．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 11．如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 m． 12．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 13．将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 14．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 15．如图，在某宽阔平地区域的公园内竖立着两盏相同长度细灯杆，灯杆垂直地面，在点A，B处分别挂着两盏明亮的灯（抽象地看成由一个点发出的光线）．小明垂直地面站立在两盏路灯之间（灯杆长度大于小明身高），站立点C与点M，N在同一直线上．小明发现自己在A路灯下的地面影子的最远点E满足，同时自己在B路灯下的地面影子长为，地面影子的最远点F满足，则小明在A路灯下的地面影子长度可以为 ．（结果保留根号） 三、解答题 16．一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 17．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 18．学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 19．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．    20．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 21．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    22．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 23．咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 24．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 25．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 26．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 27．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 28．有一块直角三角形木板如图所示，两直角边长为：    ．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁剪才能使正方形的面积最大？ 29．如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    30．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的应用30题 一、单选题 1．如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度． 【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．      又∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，设， ∴， ∴ 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等． 2．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：D． 4．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（    ） A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得：寸，寸，寸，，寸，证明，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：寸，寸，寸，， ∴寸， ∵， ∴， ∴，即， ∴寸， 故选：D． 5．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 6．如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知地面阴影（圆形）的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据，得到，得到，即得． 【详解】解：依题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 得， 即桌面的直径为1米． 故选：D． 二、填空题 7．冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米． 【答案】12 【分析】设高度为9米的旗杆在地面的影长为x米，根据同一时刻，物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：设高度为9米的旗杆在地面的影长为x米， 根据题意，得：， 解得：x=12， ∴高度为9米的旗杆在地面的影长为12米， 故答案为：12． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻，物高与影长成比例是解答的关键． 8．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 【答案】// 【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． 9．如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【答案】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 10．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 11．如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证得成为解题的关键． 如图：先证明可得，再结合已知条件可得，然后求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 12．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 13．将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 【答案】 cm 7 【分析】（1）由图知，已知，根据得到，在Rt中根据勾股定理得到，从而得到结论； （2）延长交BC于G'，如图2所示，由（1）知在Rt中，， 根据，得到，由得到最多有7本书可与边BC有公共点． 【详解】解：（1）如图所示： 在Rt中，，，，则， ， ， 连接，如图所示： 恰好能盖上盒盖， ， 词典是长方体， ，即， 在Rt中，， ， ， ，即，解得， 将词典无滑动向右倒， ， 书角的对应点恰为CD中点， ， 在Rt中，，，，则， ， 收纳盒的长cm， 故答案为：cm； （2）延长交BC于G'，如图2所示： 由（1）知， ，， 由（1）知 ， ， ， 由（1）知在Rt中，，，，则， ，解得， 由（1）知， ， 最多有7本书可与边BC有公共点． 【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键． 14．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 15．如图，在某宽阔平地区域的公园内竖立着两盏相同长度细灯杆，灯杆垂直地面，在点A，B处分别挂着两盏明亮的灯（抽象地看成由一个点发出的光线）．小明垂直地面站立在两盏路灯之间（灯杆长度大于小明身高），站立点C与点M，N在同一直线上．小明发现自己在A路灯下的地面影子的最远点E满足，同时自己在B路灯下的地面影子长为，地面影子的最远点F满足，则小明在A路灯下的地面影子长度可以为 ．（结果保留根号） 【答案】， 【分析】由题意可得、，然后再证明可得进而得到，然后分当E在N的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】解：由题意可得：、 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ①如图：当E在N的左侧、F在M的左侧时 ∵, ∴ 设，则，解得：（舍去负值）； ②如图：当E在N的右侧、F在N的左侧时， ∵,， ∴， 设，则，解得：（舍去负值）． ③如图：当E在N的左侧，F在M的左侧时， ∵,， ∴， 设，则，解得：（舍去负值）． ④如图：当E在N的右侧、F在M的左侧时， ∵,,， ∴， 设，则，解得：（舍去负值）． ∴． 综上，小明在A路灯下的地面影子长度可以为，． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 三、解答题 16．一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 【答案】旗杆的长为． 【分析】由题意可知，即得出，从而得出，代入数据可求出，从而可求出，进而可求出．又易证，即得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】由题意可知， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的长为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的实际应用．熟练掌握三角形相似的判定定理和其性质是解题关键． 17．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 18．学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 【答案】(1)的高度为14米 (2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 19．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．    【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】解:根据题意可知, 均垂直于地面, ， ， ， ， ， 解得 ， ∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ， ， ， ， ， 解得 米． 20．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 21．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    【答案】宽为120米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键. 【详解】解：如图所示，过F作于G，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为120米.    22．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 23．咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为的木棒站在离咸阳奥体中心的地方（即点到AB的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒距离为．已知，求咸阳奥体中心的高度． 【答案】咸阳奥体中心的高度为50． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：，，， ， ，， ， ， ， 解得：， 善咸阳奥体中心的高度为50． 24．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 25．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 【答案】作图见解析，小杰家到公路的距离为50米． 【分析】根据题意，作射线分别交直线于点，则线段即为所求，设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米，根据路程等于速度乘以时间即可求得的长，根据，可得，进而根据相似三角形的性质即可求得小杰家到公路的距离． 【详解】如图，作射线分别交直线于点，则线段即为所求， 米 设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米， 解得 小杰家到公路的距离为（米） 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 27．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 28．有一块直角三角形木板如图所示，两直角边长为：    ．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁剪才能使正方形的面积最大？ 【答案】当正方形的边分别在上，点E在上时，正方形的边长为，此时正方形面积最大，最大为. 【分析】先设计方案，有两种方案.方案一，如图①，设正方形边长为x，根据列比例式求出x，即可求出.方案二，如图②，做于H交于M.由，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式求出x，即可求出.两种方案做比较即可找到是正方形面积最大的方案. 【详解】方案一： 如图①，正方形的边分别在上，点E在上.设正方形的边长为x, ∵∠EFB＝∠C＝90，∠B＝∠B， 则 此时. 方案二： 如图②，正方形的边在上，D点、G点分别在边和边上. 作，交于M点， 设的边长为x， ∵Rt中， . 又 得 此时 ∴方案一面积最大，最大为. 【点睛】本题是一个通过设计方案求最大值问题，主要考查了相似三角形的判定和性质.解题的关键是要能正确设计出两种方案，并分别计算出两种方案正方形的边长. 29．如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【答案】发现：，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】发现：证明，得到，即可证明； 探究：过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出的值，再证明，利用相似比求出的值，即可获得答案． 【详解】解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． 30．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 【答案】(1)20 (2)见解析 (3)图象见解析；v随着u的增大而减小 【分析】 （1）证明，得出，得出，证明，得出，求出即可； （2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出； （3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出v随着u的增大而减小． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； （2）证明：根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ， ， ∴． （3）解：列表： u … … v … … 描点、连线： 根据函数图象可知，v随着u的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$