专题02 相似三角形的判定与性质综合（六大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题02 相似三角形的判定与性质综合（六大题型，40题） 目录 题型一：证明两三角形相似，10题 1 题型二：选择或补充条件使两个三角形相似，10题 4 题型三：利用三角形的性质求解，5题 5 题型四：证明三角形的对应线段成比例，5题 5 题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形，5题 7 题型六：相似三角形的判定与性质综合，10题 8 一、题型一：证明两三角形相似，10题 1．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，与相交于F，则图中所有的相似三角形共有（    ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A、B、C、D也是小正方形的顶点，那么与相似的是（   ） A．以点P、Q、A为顶点的三角形 B．以点P、Q、B为顶点的三角形 C．以点P、Q、C为顶点的三角形 D．以点P、Q、D为顶点的三角形 4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 6．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 7．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 10．（2023·上海金山·二模）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，联结、． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，联结交于点，若，求证：． 二、题型二：选择或补充条件使两个三角形相似，10题 11．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D． 14．（2019·上海普陀·一模）如图，在中，点分别在的边上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（    ） A． B． C． D． 15．（20-21九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕 三、题型三：利用三角形的性质求解，5题 16．（2023·上海虹口·一模）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 17．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 18．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是 ． 19．（23-24九年级上·上海青浦·期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 20．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，与相似，并且点、、分别与点、、对应，其中厘米，厘米，厘米，厘米，求的周长． 四、题型四：证明三角形的对应线段成比例，5题 21．（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 23．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    25．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 五、题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形，5题 26．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 27．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    28．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 29．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 30．（2020·上海青浦·一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ． 六、题型六：相似三角形的判定与性质综合，10题 31．（2024·上海青浦·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（    ） A． B． C． D． 32．（2023·上海·模拟预测）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ． 33．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 34．（2024·上海徐汇·二模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   35．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 36．（2024·上海黄浦·三模）如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 37．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 38．（2024·上海静安·三模）已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 39．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 40．（2024·上海普陀·二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的判定与性质综合（六大题型，40题） 目录 题型一：证明两三角形相似，10题 1 题型二：选择或补充条件使两个三角形相似，10题 11 题型三：利用三角形的性质求解，5题 16 题型四：证明三角形的对应线段成比例，5题 20 题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形，5题 24 题型六：相似三角形的判定与性质综合，10题 28 一、题型一：证明两三角形相似，10题 1．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，与相交于F，则图中所有的相似三角形共有（    ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵与为对顶角，与为对顶角， ∴，， ∴，，，，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 综上分析可知，共有8对相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握两个三角形相似的判定方法． 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A、B、C、D也是小正方形的顶点，那么与相似的是（   ） A．以点P、Q、A为顶点的三角形 B．以点P、Q、B为顶点的三角形 C．以点P、Q、C为顶点的三角形 D．以点P、Q、D为顶点的三角形 【答案】B 【分析】根据图形结合勾股定理求出各三角形的三条边长，再根据如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，，． A．在中，，， ∴为等腰三角形，而不是等腰三角形， ∴与不相似，不符合题意； B．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴，符合题意； C．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，不符合题意； D．在中，，，， ∵，，， ∴， ∴与不相似，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定．掌握如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似是解题关键． 4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 5．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定即可得到答案． 【详解】解：两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，故选项A错误； 两个等腰三角形确定两边对应成比例，无法判定相似，故选项B错误； 两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，故选项C正确； 两个面积相等的三角形，只能得到底和高积相等，无法判定相似，故选项D错误． 故选：C． 6．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质． 根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两 边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形 是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D． 【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意； B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意； C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相似，与相似， 故选：． 8．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 9．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论； （2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点A作于H，如图2所示： ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10．（2023·上海金山·二模）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，联结、． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，联结交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）将等积式化为比例式，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似得到，即，进而得到进行证明． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴ ∴ 又 ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 二、题型二：选择或补充条件使两个三角形相似，10题 11．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：与相似，点分别对应点， ，，， ①分别是与的角平分线时：，， ， 又， ；故①正确； ②分别是与的中线时，，， ， ， 又， ；故②正确； ③分别是与的高时，现有条件不足以证明，故③错误； 综上可知，添加①或②时，可以证明与相似 故选A． 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论． 【详解】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ②∵AB•CD=AC•AD， ∴， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°， 故②符合题意； ③∵， ∴， ∵∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由不能证明△ABC与△ABD相似， 故④不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可． 【详解】解： A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA； B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA； C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为，则△ABC∽△DCA； D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA． 故选择：D． 【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键． 14．（2019·上海普陀·一模）如图，在中，点分别在的边上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：由题意得，∠A＝∠A， A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； C、当时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； D、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 15．（20-21九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕 【答案】或． 【分析】先画草图借草图分析．如图 重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值． 【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论： 第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点． ∵∠BCA=90° ∴∠MNC=∠BCA 又由对折知：∠MCN=∠A ∴△MCN∽△ABC 由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）； 第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点． ∵∠C=90° ∴∠C=∠NMB 又由对折知∠A=∠NBM ∴△ABC∽△BNM ∴ 又由对折知 ∴（㎝）． 综上分析得MN=㎝或㎝． 故答案为：或． 【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之． 三、题型三：利用三角形的性质求解，5题 16．（2023·上海虹口·一模）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米． 【答案】24 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大， 设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是分米，分米， ， ，， 其他两条边的长分别是8分米，10分米， ， 做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米， 做出的三角形的面积为（平方分米）． 故答案为：24． 17．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∴， ∴只要满足，都能满足题意；    如图所示，当时， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是． 故答案为：    18．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海青浦·期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，与相似，并且点、、分别与点、、对应，其中厘米，厘米，厘米，厘米，求的周长． 【答案】40厘米 【分析】本题考查相似三角形的周长，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比．由相似三角形周长的比等于相似比，得到的周长：的周长，代入有个数据即可求出的周长． 【详解】解：厘米，厘米，厘米， 周长（厘米）， 与相似，并且点、、分别与点、、对应， 的周长：的周长， 的周长， 的周长厘米． 四、题型四：证明三角形的对应线段成比例，5题 21．（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 22．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 23．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 25．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接图中，与的交点即为点P； （2）连接图中，与的交点即为点P； 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；      【点睛】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键． 五、题型五：在网格中画与已知三角形相似的三角形，5题 26．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 27．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：    ． 故答案为：4． 28．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 29．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 30．（2020·上海青浦·一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ． 【答案】； 【分析】根据小正方形的边长，分别求出和三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：1 【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键. 六、题型六：相似三角形的判定与性质综合，10题 31．（2024·上海青浦·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，垂直平分，则，可判断A的正误；由，，，，可得，可判断B的正误；证明，则，即，可得，进而可判断C的正误；证明，可得，进而可判断D的正误． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，A正确，故不符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，B正确，故不符合要求； ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，，C正确，故不符合要求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 32．（2023·上海·模拟预测）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ． 【答案】 【分析】先求出，证△≌△得，，再证△∽△，利用三角形相似的性质可得得长；过点作于点，先求出，，，证△∽△，得，进而得，再证△∽△，利用相似三角形性质得，，进而得，最后在中，由勾股定理可求得． 【详解】解：∵四边形为正方形，且边长为， ， ， ， ∵点是的中点， ∴， 中， ，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∵， 在△和△中， ∴△≌△， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴△∽△， ∴， 即， ∴， 过点作于点，如图： 在△和△中， ， ∴△≌△， ∴， ∴， 中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴△∽△， ∴， 即 ∴， ∵，， ∴， ∴△∽△， ∴， ∴， ∴，， ∴， 中，，， 由勾股定理得： 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 33．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据点H在射线上，，有以下两种情况：①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，则，过点D作于M，证四边形为矩形得，证，推出，再证，由此可得的值；②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，同理可得的值． 【详解】解：∵点H在射线上，， ∴有以下两种情况： ①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，过点D作于M，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 34．（2024·上海徐汇·二模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   【答案】/ 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示： 点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，轴， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 35．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等，如图所示，当点C的对应点E切换在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接，先由平行四边形的性质得到，，；再证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，设，则，则，证明，得到，求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C的对应点E在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是， 故答案为：． 36．（2024·上海黄浦·三模）如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证； （）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形； （2）证明：连接，与交于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即． 37．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得，进而可证，则，； （2）如图，连结，记的交点为，由为的中点，可得，，则，由为中点，可得，则，垂直平分，，证明，则，即平分． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连结，记的交点为， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即平分． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键． 38．（2024·上海静安·三模）已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）过D作交于H，证出四边形为等腰梯形，再证出，利用三角形的外角性质和等量代换即可得出答案； （2）先证出为正三角形，然后设，得出，证出，用相似比得出，利用得出，求出a值，即可得解； （3）先利用三角形边角关系得出，然后分类讨论①②两种情况，即可得解． 【详解】（1）过D作交于H， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ， 四边形为平四边形， ， ， 四边形为梯形， ， 四边形为等腰梯形， ，又E，F分别为中点， ，，   又， ， ， ， ∴， （2），， ∴， ∵， ∴为正三角形， ∴ 延长．交于M ，设， ∴， ∵E为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ， ，，， ， ∴， 又，， ， ∴， ， ， ∴（负值已舍）， ， ∴； （3）， ，   ， ， 仅两种分类， ①，延长交于，过D作于， 设  ， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵，， 即， ②，则， ∴四边形为正方形， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 39．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形； （2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明 【详解】（1）)证明: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形； （2）证明：根据题意作图如下， ∵四边形是菱形, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ， ， ∵, ∴, ， ∴, ∴, 且, ∴, ∵, ∴, ∴, ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 40．（2024·上海普陀·二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据，可得得出，结合已知条件可得，即可得证； （2）根据已知可证明得出，，进而证明，得出，即可得出，进而根据平行四边形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$