专题01 相似图形的相关概念及性质综合（八大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题01 相似图形的相关概念及性质综合（八大题型，50题） 目录 一、题型一：比例的性质 1 二、题型二：比例线段 1 三、题型三：成比例线段 2 四、题型四：黄金分割 3 五、题型五：相似图形 4 六、题型六：相似多边形 4 七、题型七：相似多边形的性质 5 八、题型八：平行线分线段成比例定理 5 一、题型一：比例的性质 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 4．（21-22九年级上·上海普陀·期中）已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）设，求的值． 6．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 二、题型二：比例线段 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知，则： ． 8．（21-22九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ． 9．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则 ． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 11．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为，充电速度之比为（假设充电速度是匀速的），月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为；同时，A型汽车充电速度增加了，且B，C两种型号的电池容量之比为，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 ． 三、题型三：成比例线段 12．（21-22九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 13．（2019·上海静安·一模）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 15．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 16．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 17．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 四、题型四：黄金分割 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）若线段长为，是的黄金分割点且，则线段 ． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 五、题型五：相似图形 23．（21-22九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 24．（2019·上海青浦·一模）下列图形中，一定相似的是（　　） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 25．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 26．（19-20九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形 C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形 27．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 六、题型六：相似多边形 28．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23九年级·上海·假期作业）下列各组中的两个图形一定相似的有（　　） （1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形； （7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 30．（2020·上海徐汇·一模）下列说法中，正确的是（   ） A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 31．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 七、题型七：相似多边形的性质 32．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 33．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 34．（2020·上海黄浦·一模）已知一个矩形的两邻边长之比为1：，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 ． 八、题型八：平行线分线段成比例定理 35．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 36．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 38．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 39．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 40．（2024·上海闵行·二模）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为 ． 41．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，交边、分别于点、，如果与四边形的面积相等，那么的值为 ． 42．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 43．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，，如果，，，那么的长是 ．    44．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 45．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 46．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 47．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 48．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 49．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 50．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在梯形中，．点P是对角线上的一点．过点P分别作、的平行线，与交于点F，与交于点E．联接交于点G．    (1)求证：． (2)当，，时，求的长． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似图形的相关概念及性质综合（八大题型，50题） 目录 一、题型一：比例的性质 1 二、题型二：比例线段 3 三、题型三：成比例线段 7 四、题型四：黄金分割 10 五、题型五：相似图形 14 六、题型六：相似多边形 16 七、题型七：相似多边形的性质 19 八、题型八：平行线分线段成比例定理 22 一、题型一：比例的性质 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可． 【详解】解：A、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； B、转化为等积式为，和已知一致，该选项正确； C、转化为等积式为，整理得：，和已知不一致，故该选项错误； D、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； 故选：B． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵线段是种的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可． 【详解】解：设，则，，， ∴ ． 【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键． 4．（21-22九年级上·上海普陀·期中）已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 【答案】1：3 【分析】根据设，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴（a﹣b）：a＝ 故答案为：1：3 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）设，求的值． 【答案】0 【分析】根据分式基本性质，得，令，进而即可求解． 【详解】根据分式基本性质，得， 令， 则有，，， 三式相加，即得． 【点睛】本题考查比例的性质的综合应用，掌握比例的性质，设参数求解是解题的关键． 6．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 二、题型二：比例线段 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知，则： ． 【答案】 【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值． 【详解】∵， ∴， ∴设，， ∴ 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系． 8．（21-22九年级上·上海闵行·期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ． 【答案】 【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论． 【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键． 9．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则 ． 【答案】/0.75 【分析】设，由题意得，，根据勾股定理得，即，解得，即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， 在中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设定未知数求解是解题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 11．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为，充电速度之比为（假设充电速度是匀速的），月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为；同时，A型汽车充电速度增加了，且B，C两种型号的电池容量之比为，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 ． 【答案】 【分析】由条件设三种型号的电动汽车充电时间、充电速度、汽车增加的电池容量，由A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，得关于所设量的方程式，再由优化后的充电速度及容量关系即可求得比值． 【详解】解：设A，B，C型号的电动汽车的充电时间分别为：，充电速度分别是b，，， ∴电池容量分别为：，，， 设B，C两种型号汽车增加的电池容量分别为， ∴， 解得， 设A型汽车增加的电池容量为x， ∵优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的， ∴优化后的三种型号的电动汽车容量和为A型汽车优化后增加的电池容量的8倍 ∴， 解得， ∴， ∵A型汽车充电速度增加了， ∴充电速度增加为：， ∴A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比，解含参量的一元一次方程，引入的量较多，有一定的难度，理解题意，恰当引入参量是解题的关键． 三、题型三：成比例线段 12．（21-22九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 13．（2019·上海静安·一模）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x， ∵线段是和的比例中项， ∴AP2=PB·AB，即x2=1－x， ∴x2+x－1=0， 解得：，（舍去）， ∴PB=1－= ， ∴ ，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 14．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】∵线段是线段和的比例中项， ∴， 即， ∴， 故答案为： ． 15．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【详解】解：∵点把线段分割成和两段()，其中是与的比例中项， ∴点P是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点P是线段AB的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 16．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义：若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解． 【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项， ∴a2=bc， 即a2=6， ∴a=(负值舍去)． 故答案是：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 17．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：设点是线段上的一点，， ， 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键. 四、题型四：黄金分割 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【详解】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 19．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 20．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键． 由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，即，整理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：C． 21．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）若线段长为，是的黄金分割点且，则线段 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的概念及得到，从而求出的长，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：是的黄金分割点且， ， 线段长为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这个点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 五、题型五：相似图形 23．（21-22九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【详解】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 24．（2019·上海青浦·一模）下列图形中，一定相似的是（　　） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确； B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 25．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可． 【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键． 26．（19-20九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形 C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】A.等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， B.等边三角形的各角是60°，每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故该选项正确， C.平行四边形的各角不能确定，各边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， D.菱形各角不能确定，各边长也不确定，不一定相似，故该选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，熟练掌握相似图形的定义是解题关键. 27．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】根据平分，得到，再结合图形可以确定如果与相似，可能有或者两种情况，分类得到相似比代值求解即可得到结论． 【详解】解：已知四边形中，平分， ， 如果与相似，则有或者两种情况， ①当时，， ，， ，即，解得或（舍去）； ②当时，，， ，即是等腰三角形， ， ，， ，即，解得或（舍去）； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，熟练掌握相似的性质，准确把握对与相似的表示进行分类讨论是解决问题的关键． 六、题型六：相似多边形 28．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又， 四边形四边形． 故选：D． 29．（22-23九年级·上海·假期作业）下列各组中的两个图形一定相似的有（　　） （1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形； （7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】根据相似三角形及多边形的判定依次判断即可 【详解】解：（1）两个等腰三角形不能确定其每个内角的度数，所以不一定相似； （2）两个直角三角形只有一个相同的角是直角，其他两个角都不确定，所以不一定相似； （3）两个等腰直角三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似； （4）两个等边三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似； （5）两个矩形四个角都为90度，但是对应边不一定成比例，所以不一定相似； （6）两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似； （7）两个正方形对应边成比例，对应角一定相等，所以一定相似； （8）两个等腰梯形对应边和对应角都不确定，所以不一定相似； （9）两个圆一定相似； ∴相似的是（3）（4）（7）（9）， 故选：B 【点睛】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应． 30．（2020·上海徐汇·一模）下列说法中，正确的是（   ） A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 【答案】D 【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误； B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误； C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误； D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键． 31．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键． 【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意； 、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意； 、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意； 、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 七、题型七：相似多边形的性质 32．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 33．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 34．（2020·上海黄浦·一模）已知一个矩形的两邻边长之比为1：，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 ． 【答案】1或或2 【分析】根据题意，画出图形，然后分直线l∥AD和直线l∥AB两种情况，然后根据相似图形的性质列出比例式即可分别求出结论． 【详解】解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：， ∴AD=BC 若直线l∥AD，交AB、CD于E、F 根据题意和图形可知：矩形AEFD∽矩形BEFC 此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1； 根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况； 若直线l∥AB，交AD、BC于E、F 此时存在两种情况：①若矩形ABFE∽矩形DCFE，如下图所示 此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1； ②若矩形BAEF∽矩形EDCF，如下图所示 ∴ 设AB=CD=a，AE=x，则AD=，DE= ∴ 解得：x=或x= 当x=时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=：a=； 当x=时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=：a=2； 综上：这两个小矩形的相似比为1或或2． 故答案为：1或或2． 【点睛】此题考查的是求相似图形的相似比，掌握相似多边形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键． 八、题型八：平行线分线段成比例定理 35．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据题意画出图形，利用平行线分线段成比例即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选C． 36．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ，故A错误；， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 37．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 38．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明，可求出，利用平行线分线段成比例可求出，，进而求出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，再由，得，结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结， ∴， ∵点是边的中点，即， ∴，则为的中点，即， ∴，， ∵为点关于的对称点， ∴，且，， 则， ∴，则， ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 40．（2024·上海闵行·二模）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明，再证明，则，证明，则， 设，则，得到（负值舍去），进一步得到，则，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点H， ∴， ∵上的中线相交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 41．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，交边、分别于点、，如果与四边形的面积相等，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活利用相似比进行几何计算．先证明，利用相似三角形的性质得到，由与四边形的面积相等，可得，则，然后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：， ， ， 与四边形的面积相等， ， ，即， ． 故答案为：． 42．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解． 【详解】解：∵， 解得． 故答案为：2． 43．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，，如果，，，那么的长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 44．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 如图，记的 交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可． 【详解】解：如图，记的 交点为， ∵四边形是的内接正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：4． 45．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则重心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念作出重心，根据重心的性质得到，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点O是的中点， 如图：连接，作中线交于G，则点G是的重心， ∴， 如图：作于E，于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴△ABC重心的坐标是， 故答案为． 46．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设，则，，根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线分线段成比例即可解决问题． 【详解】解：设， 由，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 47．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质， （1）根据平行四边形的性质和中点得到是平行四边形，有，则有和，即可得到结论． （2）由正方形的性质得到，，结合中点，则有，进一步可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，即， 同理，即， ． （2）如图， 由（1）知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即． 48．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，得出，，推出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 49．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 【答案】，． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 50．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在梯形中，．点P是对角线上的一点．过点P分别作、的平行线，与交于点F，与交于点E．联接交于点G．    (1)求证：． (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握比例关系是解题的关键 （1）根据三角形相似得到，，再由等量代换证明结论即可． （2）设，，求出，再求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ． 又， ， ， ， ． （2）解：，设，． 又， ． ， ， ． ， ，． ， ，， ， ， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$