24.1.2 圆-垂径定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

24.1.2 圆-垂径定理 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【考点1 利用垂径定理求值】 【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【变式1-1】如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【变式1-2】如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式2-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式2-2】已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【变式2-3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【变式3-2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【变式4-2】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【考点5 垂径定理的实际应用】 【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例6】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【变式6-1】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【变式6-2】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【变式6-3】如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例7】如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式7-1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【变式7-2】如图，在中，，求证：． 【变式7-3】是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 一、单选题 1．如图，在中，①分别以弦的端点A，为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；②作直线交于点，交于点C．若，，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为是线段的中点，经过圆心交与点，则直径的长是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 6．已知的半径是，弦平行于弦，，，则与之间的距离是（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．24寸 B．48寸 C． D．56寸 二、填空题 9．如图所示，在中，直径，弦于点C，连接．若，则的长为 ． 10．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为 ．    11．如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．过点O作弦的垂线，D为垂足，交于点C．经测量， cm， cm，则此车轮半径为 cm． 12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 13．一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ． 14．如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 三、解答题 15．如图，为的直径，于E，，求的长． 16．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 17．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2 圆-垂径定理 【考点1 利用垂径定理求值】 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【考点5 垂径定理的实际应用】 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【考点1 利用垂径定理求值】 【典例1】如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设半径为r， ∵且经过点， ， ， ， 在中根据勾股定理可得，， 解得：． ∴， 故答案为：5． 【变式1-1】如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 【变式1-2】如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵弦的长是，， ∴， 又∵半径为，， ∴， ∴， 故答案为． 【变式1-3】如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【答案】12.5 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为12.5分米， 故答案为：12.5． 【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】 【典例2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式2-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式2-2】已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 【变式2-3】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】 【典例3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式3-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 【变式3-2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【变式3-3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 【考点4 利用垂径定理求解其他问题】 【典例4】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键. 【变式4-1】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)点在圆外 【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度； （3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外． 【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点， 则． （2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接， ∵，，， ∴， ∴， 故圆半径的长度为． （3）解：∵圆心，， ∴， ∵圆半径的长度， 又∵， ∴点在圆外． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键． 【变式4-2】如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键. 【变式4-3】如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)点在圆外 【分析】（1）根据垂径定理，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （2）由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接，在中，运用勾股定理即可求得圆半径的长度； （3）根据，，求得，由圆半径的长度为，可得点在圆外． 【详解】（1）解：如图1，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，直线与直线的交点即为点， 则． （2）解：如图2，由（1）可得，设直线与线段的交点为，连接， ∵，，， ∴， ∴， 故圆半径的长度为． （3）解：∵圆心，， ∴， ∵圆半径的长度， 又∵， ∴点在圆外． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键． 【考点5 垂径定理的实际应用】 【典例5】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 【变式5-1】如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 【变式5-2】小勇要帮助船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面，货船宽，船舱顶部为矩形并高出水面．请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 【答案】此货船不能顺利通过这座拱桥，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和矩形的性质，能求出圆的半径长度是解此题的关键． 设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，，根据垂径定理得出，，，根据矩形的性质得出，在中，根据勾股定理得出，求出，再在中，根据勾股定理求出，求出，再比较大小即可． 【详解】解：此货船不能顺利通过这座拱桥， 理由是：设船舱顶部为矩形，交于，连接，，设的半径为，则，， 四边形是矩形， ∴， ， ， 过圆心，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即，， 在中，， ， 此货船不能顺利通过这座拱桥． 【变式5-3】如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）．    (1)求圆弧所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由． 【答案】(1) (2)这辆货运卡车不能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）设圆心为点O，半径为，根据垂径定理得到，再求出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，设圆弧所在圆的圆心为点O，半径为，连接交于点F，连接，    由垂径定理得：垂直平分， 四边形是矩形，，点E到的距离为 ，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴所在圆的半径为； （2）解：这辆货运卡车不能通过该隧道，理由如下： 如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，    依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为，则点到的距离为， ∴点到的距离为， 在中，， ∵ ∴这辆货运卡车不能通过该隧道． 【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例6】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ， 的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ， 弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 【变式6-2】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，， 平分， ，， 在中，， 解得， 即的半径为； （2）连接，如图， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即弦所对的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． 【变式6-3】如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】（1）先求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，据此即可求解； （2）作于，由垂径定理和勾股定理求得，，利用等积法求得的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35； （2）解：作于，如图，    由垂径定理得， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例7】如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握这些定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据圆周角定理得，根据垂径定理得，所以，所以，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，，所以，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点， 是半圆的直径， ， ， 是 的中点，是半径， ， ∴， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ，， 在中，， 是半径且， ， 在中，， ， 在中，． 【变式7-1】如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系． 连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证． 【详解】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 【变式7-2】如图，在中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关键． 根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)证明过程见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质(等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合)是解此题的关键． (1)过O作于M，根据等腰三角形的性质求出，，再求出答案即可； (2)根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：过O作于M， （2）证明：， ， ， 一、单选题 1．如图，在中，①分别以弦的端点A，为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；②作直线交于点，交于点C．若，，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是根据作图过程可得． 根据作图过程和圆的性质可得是的垂直平分线，先根据勾股定理可得的长，进而可得的值． 【详解】解：如图，连接， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 故选：A． 2．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 3．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为是线段的中点，经过圆心交与点，则直径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．根据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可． 【详解】如图，连接    是弦的中点，过圆心， ． ． ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，得． 解得， 的直径为． 故选：D． 4．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： cm， ∴cm． ∴截面圆中弦AB的长为． 故选：D． 5．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图，线段的垂直平分线即， 线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心． 即圆心的坐标是， 故选：B． 6．已知的半径是，弦平行于弦，，，则与之间的距离是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，以及垂径定理的应用，有两种情况，需分类讨论，即和在圆心的同侧或两侧两种情况，分别解答即可，考虑两种情况是解题的关键． 【详解】解：如图①，过点，作，分别交于点，连接， ，， ， 根据垂径定理可得，， 根据勾股定理可得，， ； 如图②，过点，作，分别交于点，连接， ，， ， 根据垂径定理可得，， 根据勾股定理可得，， ， 与之间的距离是或， 故选：B． 7．赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为40米，主拱高约10米，则桥弧所在圆的半径为（    ） A．25米 B．30米 C．35米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴米． 设圆的半径是R，则， ∴， 解得米． 故选A 8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．24寸 B．48寸 C． D．56寸 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解答本题的关键．连结，设寸，根据垂径定理求出的长，根据勾股定理列方程并求解，得到半径的长，即得答案． 【详解】解：连结， 设寸，则寸， ， 寸， ， ， 解得， 寸． 故选C． 二、填空题 9．如图所示，在中，直径，弦于点C，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到，再利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵在中，直径， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：8． 10．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为 ．    【答案】/厘米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意知，，则， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故答案为：． 11．如图是某车轮的部分简单示意图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．过点O作弦的垂线，D为垂足，交于点C．经测量， cm， cm，则此车轮半径为 cm． 【答案】75 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟悉相关的知识点是解题的关键；由垂径定理得cm，利用勾股定理即可求得半径． 【详解】 解∵于点D，cm， ∴ cm， 由题意，得cm， 在中，由勾股定理， 得， 解得， 即车轮半径为75 cm， 故答案为：75． 12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 【答案】 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】 解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 即的半径为寸， 的直径为寸， 故答案为：． 13．一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 ． 【答案】米 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段的长． 根据矩形的性质可推出线段为圆的直径，然后根据勾股定理可求出的长，再根据垂径定理求出点D为的中点，利用中位线即可求出的长，即可求出最大高度． 【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D， 点O为线段的中点，， 为圆O的直径， 宽为米，高为2米， （米）， 圆的半径（米）， ， 点D为的中点， 点O为线段的中点， 是的中位线， （米）， 则改造后门洞的最大高度（米）； 故答案为：米． 14．如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，根据两点之间线段最短，的长度即为所求，在中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到的等长线段． 【详解】解：连接，交于点，过点作的垂线，垂足为点， ，是直径， 垂直平分弦， ， 的最小值， 弦心距， 弦心距， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，为的直径，于E，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，如图，先计算出，再利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， 在中，， ∴． 16．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 【答案】该玉环中孔半径的长 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出，设，则，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：半径于点，， ， 设，则， ， ， 解得：， 该玉环中孔半径的长． 17．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$