第12讲 平行线分线段成比例 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第12讲 平行线分线段成比例 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例1】（2024•集美区二模）如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为3的线段是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•南岗区校级一模）如图，在中，点、、分别在、、边上，，，则下列比例式中错误的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•开福区校级三模）如图，，，，则的长为 　　． 【变式3】（2024•营口一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点．若，，则的值是 　　． 【变式4】（2024•海宁市校级模拟）如图，在中，，是边上的高线，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【变式5】（2023秋•安阳期末）（1）如图1，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． （2）如图2，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． ①画出绕原点逆时针旋转得到△； ②以原点为位似中心，在第三象限内画一个△，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 经典题型汇编 题型一、由平行判断成比例的线段 1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 5．（2024·山东临沂·一模）如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．    6．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 试题练习 一、单选题 1．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，C，E，直线n分别交直线a，b，c于点B，D，F，若，则等于（　　） A． B． C． D．1 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东河源·期末）是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（    ） A．5 B．7 C．12 D．14 8．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 9．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 二、填空题 11．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 12．（2024·北京西城·二模）如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则 ． 13．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，边延长线上一点满足，边上一点满足，，若，则长为 ． 14．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 15．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 16．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ． 17．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在中，．若，，求的长． 20．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 21．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 22．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 23．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 24．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于8cm2． (2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点． (1)若，求线段的长 (2)若为的中点，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论． (3)设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，当的值最小时，请直接写出的面积； 26．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线交x轴于点A，交y轴正半轴于点B，且的面积等于32． (1)求直线的解析式； (2)点P为上一点，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，设点P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点E，点D在的延长线上，且，若，求点D的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平行线分线段成比例 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【例1】（2024•集美区二模）如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为3的线段是　　 A． B． C． D． 【分析】由，利用平行线分线段成比例，可求出，此题得解． 【解答】解：， ，即， ， 图中长度为3的线段是． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【变式1】（2024•南岗区校级一模）如图，在中，点、、分别在、、边上，，，则下列比例式中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可． 【解答】．，，故本选项正确， ．， ， ， ， ， ， 故本选项正确， ．， ， ， ， 故本选项错误， ．， ， ， 故本选项正确， 故选：． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式并能进行灵活变形． 【变式2】（2024•开福区校级三模）如图，，，，则的长为 　15　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：， ，即， 解得：， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式3】（2024•营口一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点．若，，则的值是 　或　． 【分析】分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：如图1，当点在线段上时，，， 则， ， ， 如图1，当点在线段的延长线上时，，， 则， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式4】（2024•海宁市校级模拟）如图，在中，，是边上的高线，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，根据同位角相等，两直线平行证明； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出． 【解答】（1）证明：，是边上的高线， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， 解得：， ， ． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式5】（2023秋•安阳期末）（1）如图1，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． （2）如图2，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． ①画出绕原点逆时针旋转得到△； ②以原点为位似中心，在第三象限内画一个△，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【分析】（1）根据证得，求出，再根据解答即可； （2）①根据旋转的性质画图即可； ②根据位似图形的性质作图即可． 【解答】解：（1）， ， ，，， ， ， ； （2）①如图所示，△为所求； ②△与的相似比为，画出△如图所示． ． 【点评】本题考查了作图—基本作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和位似的性质． 经典题型汇编 题型一、由平行判断成比例的线段 1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、D不符合题意； ∴，故C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行分线段成比例定理及其逆定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 首先已知得到，根据平行线分线段成比例定理得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行． 【详解】 证明：， ， ， ， ∴． ． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 5．（2024·山东临沂·一模）如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 试题练习 一、单选题 1．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，C，E，直线n分别交直线a，b，c于点B，D，F，若，则等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5．（23-24九年级上·广东河源·期末）是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：作交于H， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，且 ∴， ∴， 故选：C 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示． ，是的平分线， ， ． 是中点，， ∴ ∴点F是的中点， 为的中位线， ． 故选：C． 7．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（    ） A．5 B．7 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了矩形性质及函数图象、平行线分线段成比例定理及勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键，首先得出，和当时，，进而求出，根据勾股定理求出即可求出周长． 【详解】解：由图可知，当点P与点A重合时，， 此时，， ， 在矩形中，， 由图2可知，当时，， 点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为14， 故选：D． 8．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点M作于D， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边中点，为边上一点，连接，相交于点．若，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理，推出，再利用勾股定理，求得，，再利用平行线分线段成比例定理，即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形，边长为6， ，，， 为边中点， ， ，， ， ， ， ， 故选：D    10．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键． 过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解． 【详解】过A点作于点N，交于点M，如图，    ∵在矩形中，， ∴，， ∵直线且相邻两直线间距离相等，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2024·北京西城·二模）如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得，，，进而得到，由勾股定理求出由平行线等分线段定理得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：如图： 四边形为正方形， ，，，， 与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ，， 是的中位线， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键． 13．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，边延长线上一点满足，边上一点满足，，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形内角和定理，点B作于点K，作交AC于点J．首先证明，再求出，，可得的长，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点B作于点K，作交AC于点J． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为∶． 14．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点作的平行线交于点，可推导出边，和之比，然后利用可以求． 【详解】取中点F，连接； ∵，为边上的高； ∴为中点； ∵为中点； ∴，则； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 15．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 16．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，      ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵沿着翻折得到， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，点是的中点，，， ∴， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线，则， ∵，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 17．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，轨迹等知识，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线上运动，求出的值，再根据，可得结论． 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点Q在直线上运动， 点关于直线对称， ， ， ，， ， 则线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在中，．若，，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，代入求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 即的长为12． 20．（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可求，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． 22．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点G，根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）由（1）得，，相加可得结论． 【详解】（1）证明：过点C作交于点G，如图， ∴，， ∴． （2）证明：如图，连接并延长交于点， 由截可得，则， 由截可得，则； ∵点是的重心， ∴为边上的中线，且， ∴． 23．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出：：：，得到：：，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：， ：：， ，，， ：：， ； （2）∵， ：：， ：：， ：：， ， ， ． 24．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的面积等于8cm2． (2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)存在，秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及平行线分线段成比例定理，根据已知条件得出是解题的关键． （1）根据题意表示出的长，再利用三角形面积公式求出即可； （2）利用平行线分线段成比例定理得出，进而代入求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，得， 整理，得 ， 解得：，， 当时，，此时点Q越过C点，不合题意，舍去， 即经过2秒后，的面积等于8cm2 ． （2）存在． ∵若，则点P、Q应分别边、上，此时，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵满足， ∴秒时，． 25．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点． (1)若，求线段的长 (2)若为的中点，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论． (3)设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，当的值最小时，请直接写出的面积； 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理先求出的长，有旋转性质得到，根据勾股定理求出，即可得出结论； （2）延长至G，使，连接，判断出，进而证明，得出，判断出， 即可得出结论； （3）延长至P，使，得出点P点D关于对称，进而判断出77的最小值为，再用勾股定理求出，最后用面积求出，进而求出的长，再利用等腰三角形的性质求出，从而求出的面积即为的值最小时，的面积． 【详解】（1）解：在中，，， ， 解得：， 由旋转可知，， 在中，， ； （2），理由如下： 如图，延长至G，使，连接， 则， ， 在中，，， ， ， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，即； （3）如图，延长至P，使， ， ∴点P，点D关于对称， ， 过点P作于H，交于点， 要使最小，则点，，在同一条线上，且， 即的最小值为， ， ， ， ， 连接， ， ， 在中， ， ， ， ， 此时的面积即为的值最小时，的面积为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，平行线对应线段成比例，构造出全等三角形是解本题的关键． 26．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线交x轴于点A，交y轴正半轴于点B，且的面积等于32． (1)求直线的解析式； (2)点P为上一点，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，设点P的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点E，点D在的延长线上，且，若，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由三角形的面积公式可求k的值，即可求解； （2）由，即可求解； （3）延长至Q，使，过点Q作轴于K，连接，通过证明，可得，求出直线的解析式，由勾股定理可求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴正半轴于点B， ∴点，， ∴，， ∵的面积等于32， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：∵把线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， 设点P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：如图3，延长至Q，使，过点Q作轴于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，作出辅助线，求出点Q的坐标是本题的关键． 1 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