第12讲 二次根式（二）（3个知识点+7种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第12讲 二次根式（二）（3个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【例1】（2023秋•青龙县期末）计算的结果为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•荆门期末）计算：　　． 【变式2】（2024•广西模拟）　　． 【变式3】（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式4】（2024春•东港区校级月考）在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：． 把，代入，得． 显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程． 知识点2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【例2】（2023秋•驿城区期末）的相反数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•闵行区校级期末）的有理化因式为 　　． 【变式2】（2024•西城区校级开学）的相反数是　　；的倒数是　　． 【变式3】（2024春•宁国市期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2024春•荆门期末）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 知识点3．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【例3】（2024春•淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 【变式2】（2023秋•邯郸期末）若与最简二次根式可以合并，则　　． 【变式3】（2023秋•驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】（2023秋•武侯区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的平方根； （2）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※，如：3※，请求※※的值． 经典题型汇编 题型一、二次根式的乘法 1．（20-21·四川宜宾·期末）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 3．（23-24·甘肃陇南·期末）计算：． 题型二、二次根式的除法 4．（22-23·河南南阳·期末）化简 ． 5．（23-24·福建泉州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24·四川眉山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 题型三、二次根式的乘除混合运算 7．（23-24·山西临汾·阶段练习）计算的结果是 . 8．（23-24·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．（22-23·四川乐山·期中）计算：． 题型四、最简二次根式的判断 10．（23-24·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可） 11．（23-24·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（19-20·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 题型五、化为最简二次根式 13．（23-24·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（  ） A． B． C． D． 14．（24-25·全国·假期作业）已知，，化简 ． 15．（23-24·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 题型六、已知最简二次根式求参数 16．（22-23·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 17．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知为最简二次根式，且与能够合并， ． 18．（·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 题型七、同类二次根式 19．（23-24·福建泉州·期中）下列根式中，能与合并的二次根式是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22·四川眉山·期末）与是最简同类二次根式，则的值是 ． 21．（23-24·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·二模）能使下列某个式子有意义，这个式子是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（         ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　) A．-2 B．1 C．2 D．-1 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列算式的值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 10．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 二、填空题 11．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若最简二次根式可以和合并，则的值为 ． 12．（21-22八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ． 13．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）与最简二次根式是可以合并的二次根式，则 ． 14．（20-21八年级上·广东梅州·期末）计算： ． 15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式为 ． 16．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ． 17．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 18．（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，求代数式的值． 20．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b是的立方根，求的平方根． 22．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． (1)请在图中把和补充完整； (2)求线段的长． 23．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 24．（22-23八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）(1)计算：； (2)计算：． 26．（21-22八年级上·山西晋中·期中）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 （1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____； （2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______； （3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二次根式（二）（3个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【例1】（2023秋•青龙县期末）计算的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 【变式1】（2024春•荆门期末）计算：　2　． 【分析】根据二次根式的除法法则计算． 【解答】解： ， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【变式2】（2024•广西模拟）　　． 【分析】根据计算，再化简即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握是解题的关键． 【变式3】（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答． 【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是，， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【变式4】（2024春•东港区校级月考）在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：． 把，代入，得． 显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程． 【分析】利用二次根式的性质结合，的关系得出它们的符号，进而化简求出答案． 【解答】解：，， ，， ． 把，代入，得原式． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 知识点2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 【例2】（2023秋•驿城区期末）的相反数是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：的相反数是：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 【变式1】（2023秋•闵行区校级期末）的有理化因式为 　　． 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【解答】解：的有理化因式是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 【变式2】（2024•西城区校级开学）的相反数是　　；的倒数是　　． 【分析】先根据二次根式的除法法则求出，再由相反数的定义求解；根据倒数的定义，用1除以即可得到的倒数． 【解答】解：，3的相反数是， 的相反数是； 的倒数是． 故答案为；． 【点评】本题考查了二次根式的除法，分母有理化，相反数与倒数的定义，是基础知识，比较简单． 【变式3】（2024春•宁国市期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据已知条件判断，的正负， ．根据二次根式的除法法则计算，然后进行判断； ．利用二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可； ．根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可； ．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：，， ，， ．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，，，此选项计算正确，故此选项符合题意； ．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，，，此选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的有关运算和性质，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和二次根式的性质． 【变式4】（2024春•荆门期末）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化． 知识点3．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【例3】（2024春•淮滨县期末）下列二次根式中，能与合并的是　　 A． B． C． D． 【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断． 【解答】解：（A）原式，故不能合并， （B）原式，故不能合并， （C）原式，故能合并， （D）原式，故不能合并， 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型 【变式1】（2024春•庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　　． 【分析】由同类二次根式的定义可知，从而可求得的值． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ． 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式2】（2023秋•邯郸期末）若与最简二次根式可以合并，则　2　． 【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【解答】解：， 与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 【变式3】（2023秋•驿城区校级期末）若与最简二次根式能合并，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】，能与合并，则，进而可求出的值． 【解答】解：， 与最简二次根式能合并， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 【变式4】（2023秋•武侯区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的平方根； （2）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※，如：3※，请求※※的值． 【分析】（1）根据最简二次根式和同类二次根式得出，求出，再根据平方根的定义求出的平方根即可； （2）先根据新运算求出6※，再根据新运算求出6※的值即可． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ． （1）， 的平方根是； （2）， ※※， ※※ ※ ． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，平方根和有理数的混合运算等知识点，能求出的值是解此题的关键． 经典题型汇编 题型一、二次根式的乘法 1．（20-21·四川宜宾·期末）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．把原式变形为，然后逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 2．（2024·山西忻州·三模）计算： ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的乘法运算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 故答案为：5． 3．（23-24·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 先利用平方差公式计算二次根式的乘法运算，零次幂和绝对值，再合并即可． 【详解】 ． 题型二、二次根式的除法 4．（22-23·河南南阳·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，分子提，与分母约分，然后再化简．在进行二次根式的化简运算时，要先化简再计算可使计算更简便． 【详解】解：原式． 故答案为： 5．（23-24·福建泉州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，原运算错误； B．，原运算错误； C． ，原运算错误； D． ，运算正确． 故选：D． 6．（23-24·四川眉山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式除法运算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可； （3）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （4）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并化简即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 题型三、二次根式的乘除混合运算 7．（23-24·山西临汾·阶段练习）计算的结果是 . 【答案】1 【分析】根据二次根式的运算法则直接求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：1； 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握：． 8．（23-24·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ， ，即， 的值应在4和5之间． 故选：A． 9．（22-23·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．特别注意二次根式相乘除时，分别把根号外的相乘除，根号内的相乘除．最后结果必须是最简二次根式． 直接利用二次根式的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】原式 题型四、最简二次根式的判断 10．（23-24·福建泉州·期末）写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：这个最简二次根式可以是， 故答案为：（答案不唯一） 11．（23-24·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式、二次根式的性质．由于，可知．．的被开方数，可以利用完全平方公式因式分解．有意义的隐含条件是为非负数． 【详解】解：将根式整理化简得： ， ， ， ， ． 由此可知，最简二次根式有：、，共2个． 故选：B 12．（19-20·全国·单元测试）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，. 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型五、化为最简二次根式 13．（23-24·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式性质、最简二次根式定义、同类二次根式定义等知识，将选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式定义判定即可得到答案，熟记二次根式性质及同类二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：；；； 与是同类二次根式，可以合并， 故选：C． 14．（24-25·全国·假期作业）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 15．（23-24·江西九江·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目所给的新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据平方根的定义解方程，二次根数化简，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则． 题型六、已知最简二次根式求参数 16．（22-23·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 17．（23-24·湖南衡阳·阶段练习）已知为最简二次根式，且与能够合并， ． 【答案】8 【分析】先化简，则，再根据同类二次根式的定义即可列式作答． 【详解】解：依题意，， 因为与能够合并， 即与能够合并， 因为为最简二次根式， 所以， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键． 18．（·四川成都·阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 【答案】x＝8，y＝6. 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】解：由题意，得 3a﹣11＝19﹣2a， 解得　　　a＝6. 　　 所以　　　＋＝0. 因为　　≥0，≥0， 所以　　24－3x＝0，y－6＝0. 解得　    x＝8，y＝6. 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键. 题型七、同类二次根式 19．（23-24·福建泉州·期中）下列根式中，能与合并的二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、 与不是同类二次根式，故A选项不符合题意； B、与是同类二次根式，故B选项符合题意； C、与不是同类二次根式，故C选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，故D选项不符合题意； 故选：B． 20．（21-22·四川眉山·期末）与是最简同类二次根式，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义； 根据同类二次根式的定义可得，，求出a的值，然后计算即可． 【详解】解：∵与是最简同类二次根式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（23-24·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握． （1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】（1）由数轴得：， ， ． 故答案为：，； （2） 解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ∴ 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算． 【详解】， 故选：B． 2．（2024·云南昆明·二模）能使下列某个式子有意义，这个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案． 【详解】A、有意义的条件是，且，则，能使式子有意义，故此选项符合题意； B、有意义的条件是，则，不能使式子有意义，故此选项不符合题意； C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次根式的运算，同底数幂的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误； C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确； D、被开方数含分母，故D错误； 故选：C． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断． 【详解】解：，， 则与是同类二次根式， 故选：C． 7．（19-20八年级上·甘肃酒泉·期中）若、为实数，且，则的值 (　　) A．-2 B．1 C．2 D．-1 【答案】D 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴x+2=0，y－2=0， ∴x=﹣2，y=2， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列算式的值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的计算，以及有理数的概念，根据二次根式的运算法则计算各项，再根据有理数的定义判断各项，即可解题． 【详解】解：A、为无理数，不符合题意； B、为无理数，不符合题意； C、为有理数，符合题意； D、为无理数，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 10．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）若最简二次根式可以和合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，根据，再结合同类二次根式能合并可得答案． 【详解】∵最简二次根式和能合并， ∴． 故答案为：2． 12．（21-22八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则 ； ． 【答案】 0 【分析】利用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：0；． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 13．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）与最简二次根式是可以合并的二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：由题意可得与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，解得：． 故答案为2． 14．（20-21八年级上·广东梅州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法与减法运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．先算乘法，再计算减法，即可得出结果． 【详解】解： ． 15．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案．根据二次根式的除法，可化简二次根式． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 17．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / / 【分析】根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与2的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、化简绝对值、实数比较大小、二次根式运算等知识，熟练掌握相关定义以及二次根式运算法则是解题关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）当时，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先计算整式的乘法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 20．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， ． 21．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知最简二次根式与可以合并，b是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值，再根据立方根定义确定b的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∵b是的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． (1)请在图中把和补充完整； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了补画轴对称图形，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点进行作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求； （2）解：由网格的特点和勾股定理可得． 23．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 24．（22-23八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查的是二次根式的乘除运算、零指数幂、立方根、算术平方根，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）直接根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算零指数幂、立方根、算术平方根，再合并即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 25．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）(1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先求算术平方根，二次根式的除法，绝对值，然后进行加减运算即可； （2）先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的除法，绝对值，负整数指数幂，零指数幂等知识．熟练掌握算术平方根，二次根式的除法，绝对值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键． 26．（21-22八年级上·山西晋中·期中）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 （1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____； （2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______； （3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果． 【答案】（1）；（2）=（a≥0，b>0)；（3）二；＋；过程见解析． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义进行判定即可； （2）根据=（a≥0，b>0)进行求解即可得到答案； （3）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可． 【详解】解：（1）是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式； 故答案为：； （2）∵=（a≥0，b>0)； ∴， 故答案为：=（a≥0，b>0)； （3）∵除法没有分配律， ∴解题过程是从第二步开始错的， +÷（－） =+÷（－） =+÷ =＋× =＋． 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，二次根式的化简，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$