第12讲 圆周角 （3个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第12讲 圆周角 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【例1】（2024•义乌市模拟）如图，是直径，半径与弦垂直于点，连接．若，，则的长为　　 A．8 B． C． D． 【变式1】（2024•湖州一模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2021秋•南湖区校级期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　　． 【变式3】（2023秋•上虞区期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：点是边的中点． （2）记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例2】（2024•瓯海区校级三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•钱塘区三模）如图，已知点，，，在上．若，，则的度数为 　　． 【变式2】（2022秋•鹿城区校级期末）如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为 　　． 【变式3】（2024•拱墅区模拟）如图，点，，，，在上顺次排列，已知，． （1）求证：； （2）若直线过圆心，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 【例3】（2021秋•余姚市期中）如图，的弦、相交于点，若，，，则长为　　 A．16 B．24 C．12 D．不能确定 【变式1】（2022秋•温州期末）已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为　　 A．6 B．7 C．12 D．16． 【变式2】（2022秋•嵊州市期末）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 　　． 【变式3】（2024•西湖区校级二模）如图在圆中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，联结，并延长与圆交于点，那么　　． 经典题型汇编 题型一、圆周角的概念辨析 1．（2021·浙江温州·一模）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 2．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 3．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 题型二、圆周角定理 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知三点均在上，连结，，，，若，则的度数为 ． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点，，在上，C为的中点．若，则等于（   ）． A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知如图，内接于，为直径，于点D，于点F． (1)求证：； (2)当点C是的中点时，求证：． 题型三、同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，，，则的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，弦与相交于点E，，连接．求证：．    题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，交于点，若，则的长度为（    ） A．5 B． C． D． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连接，过点作交该半圆于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，为 ．    12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 题型五、90度的圆周角所对的弦是直径 13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列四个命题中，真命题的是（　　） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．圆心角是圆周角的2倍 D．的圆周角所对的弦是直径 14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，若，则为（    ） A．18° B．15° C．20° D．30° 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的圆周角．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 4．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，内接于，是直径．若，则直径的长为（  ） A．15 B． C．12 D． 8．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点A、B均在上，将绕点B顺时针旋转得使得点D落在上，再将绕点D顺时针旋转得使得点G落在上，若点C恰在线段上，下列结论：①；②是直径；③点B、C、G三点共线；④．正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是 ． 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，延长和分别交大圆于点和点，连接，若为中点，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为 ． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的两条弦，若，则的半径为 ．（请用含m的代数式表示）    15．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的弦，，且，若M，N分别为、的中点．（1）的最大值为 ．（2）面积的最大值为 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结交于点E，已知．    (1)求证：． (2)连结，若，．求的度数． 20．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 21．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1：在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． (1)写出线段之间满足的等量关系． (2)如图2，在中，，为外一点，且，线段之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点是上的点，且，，，求弦的长． 23．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1：在中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决． (1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论； (2)如图2，在中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，连接，， ①若，，求弦的长为　　； ②若，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆周角 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【例1】（2024•义乌市模拟）如图，是直径，半径与弦垂直于点，连接．若，，则的长为　　 A．8 B． C． D． 【分析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【解答】解：，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， 连接，如图， ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 【变式1】（2024•湖州一模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ； ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2】（2021秋•南湖区校级期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　　． 【分析】如图，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接、． ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题． 【变式3】（2023秋•上虞区期末）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：点是边的中点． （2）记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可得出即可； （2）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，连接， 是的直径，点在圆上， ， 即， ， ， 即点是的中点； （2）解：； 如图，连接， 的度数为， ， ， ， ，， ， ， 即． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余是正确解答的前提． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例2】（2024•瓯海区校级三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念求出即可． 【解答】解：的度数为， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式1】（2024•钱塘区三模）如图，已知点，，，在上．若，，则的度数为 　　． 【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆内接四边形的性质推出，即可求出． 【解答】解：， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质推出． 【变式2】（2022秋•鹿城区校级期末）如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为 　　． 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：由圆周角定理得，， 四边形为的内接四边形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式3】（2024•拱墅区模拟）如图，点，，，，在上顺次排列，已知，． （1）求证：； （2）若直线过圆心，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可； （2）根据圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系进行解答即可． 【解答】证明：（1）， ， ， ，即， ， ， ， 即， ； （2）解：①的度数， ，其度数都等于， ， 点、点、点、点在上， ， ， 即； ②，理由如下： 的度数， ，其度数都等于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即， ． 【点评】本题考查圆内接四边形，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理是正确解答的关键． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 【例3】（2021秋•余姚市期中）如图，的弦、相交于点，若，，，则长为　　 A．16 B．24 C．12 D．不能确定 【分析】由相交线定理可得出，再根据，，，可得出的长，从而得出即可． 【解答】解：， ， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 【变式1】（2022秋•温州期末）已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为　　 A．6 B．7 C．12 D．16． 【分析】由题意可知，点、、在以点为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，即可求出答案． 【解答】解：， 点、、在以点为圆心的圆周上运动， ，， ， ， 由相交弦定理可得， ， 故选：． 【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键． 【变式2】（2022秋•嵊州市期末）如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 　　． 【分析】连接、、，过作交于，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 【解答】解：如图，连接、， 则，， ， ， ，，， ，， ，， ， 过作交于，连接， 则， 在中，， ， 即到的距离为， 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解题的关键． 【变式3】（2024•西湖区校级二模）如图在圆中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，联结，并延长与圆交于点，那么　　． 【分析】由题意可知，则，易证得是等腰直角三角形，求得，即可求得． 【解答】解：在圆中，是直径，，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，证得是等腰直角三角形是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、圆周角的概念辨析 1．（2021·浙江温州·一模）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 【答案】A 【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠ADC+∠BAD=90°， ∵∠ADC=35°， ∴∠BAD=90°﹣35°=55°， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键． 2．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 3．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 【答案】68° 【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵OB=OC，OC=AB， ∴OB=AB， ∴∠A=∠BOA， ∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠E=∠EBO=2∠A， ∵∠EOD=∠E+∠A， ∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°， ∴∠E=∠EBO=56°， ∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°， ∴的度数为68°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 题型二、圆周角定理 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知三点均在上，连结，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，解题的关键是熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点，，在上，C为的中点．若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系． 连接，由，得，又为的中点．故，即知． 【详解】解：连接，如图： C为的中点， ， ， ， 故选：B． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知如图，内接于，为直径，于点D，于点F． (1)求证：； (2)当点C是的中点时，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解; (2)证明过程见详解. 【分析】 本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦直径的关系定理、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）连接，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ； （2）证明:连接， ∵点C是的中点， ， ， ，， ， 在和中， , ， ． 题型三、同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，，，则的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查圆周角定理和勾股定理．连接，并延长交于点D，由同弧所对的圆周周角相等可得，再由直径所对的圆周角等于，可得，进而可得，，利用勾股定理求出直径，进一步即可求出半径． 【详解】 解：连接，并延长交于点D， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径． 故选：D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，弦与相交于点E，，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 解法一：由知，得，结合，可证，从而得出答案． 解法二：证明，得，根据等角对等边得． 【详解】证明：解法一：， ，即， ， ， 又， ， ． 解法二：连接，    ， ，即， ， ， 又， ， ， ． 题型四、半圆（直径）所对的圆周角是直角 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，交于点，若，则的长度为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图，过点C作交的延长线于点T，连接．利用勾股定理求出，，，再证明，设，则，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点T，连接． 是直径， ， ，， ， 为半圆的中点， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连接，过点作交该半圆于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：①时，过点作于，则，根据等腰三角形的性质得平分，，根据平行线的性质得，，由圆周角、弧、弦的关系得，可得，则，证明（），根据全等三角形的性质得，可得，即可求解；②时，连接，根据等角的余角相等可得，则，即可求解． 【详解】解：①时，过点作于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，连接，    ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，． (1)设的半径为r，用含r的代数式表示线段． (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）连接交于点E，根据垂径定理易得，，根据三角形中位线定理求出，由（1）知，，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， 是直径，   ， ，， ； （2）解：连接交于点E， ， ，， 又， 是的中位线， ， ， 在中，， 即，   解得：，（舍去）， 的半径为5． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型五、90度的圆周角所对的弦是直径 13．（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列四个命题中，真命题的是（　　） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．圆心角是圆周角的2倍 D．的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，圆的确定，弧，弦，角之间的关系，圆周角定理．根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故A不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故C不符合题意； D、的圆周角所对的弦是直径，正确，故D符合题意． 故选：D． 14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与中点，明确点的运动轨迹是解题的关键． 如图，连接，由垂径定理可得，，则在以为直径的上运动，如图，连接交于，当三点共线时，线段的值最小，由勾股定理得，，根据线段的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点M为线段的中点， ∴由垂径定理可得，， ∴在以为直径的上运动，如图，连接交于， ∴当三点共线时，线段的值最小， ∴的半径为， 由勾股定理得，， ∴线段的最小值为， 故答案为：3． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，若，则为（    ） A．18° B．15° C．20° D．30° 【答案】C 【分析】本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力，圆周角定理，属于常规性试题，是学生练习的很好的题材．结合题意，可分析得出点在以点A位圆心，以长为半径的圆周上，即可得出和分别为圆周角和圆心角，且两角对应的弧相等，即可得出，即可得出． 【详解】解：由，则可添加辅助圆， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半 ∴有， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的圆周角．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的应用．根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，再结合题目已知它们的和是即可． 【详解】， ． 故选：B． 3．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误； D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 4．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可． 【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确； （3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直； （4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； （5）圆内接四边形对角互补；正确； 故选：B． 【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于，三角形的内角和定理，解题的关键求得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，过点作，垂足为，利用等角的余角相等可得，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用等式的性质可得，进而可得，最后在中，求出，的长，再在中，利用等腰直角三角形的性质求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，，， ， 在中，， ， ， ， 的面积 ， 故选：B． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，内接于，是直径．若，则直径的长为（  ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等角对等边等知识，连接，由是直径得到，根据圆周角定理及已知可得,则，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是直径． ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 故选：B 8．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，由是直径可得，则可判断点E在以为直径的弧上运动，于是以为直径作，连接、．在中，，等号成立时，的值最小，此时、、共线． 【详解】解：如图，连接，∵是直径， ∴， ∴点E在以为直径的弧上运动， 则以为直径作，连接、． ，，， ，，． ，， 、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．13 D．14 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点．先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长，结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得AB． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 作于点M，   ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点A、B均在上，将绕点B顺时针旋转得使得点D落在上，再将绕点D顺时针旋转得使得点G落在上，若点C恰在线段上，下列结论：①；②是直径；③点B、C、G三点共线；④．正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，90度圆周角对的弦为直径等知识；由旋转的性质可判断①；连接，设，则可得，从而可求得，计算出，由此则可判断②；延长交圆于点，由为直角即可判断③；根据旋转角度的大小即可判断④；最后可确定答案． 【详解】解：由旋转性质知：，且它们等于旋转角，故正确； 如图，连接，设，则； 由旋转性质知：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ ∴为的直径； 故②正确； 延长交圆于点，如图， ∵为直角， ∴为圆的直径； ∵为的直径， ∴必重合， 即点B、C、G三点共线； 故③正确； ∵为旋转角， ∴当旋转角为时，有， 否则； 故④错误； 综上，正确的有①②③三个； 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是 ． 【答案】65°/65度 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题关键．根据圆周角定理先求出，再利用三角形内角和为180°和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：65°． 12．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点，延长和分别交大圆于点和点，连接，若为中点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】 先由垂径定理得，根据圆的性质，得，结合直径所对的圆周角是90°，得，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接并延长交于一点H，连接 ∵两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点，直径和在同一直线上，为小半圆的中点， ∴ ∵为中点， ∴ ∵为直径 ∴ 设 则 在中， 即 解得（负值已舍去） ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和圆周角定理可得，由推出，再根据三角形内角和定理和求得，进而求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的两条弦，若，则的半径为 ．（请用含m的代数式表示）    【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质和判定等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，作分别垂直与和，连接，设的半径为r．可得四边形为矩形，，和中根据勾股定理可得，再根据勾股定理可得，由此可得结论． 【详解】解：连接，作分别垂直与和，连接，设的半径为r． ∵分别垂直和， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在和中，根据勾股定理 ， ∴ ， ∴． 故答案为．    15．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由圆周角定理得，利用证明得到，再证明，利用相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）． 故答案为：1． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的弦，，且，若M，N分别为、的中点．（1）的最大值为 ．（2）面积的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据中位线性质得出，当取得最大值时，就取得最大值，连接并延长交于点，连接，根据三角函数求出，即可求出； （2）根据的长固定为4，得出当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大，连接，，根据勾股定理求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点M，N分别为、的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 连接并延长交于点，连接，如图所示：    ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵的长固定为4， ∴当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大， 如图，连接，，    ∵点B是优弧的中点， ∴． ∵M是中点， ∴，且过O点， 由（1）得的直径为，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理，中位线性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得出，根据半圆所对的圆周角为直角得出，根据平行线的判定得出； （2）连接，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据是的中位线，即可求出结果． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， 是半圆的直径， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 是半圆的直径， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行线的判定，中位线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． 18．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆和直角三角形综合．正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理推论，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半推出，根据直径对的圆周角是直角推出，根据勾股定理列出等式，据此求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵中，，D为中点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结交于点E，已知．    (1)求证：． (2)连结，若，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，推出，圆周角定理，得到，，证明即可； （2）圆周角定理结合等边对等角，求，三角形的内角和定理，求出的度数，进而得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴（两边都减去）， ∴， 由同弧所对的圆周角相等得：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接格点,得线段即为所求．由垂径定理推论知经过弧所在圆的圆心，而，于是是圆的直径． （2）如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求．由圆周角定理，得，，于是． 【详解】（1）解：连接格点,得线段即为所求． 由网格图知， ∴经过弧所在圆的圆心． 又， ∴是圆的直径． （2）解：如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求． 由图1，， ∴是圆的直径． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理及推论；理解圆周角定理及推论是解题的关键． 21．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求； （2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， 取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于，即为所求． （2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格特征是解题关键． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1：在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． (1)写出线段之间满足的等量关系． (2)如图2，在中，，为外一点，且，线段之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点是上的点，且，，，求弦的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到条件证明，则，，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （2）将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，同（1）的方法得，，则，求出，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （3）过点作交的延长线于，证明，根据勾股定理得，连接，证明，得到，则，证明，得到，则，根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接， 同（1）的方法得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， 即：； （3）解：如图3，过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， 连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线和正确推理是解题的关键． 23．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1：在中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决． (1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论； (2)如图2，在中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论； (3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，连接，， ①若，，求弦的长为　　； ②若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据旋转的性质，利用得到，得到，，进而得到，利用勾股定理即可得到，再根据边之间的关系即可得到； （2）点作，且，连接、，即可构造，得到，再利用可得，利用勾股定理即可得到，再根据边之间的关系即可得到； （3）①过点作，交延长线于点，根据，可以得到为等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角，可得为等腰直角三角形，从而得到，再利用勾股定理即可求出的长度； ②由①可确定的长度，设，则，代入得到，再利用二次函数图象性质求最值即可； 【详解】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， 即：， 在中， ∵， 又∵， ∴ （2）如图，过点作，且，连接、， ∵，，， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， 即：， 在中， ∵， 又∵， ∴ （3）①如图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，且， 由勾股定理可得：， ∵是的直径，， ∴，， ∴， 即：为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即：, ∵ ∴， 故答案为： ②设，则， 由①可知： ∴， 当时，的值最大为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，二次函数求最值，构造旋转全等三角形是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$